Classe : 3A/B
DM 02
Pour le : 14/10/16
Mathématiques
Exercice 1 : Nombres amicaux. (4 Points)
Deux nombres sont dits « amicaux » si la somme des diviseurs de l’un, hormis
lui-même, est égale à l’autre.
Montrer que 220 et 284 sont amicaux.
Exercice 2 : Nombres premiers entre eux. (6 Points)
On dit que deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont que 1 comme diviseur commun.
1. Trouver tous les diviseurs de 45.
2. Trouver tous les diviseurs de 28.
3. Les nombres 28 et 45 sont-ils premiers entre eux ?
4. Peut-on trouver deux nombres pairs premiers entre eux ? Justifier.
5. Peut-on trouver deux nombres impairs premiers entre eux ? Justifier.
Exercice 3 : Démontrer un critère de divisibilité (6 Points)
« Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. »
L'objectif de cet exercice est de démontrer cette propriété. Nous allons prendre le cas d'un
nombre à quatre chiffres.
Soit abcd un nombre à quatre chiffres.
1. Compléter la décomposition suivante :
abcd  a  1000  b   c   d
2. En déduire que : abcd  9  (111  a  11  b  c)  a  b  c  d
3. Expliquer pourquoi 9  (111  a  11  b  c) est divisible par 3.
4. Conclure que abcd est divisible par 3 si a+b+c+d est divisible par 3.
Exercice 4 : Le centurion (2 Points)
Toute tentative de résolution sera prise en compte dans la notation…
Le centurion est fier de son armée. Pour le défilé à Rome, il demande à ses soldats de se ranger
par lignes
de cinq, mais il reste quatre soldats. Il leur demande alors de se
ranger par lignes de six, mais il reste cinq soldats. Il leur
demande de se ranger par lignes de huit, mais il reste sept
soldats.
1. Combien cette armée comporte-t-elle de soldats sachant
qu'elle compte moins de deux-cents hommes ?
2. Par lignes de combien de soldats ce centurion pourrait-il ranger
correctement son armée ?
Présentation, rédaction : (2 Points)
3ème
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Exercice : ( 4 Points )