FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 2015 Table des matières 1 Dérivée en un point 2 2 Continuité et dérivabilité 2 3 Fonction dérivée 2 4 Sens de variation d’une fonction dérivable 3 5 Dérivées et opérations 5.1 Dérivées et opérations . . . . . . . 5.2 Dérivée d’une fonction composée p 5.2.1 Dérivée de u . . . . . . . . 5.2.2 Dérivée de u n , n ∈ Z . . . . 5.3 Dérivée de x 7→ v(ax + b) . . . . . . 5.4 Dérivée de x 7→ f [g (x)] . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 4 4 4 6 Les fonctions sinus et cosinus 6.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Étude des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 7 QCM 7 8 EXERCICES : Les exercices de base 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S 1 Dérivée en un point Définition 1. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R et a ∈ I . f (x) − f (a) On dit que la fonction f est dérivable en a lorsque admet une limite finie quand x tend vers x −a a. Cette limite est notée f ′ (a), c’est le nombre dérivé de f en a. On note : f ′ (a) = lim x→a f (x) − f (a) x −a = lim f (a + h) − f (a) h→0 h Définition 2. Soit I un intervalle et f une fonction dérivable en a ∈ I . La tangente à la courbe représentative de f au point A d’abscisse a est la droite passant par A de coefficient directeur f ′ (a). Elle admet pour équation y = f ′ (a)(x − a) + f (a) 2 Continuité et dérivabilité 3 Propriétés 1. admis Si f est dérivable en un réel a, alors f est continue en a. 2 Attention la réciproque est fausse. 1 Exemple : x 7→ |x| est continue sur R mais x 7→ |x| n’est pas dérivable en 0. −2 1 −1 2 −1 3 Fonction dérivée Définition 3. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R . On dit que f est dérivable sur I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I . Dérivées usuelles Fonction f définie par : f (x) = k f (x) = x n , n ∈ N∗ 1 f (x) = x 1 f (x) = n = x −n , n ∈ N∗ x p f (x) = x Fonction f ′ définie par : f ′ (x) = 0 ′ f (x) = nx n−1 1 f ′ (x) = − 2 x n f ′ (x) = −nx n−1 = − n+1 x 1 f ′ (x) = p 2 x Ph Depresle : Notes de cours Intervalles de validité ] − ∞; +∞[ ] − ∞; +∞[ ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[ ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[ ]0; +∞[ Page 2 sur 12 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S Remarque : Pour p ∈ Z∗ , si f (x) = x p , alors f ′ (x) = p x p−1 8 Exemple : Soit f : x 7→ x 2 + 1. Cette fonction est définie sur R et sa dérivée est f ′ (x) = 2x. Une équation de la tangente à C f au point d’abscisse 3 est y = f ′ (3)(x − 3) + f (3) On a f (3) = 10 et f ′ (3) = 6 soit y = 6(x −3)+10 soit y = 6x −8. 6 y = x42 + 1 2 −4 y = 6x − 8 2 −2 4 −2 4 Sens de variation d’une fonction dérivable Théorème 1. (admis) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I . • Si f ′ est nulle sur I , alors f est constante sur I . • Si f ′ est strictement positive sur I sauf en un nombre fini de points où elle peut s’annuler, alors f est strictement croissante sur I . • Si f ′ est strictement négative sur I sauf en un nombre fini de points où elle peut s’annuler, alors f est strictement décroissante sur I . 5 Dérivées et opérations 5.1 Dérivées et opérations Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k un réel. fonction dérivée f ′ f ′ = u′ + v ′ f ′ = k.u ′ ′ f = u ′ .v + u.v ′ v′ f ′=− 2 v ′ u v − uv ′ ′ f = v2 fonction f somme f = u + v f = k.u produit f = u.v 1 f = v quotient u f = v dérivabilité dérivable sur l’intervalle I . dérivable sur l’intervalle I . dérivable en tout réel x de l’intervalle I où v(x) est non nul. 5.2 Dérivée d’une fonction composée 5.2.1 Dérivée de p u Théorème 2. Soit u une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ¡p ¢′ p p u′ alors u : x 7→ u(x) est dérivable sur I et sa dérivée est u = p . 