1S Devoir à la maison n˚8 Mathématiques

1S
Devoir à la maison n˚8
Mathématiques
I Exercice n˚1
Un salarié embauché dans une entreprise le 1er Janvier 2014 se voit offrir la première année un salaire annuel
de U0 = 18000 euros. Le contrat de travail du salarié prévoit que son salaire (prime comprise) augmente chaque
année de 2% auquel s’ajoute une prime annuelle de 100 euros. On note Un le salaire annuel reçu par ce salarié
pendant l’année 2014 + n. On a donc (et on admettra que) Un+1 = 1,02 Un + 100, pour tout entier positif n .
1. On considère la suite (Vn ) définie par Vn = Un + 5000.
a) Montrer que (Vn ) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme V0 .
b) Exprimer Vn en fonction de n.
2. Exprimer Un en fonction de n.
3. Calculer ce que sera le salaire annuel du salarié en 2024.
4. On cherche à déterminer la somme totale des salaires X qu’aura reçue le salarié pendant ses 10 premières
années dans l’entreprise à l’aide de l’algorithme suivant :
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
VARIABLES
U EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
somme EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
U PREND_LA_VALEUR 18000
somme PREND_LA_VALEUR 18000
POUR n ALLANT_DE 1 A .....
DEBUT_POUR
U PREND_LA_VALEUR 1.02*U+100
somme PREND_LA_VALEUR somme+U
FIN_POUR
AFFICHER somme
FIN_ALGORITHME
a) Compléter la ligne 8 pour que l’algorithme réponde à la question.
b) Compléter et exécuter l’algorithme incomplet algo_dm8.alg disponible en ligne à l’adresse
http://www.xm1math.net/textes/premS.html (aller au chapitre 10) après avoir téléchargé le programme
AlgoBox à l’adresse http://www.xm1math.net/algobox/download.html. Pour compléter l’algorithme, il
suffit de sélectionner la ligne « POUR n ALLANT DE 1 A » et de cliquer sur le bouton
« Modifier Ligne ».
Donner alors le résultat affiché après exécution de l’algorithme.
I Exercice n˚2
Pour tester si un système de production d’électricité par géothermie est viable dans une commune, on entreprend
un forage. On note
•
•
•
•
U0 le coût en euros du creusement du premier mètre ;
U1 le coût en euros du creusement du deuxième mètre ;
etc.
Un−1 le coût en euros du creusement du niéme mètre ;
Le coût du forage pour cette entreprise est défini par : U0 = 200 et Un+1 = Un + 50 . (le premier mètre est
facturé 200 euros et chaque nouveau mètre coûte 50 euros de plus que le précédent)
1. La suite (Un ) est-elle arithmétique ou géométrique ? Donner sa raison.
2. Calculer le coût du creusement du 50ième mètre du forage.
3. Pour tout entier n > 2, on note Sn le coût total pour creuser les n premiers mètres . On a donc :
Sn = U0 + U1 + U2 + · · · + Un−1
= 200 + (200 + 50) + (200 + 2 × 50) + · · · + (200 + (n − 1) × 50)
= 200 + 200 + 200 + · · · + 200 +50 + 2 × 50 + · · · + (n − 1) × 50
{z
}
|
n fois
= 200n + 50 × (1 + 2 + · · · (n − 1))
a) En adaptant la formule du cours donnant la valeur de 1 + 2 + · · · + n, exprimer 1 + 2 + · · · (n − 1) en
fonction de n et montrer que Sn = 175n + 25n2 .
b) En déduire la profondeur de forage que l’on peut atteindre pour un coût total de 174 000 euros.