Lycée Chaptal – PT* – 2016/2017 DM 2 ————————————— Devoir maison n°2 b) Montrer que dans cette base B, la matrice représentative de u est : 0 – À RENDRE LE 5/10 – 0 ————————————— On note E , l’espace vectoriel R3 , rapporté à sa base canonique C = (e 1 , e 2 , e 3 ). On considère un endomorphisme u de E tel que u 3 − 2u 2 + u = 0L (E ) . On pose enfin v = u − idE . 1 cas n°1 a) Montrer que si le réel λ est valeur propre de u, alors λ ∈ {0, 1}. b) Soit U la matrice représentative de u dans la base C . Montrer que si le complexe λ est valeur propre de U , alors λ ∈ {0, 1}. c) En déduire les quatre expressions possibles du polynôme caractéristique de u, noté χu . d) Soit k ∈ N∗ . Déterminer le reste de de la division euclidienne de X k par le polynôme A = X (X − 1)2 . On pourra faire apparaître le polynôme k X k−1 , dérivé de X k . En déduire l’expression de u k en fonction de k, u 2 , u et idE . −1 0 1 1 U = 1 −1 1 ; 1 2. On suppose dans cette question seulement que u est diagonalisable. a) Montrer alors que u et v sont des projecteurs. Que valent alors les espaces Ker(u) + Ker(v) et Im(u) + Im(v) ? b) Déterminer quatre matrices diagonales : D 0 , D 1 , D 2 , D 3 telles que D r soit de rang r , et telles que U soit semblable à l’une de ces quatre matrices. 3. 0 5. Déterminer dans les deux suivants, l’expression du polynôme caractéristique de U , et préciser si U est semblable ou non à l’une des cinq matrices D 0 , D 1 , D 2 , D 3 et T . Exercice 1. 0 T = 0 1 1 −1 1 0 cas n°2 0 0 U = 1 0 −1 0 1 2 Problème On cherche dans ce problème à résoudre l’équation matricielle X 2 = A pour différentes matrices A ∈ Mn (R). Partie I – Un premier exemple On note u l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à la matrice A : 2 1 1 A = 1 2 1 0 0 2 a) Grâce à la division euclidienne de (X − 1)2 par X , déterminer un polynôme B tel que (X − 1)2 + X B = 1 b) En déduire que v 2 + u ◦ (2idE − u) = idE et que v 2 ◦ u = u ◦ v 2 = 0L (E ) . c) En déduire alors que Ker(v 2 ) = Im(u) et Ker(u) = Im(v 2 ). d) Montrer que E = Ker(u) ⊕ Ker(v 2 ). 4. On suppose dans cette question que Ker(u) et Ker(v) sont de dimension 1. a) Préciser la dimension de Ker(v 2 ). Établir l’existence de deux vecteurs ²1 ∈ Ker(u) et ²2 ∈ Ker(v 2 ) \ Ker(v) tels que B = (²1 , v(²2 ), ²2 ) soit une base de E . –1/2– 1. Calculer les valeurs propres de u et justifier la diagonalisabilité de A dans M3 (R). 2. On note λ1 , λ2 et λ3 les valeurs propres de u avec λ1 < λ2 < λ3 . Déterminer, pour chaque i ∈ {1, 2, 3}, le vecteur e i de R3 dont la deuxième composante vaut 1 et vérifiant u(e i ) = λi e i . 3. Justifier que (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base de R3 et écrire la matrice ∆ de u relativement à cette base, puis trouver une relation entre A et ∆. 4. Si B ∈ M3 (R) est une matrice vérifiant B 2 = A, on note v l’endomorphisme de R3 qui lui est canoniquement associé. a) Vérifier que v 2 = u et que u ◦ v = v ◦ u. b) Pour chaque i ∈ {1, 2, 3}, calculer u(v(e i )) et en déduire que v(e i ) est colinéaire à e i . 