2 u Ph Depresle : Notes de cours Page 3 sur 12 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S p Exemple : Soit f : x 7→ x 2 + 1 comme u : x 7→ x 2 + 1 est strictement positif et dérivable sur R , alors f est dérivable sur R et on a : 2x x f ′ (x) = p =p ( car u ′ (x) = 2x). 2 2 2 x +1 x +1 5.2.2 Dérivée de u n , n ∈ Z Théorème 3. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I alors • si n ∈ N, u n : x 7→ [u(x)]n est dérivable sur I . • si n ∈ Z− et si u ne s’annule pas sur I alors u n est dérivable sur I . et dans tous les cas (u n )′ = nu ′u n−1 . Exemples : ⋄ Soit f : x 7→ (x 2 + x + 1)17 . f est dérivable sur R et f ′ (x) = 17(2x + 1)(x 2 + x + 1)16 . ⋄ Soit g : x 7→ 1 1 . g est dérivable sur ] − ∞; [∪] ; +∞[. (4x + 1)2 4 4 3 g (x) = 3(4x + 1)−2 et g ′ (x) = 3 × (−2) × 4 × (4x + 1)−3 = − 24 (4x + 1)3 5.3 Dérivée de x 7→ v (ax + b) Théorème 4. Soit x 0 ∈R , tel que v dérivable en ax 0 +b, alors la fonction h : x 7→ v(ax +b) est dérivable x 0 et sa dérivée en x 0 est h ′ (x 0 ) = a × v ′ (ax 0 + b). ! Ã π sur R . Exemple : Soit f : x 7→ sin 2x + 4 ! Ã π Sa dérivée est f ′ (x) = 2 cos 2x + 4 5.4 Dérivée de x 7→ f [g (x)] Soit g I − → x 7→ J g (x) f − → 7→ R f (g (x)) ¾ on compose les fonctions f et g Théorème 5. Si g est dérivable en x 0 et f est dérivable en g (x 0 ) alors la fonction h : x 7→ f [g (x)] est dérivable en x 0 et on a h ′ (x 0 ) = g ′ (x 0 ) × f ′ [g (x 0 )]. Remarque : On retrouve comme cas particuliers les dérivées de Résumé : Ainsi, pour n ∈ Z∗ , fonction dérivée f = un f ′ = nu ′u n−1 1 u′ f = f ′ =− 2 u u Ph Depresle : Notes de cours fonction f = p u p u 1 u u n et : x 7→ v(ax + b) dérivée u′ f′= p 2 u Page 4 sur 12 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S b 6 Les fonctions sinus et cosinus 6.1 Propriétés Rappel : On se place dans un repère orthonormé direct ³ → − → −´ O ; i , j du plan. Soit C le cercle trigonométrique de centre O. Si x est un réel, et si M est le point de C associé à x, (x est → − −−−→ alors une mesure en radian de l’angle orienté ( i , OM )) cos x et sin x sont les coordonnées de M dans le repère ³alors→ − → −´ O;i , j . µ ¶ −−→ x M (cos x; sin x) et OM y sin x b b b M cos x O x b b A Propriétés 2. • Les fonctions cos : x 7→ cos x et sin : x 7→ sin x sont définies sur R et sont périodiques de période 2π : ∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x. b • La fonction cos : x 7→ cos x est paire sur R et la fonction sin : x 7→ sin x est impaire sur R : ∀x ∈ R, cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin x. • Les fonctions cos et sin sont continues et dérivables sur R et on a : ′ ∀x ∈ R, cos x = − sin x et • On a lim x→0 sin x x = 1 et lim sin x = cos x cos x − 1 x→0 fonction f = cos u f = sin u ′ x dérivée f = −u ′ sin u f ′ = u ′ cos u ′ =0 6.2 Étude des fonctions sinus et cosinus ⋄ La fonction cosinus D’abord sur [0; π] en utilisant le cercle trigonométrique : π x 0 π 2 cos′ x = − sin x 0 − −1 − 0 1❍ ❍❍ ❥0 cos x ❍❍ ❍ ❥−1 1 −3 −2 1 −1 et on complète par parité sur [−π; 0]. (symétrie d’axe O y) −1 → − Puis par périodicité, la courbe est invariante par la translation de vecteur 2π i . La representation graphique de la fonction cos est donc : Ph Depresle : Notes de cours Page 5 sur 12 2 3 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S → − 2π i 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 1 −1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 −1 ⋄ La fonction sinus π 0 x sin′ x = cos x 1 sin x 0 π 2 0 1 + −1 ✒ ❅ ❅ ❅ ❘ 1 −3 0 −2 −1 −1 et on complète par imparité sur [−π; 0]. (symétrie de centre O) → − Puis par périodicité, la courbe est invariante par la translation de vecteur 2π i . La representation graphique de la fonction sin est donc : → − 2π i 1 −6 −5 −4 −3 −2 1 −1 2 3 4 5 6 7 8 −1 Ph Depresle : Notes de cours Page 6 sur 12 3 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S 7 QCM Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant : 1. La dérivée de la fonction f est la fonction g . (a) f (x) = x −1 x +1 et g (x) = 2x (x + 1)2 . 