Corrigé

Devoir Temps Libre 1 – 1ère Ssi
Seconde degré – Angle et algorithmique
EXERCICE 1 : lieu géométrique et second degré
Dans un repère, ∆ est la droite d'équation y=8x+2 et P est la parabole d'équation y = x²-3x+1
1) Tracer P et ∆
On utilise un traceur de courbe, ou un tableau de valeurs construit à l’aide de la calculatrice
Avec Géogebra, on peut conjecturer le lieu géométrique recherché en affichant la trace de I (ici en
bleu)
2) A et B sont les points de P d'abscisses respectives a et b (avec a différent de b).
Les coordonnées de A sont A(a; ( f (a )))
Les coordonnées de B sont B(b; ( f (b )))
Puisque a est différent de b, le coefficient directeur de la droite ∆ est donné par :
yB − y A
f (b ) − f (a ) b 2 − 3b + 1 − a 2 − 3a + 1 b 2 − 3b − a 2 + 3a
m( AB ) =
=
=
=
xB − x A
b−a
b−a
b−a
(
)
b 2 − a 2 − 3(b − a ) (b − a )(b + a ) − 3(b − a ) (b − a )(b + a − 3)
Ainsi m( AB ) =
=
=
b−a
b−a
b−a
On obtient en simplifiant m( AB ) = a + b − 3
3) Les points A et B décrivent le parabole P de façon que la droite (AB) reste parallèle à ∆.
On se propose d'étudier le lieu décrit alors par le milieu I du segment [AB]
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a) La droite ∆ a pour coefficient directeur 8. Or m( AB ) = a + b + 3 d’après 2.
Donc 8 = a + b − 3 , soit b = 8 − a + 3 = 11 − a
b) Calculer l'abscisse x0 de I.
L’abscisse du point I milieu de [AB] est donné par
x + x B a + b a + 11 − a 11
x0 = A
=
=
= . Cette abscisse ne dépend ni de a, ni de b
2
2
2
2
Par conséquent le point I se déplace sur la droite parallèle à l’axe des ordonnées
11
d’équation x =
2
2
y A + y B a 2 − 3a + 1 + b 2 − 3b + 1 a 2 − 3a + 1 + (11 − a ) − 3(11 − a ) + 1
=
=
c) y 0 =
2
2
2
2
2
2
a − 3a + 1 + 121 − 22a + a − 33 + 3a + 1 2a − 22a + 90
Ainsi y 0 =
=
= a 2 − 11a + 45
2
2
Il s’agit d’un trinôme du second degré. Son minimum a pour coordonnées (α ; β ) , où
2
11 
59

a − 11a + 45 = (a − α ) + β . Ainsi a − 11a + 45 =  a −  +
2
4

59
La valeur minimale de y 0 sera donc de
4
2
2
2
d) Le lieu géométrique de I est donc la demi droite d’équation x =
11
59
, avec y ≥
.
2
4
11
59 

Il s’agit de l’ensemble E= ( x; y ) / x = ; y ≥ 
2
4

1ère S-SI
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EXERCICE 2 : Algorithmique et mesure principale
1) L’algorithme (partiel) ci-contre, écrit avec Algobox, a pour objectif de fournir la mesure
principale d’un angle x (nombre réel). Ainsi, cet algorithme donne la décomposition de x
sous la forme a + 2kπ avec a ∈ ]− π ; π ] et k un nombre entier naturel.
Math.PI est la notation utilisée par le logiciel pour le nombre π .
Compléter ce programme
1 VARIABLES
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
3 k EST_DU_TYPE NOMBRE
4 a EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 LIRE x
7 k PREND_LA_VALEUR 0
8 SI (x>=Math.PI) ALORS
9
DEBUT_SI
10
TANT_QUE (x>Math.PI) FAIRE
11
DEBUT_TANT_QUE
12
x PREND_LA_VALEUR x-2*Math.PI
13
k PREND_LA_VALEUR k+1
14
FIN_TANT_QUE
15
a PREND_LA_VALEUR 2*k
16
AFFICHER "x = "
17
AFFICHER x
18
AFFICHER " + "
19
AFFICHER a
20
AFFICHER " * PI"
21
FIN_SI
22
SINON
23
DEBUT_SINON
24
TANT_QUE (x<=-Math.PI) FAIRE
25
DEBUT_TANT_QUE
26
x PREND_LA_VALEUR x+2*Math.PI
27
k PREND_LA_VALEUR k+1
28
FIN_TANT_QUE
29
a PREND_LA_VALEUR 2*k
30
AFFICHER "x = "
31
AFFICHER x
32
AFFICHER " - "
33
AFFICHER a
34
AFFICHER " * PI"
35
FIN_SINON
36 FIN_ALGORITHME
1 VARIABLES
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
3 k EST_DU_TYPE NOMBRE
4 a EST_DU_TYPE NOMBRE
5 b EST_DU_TYPE NOMBRE
6 DEBUT_ALGORITHME
7 LIRE x
8 k PREND_LA_VALEUR 0
9 b prend la valeur Math.PI
10 SI (x>=Math.PI) ALORS
11
DEBUT_SI
12
TANT_QUE (x>Math.PI) FAIRE
13
DEBUT_TANT_QUE
14
x PREND_LA_VALEUR x-2*Math.PI
15
k PREND_LA_VALEUR k+1
16
FIN_TANT_QUE
17
a PREND_LA_VALEUR 2*k
18
AFFICHER "x = "
19
SI (x==b)
20
DEBUT_SI
21
AFFICHER " PI "
22
FIN_SI
23
SINON
24
DEBUT_SINON
25
AFFICHER x
26
FIN_SINON
27
AFFICHER " + "
28
AFFICHER a
29
AFFICHER " * PI"
30
FIN_SI
31
SINON
32
DEBUT_SINON
33
TANT_QUE (x<=-Math.PI) FAIRE
34
DEBUT_TANT_QUE
35
x PREND_LA_VALEUR x+2*Math.PI
36
k PREND_LA_VALEUR k+1
37
FIN_TANT_QUE
38
a PREND_LA_VALEUR 2*k
39
AFFICHER "x = "
40
SI (x==b)
41
DEBUT_SI
42
AFFICHER " PI "
43
FIN_SI
44
SINON
45
DEBUT_SINON
46
AFFICHER x
47
FIN_SINON
48
AFFICHER " - "
49
AFFICHER a
50
AFFICHER " * PI"
51
FIN_SINON
52 FIN_ALGORITHME
2) Les nouvelles versions d’algobox renvoie effectivement la bonne décomposition pour
x=Math.PI. Par contre, il ne gère pas l’affichage de la valeur exacte. D’où la proposition
suivante qui modifie l’algorithme et affiche PI.
Remarque : il est évident que cet algorithme peut être amélioré. Il s’agit ici d’un exercice visant à
faire travailler la boucle TANT QUE et le test SI… ALORS… SINON…
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