4. Application – Déterminer toutes les matrices X ∈ M4 (R) telles que : c) Conclure que la matrice V de v relativement à la base (e 1 , e 2 , e 3 ) est diagonale de la forme V = diag(α1 , α2 , α3 ) et en déduire les valeurs possibles de α1 , α2 et α3 . 1 5. Trouver alors toutes les solutions, dans M3 (R), de l’équation X 2 = A. Combien y en a-t-il ? 0 Partie II – Cas d’un endomorphisme du type u + idE avec u nilpotent Dans cette partie, E désigne un espace vectoriel de dimension finie n Ê 2. On considère un endomorphisme nilpotent u de E, c’est-à-dire un endomorphisme © ª pour lequel il existe r ∈ N∗ tel que u r = 0 ; on pose alors p = min k ∈ N∗ ; u k = 0 . 1. a) Justifier qu’il existe x 0 ∈ E tel que u p−1 (x 0 ) 6= 0. b) Montrer que la famille (x 0 , u(x 0 ), . . . , u p−1 (x 0 )) est libre. c) En déduire que p É n et que u n = 0. 2. On suppose qu’il existe v ∈ L (E ) tel que v 2 = u. n +1 . 2 b) Donner alors un exemple de matrice M ∈ M2 (R) telle que l’équation X 2 = M n’ait pas de solution dans M2 (R). a) Calculer v 2p et v 2(p−1) , puis en déduire que p É 0 0 0 0 1 Partie III – Cas d’un endomorphisme trigonalisable E désigne encore un espace vectoriel de dimension finie n Ê 2. Soit u ∈ L (E ) un endomorphisme trigonalisable ; on admet qu’il existe deux endomorphismes d et f de E avec d diagonalisable, f nilpotent et vérifiant u = d + f et f ◦d = d ◦ f . Pour tout λ ∈ Sp(d ), on note enfin E λ le sous-espace propre de d associé à λ. On suppose enfin que les valeurs propres de u sont strictement positives : Sp(u) ⊂ R∗+ . 3. Dans cette question, on suppose que p = n ; on a donc u n−1 6= 0 et u n = 0. On considère un endomorphisme g de E tel que g 2 = idE + u. a) Soit x 1 ∈ E tel que u n−1 (x 1 ) 6= 0. Justifier que (x 1 , u(x 2 ), . . . , u n−1 (x 1 )). est une base de E et qu’il existe (α0 , . . . , αn−1 ) ∈ Rn tel que : g (x 1 ) = α0 x 1 + α1 u(x 1 ) + · · · + αn−1 u n−1 (x 1 ) 1. Montrer que Eλ est stable par f et que l’endomorphisme f λ induit par f sur E λ est nilpotent. 2. Montrer que Sp(d ) ⊂ Sp(u) et en déduire que d est bijective. 3. On note λ1 , . . . , λr , r Ê 1, les valeurs propres deux à deux distinctes de d . Justifier que E = E λ1 ⊕ · · · ⊕ E λr et donner, pour tout x = x 1 + · · · + x r ∈ E λ1 ⊕ · · · ⊕ E λr , l’expression de d (x). 4. Construire un endomorphisme δ de E tel que δ2 = d et vérifiant f ◦δ = δ◦ f . b) Vérifier que g ◦ u = u ◦ g et montrer que : 5. Vérifier que δ est bijectif et que l’endomorphisme f ◦ δ−2 est nilpotent. g = α0 idE + α1 u + · · · + αn−1 u n−1 c) Justifier que la famille (idE , u, . . . , u 1 0 1 1 0 X2 = 0 0 1 1 n−1 2 ) est libre puis, en calculant g q X de deux façons, montrer que α20 = 1, 2α0 α1 = 1 et αk αq−k = 0 pour k=0 2 É q É n − 1 si n Ê 3. d) Montrer alors que α0 ∈ {−1, 1} et que, pour tout k ∈ 1, n − 1, αk peut être exprimé de manière unique en fonction de α0 . e) Conclure qu’il y a exactement deux endomorphismes de E dont le carré est égal à idE + u. –2/2– 6. À l’aide de la partie précédente, en déduire qu’il existe un endomorphisme w vérifiant w 2 = idE + f ◦ δ−2 puis construire v ∈ L (E ) tel que v 2 = u.