Exercice d`application n°1

Exercice d’application n°1
Le triangle GPH est rectangle en P
L’égalité de Pythagore permet d’écrire
GP² = GH² - PH²
GP² = 5² - 4² = 25-16 = 9 cm
GP = 3 cm
P [GK] et GP = PK donc P est le milieu de [GK]
On a P milieu de [GK] et H milieu de [GB]
Or on sait que dans un triangle si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est
parallèle au troisième côté
On conclut que (PH) // (KB)
On a (PH) //(KB) et (PH)(GK)
Or on sait que si deux droites sont parallèles alors toute perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre
On conclut que (KB)(GK) donc le triangle GKB est rectangle en K
On a P milieu de [GK] et H milieu de [GB]
Or on sait que dans un triangle si un segment relie les milieux de deux côtés alors il mesure
la moitié du troisième côté,
On conclut que KB = 8 cm (4 est la moitié de 8)
Nature du triangle KCD
Dans le triangle KCD, on a V milieu de [KC] et F milieu de [CD]
Or on sait que dans un triangle si une droite passe par les milieux de
deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
On conclut que (VF)//(KD)
On a (VF) // (KD) . Ces deux droites sont coupées par (KC). Les angles
et
sont correspondants.
Or on sait que si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles
correspondants qu’elles forment sont égaux.
On conclut que
=
=55°
Dans le triangle CVF, on a
Or on sait que dans un triangle la somme des trois angles vaut 180°
On conclut que
=180° - (55° + 35°) = 180° - 90° = 90°
KCD est un triangle rectangle.
Exercice du quadrilatère de Varignon
On trace les diagonales de ABCD.
Dans le triangle ABC, on a E milieu de [AB) et F milieu de [BC].
Or on sait que dans un triangle si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est
parallèle au troisième côté.
On conclut que (EF)//(AC).
Dans le triangle ACD, on montre de même que (HG) // (AC) .
D’où (EF)//(HG)
On montre de même en utilisant les triangles ABD et ACD que (EH)//(FG).
EFGH a ses côtés opposés parallèles. C’est un parallélogramme.