1 g (x) = . x 1 n (c) f (x) = n et g (x) = − n+1 , où n est un entier naturel strictement positif. x x (d) f = u n et g = nu n−1 , où n est un entier naturel strictement positif et u une fonction dérivable sur R. (b) f (x) = − 1 x2 et 2. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus en 0 est : (a) y = 0. (b) y = x (c) y = cos x. 3. La fonction f est paire si et seulement si f ′ est impaire. Solution : 1. (a) FAUX. Pour tout réel x 6= 1, f ′ (x) = ′ (x + 1) − (x − 1) (x + 1)2 Ã (b) FAUX. Pour tout réel x non nul, f (x) = − − 2x x4 ! = = 2 2 (x + 1)2 x3 . . En fait c’est la fonction f qui est la dérivée de g ! (c) VRAI Pour tout réel x non nul, f (x) = x −n , n donc f ′ (x) = −nx −n−1 = − n+1 . x (d) FAUX. f ′ = nu ′u n−1 . 2. L’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus en 0 est y = cos 0(x − 0) + sin 0+ = x. La bonne réponse est b. En particulier c est fausse : la fonction cosinus est la dérivée de la fonction sinus. 3. Si f est une fonction paire, pour tout réel x, f (−x) = f (x). Donc − f ′ (−x) = f ′ (x) (dérivée d’une fonction composée). La fonction f ′ est est impaire. On a montré que si f est une fonction paire, alors sa dérivée f ′ est impaire. Mais la réciproque est fausse : Posons pour tout réel x, f (x) = x 3 + 1. La fonction f n’est pas impaire. Mais pour tout réel x, f ′ (x) = 3x 2 , f ′ est une fonction paire. Donc c’est FAUX. Ph Depresle : Notes de cours Page 7 sur 12 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S 8 EXERCICES : Les exercices de base Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 2 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal. A est un point d’abscisse a non nulle de C et ∆ est la tangente en A à C . On note B le point d’intersection de ∆ et de l’axe des abscisses. 1. Trouver, en fonction de a, une équation de ∆. 2. Trouver l’abscisse de B . Exercice 2 3x 2 + ax + b . x2 + 1 Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de f admette comme tangente au point d’abscisse 0 la droite (T ) d’équation y = 4x + 3. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = Exercice 3 Le plan est muni d’un repère orthonormal (O; #» ı , #» ). On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle [−3 ; 2]. On dispose des informations suivantes : • f (0) = −1. • la dérivée f ′ de la fonction f admet la courbe représentative C ′ ci -dessous. → − j O → − i C′ Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. 1. La représentation graphique de la fonction f admet une tangente horizontale sur [−3; 0]. 2. La fonction f est croissante sur l’intervalle [−1 ; 2]. 3. Pour tout réel x de l’intervalle [−3 ; 2], f (x) Ê −1. 4. Soit C la courbe représentative de la fonction f . La tangente à la courbe C au point d’abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1 ; 0). Exercice 4 sin x (fonction tangente). cos x 1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction tangente ? On pose tan(x) = 2. Montrer que la fonction tangente admet π comme période et est impaire. 3. Étudier ses variations et ses branches infinies, tracer sa courbe représentative C dans un repère orthonormé du plan. Ph Depresle : Notes de cours Page 8 sur 12 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Exercice 5 Terminale S 2x + sin x . x −1 2x − 1 2x + 1 1. Démontrer que pour tout x > 1 : É f (x) É . x −1 x −1 2. En déduire la limite de f en +∞. f est la fonction définie sur ]1, +∞[ par : f (x) = Exercice 6 Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f (x) = x + cos x. En déduire que l’équation f (x) = 2 a une unique solution, en donner un encadrement d’amplitude 10−2 près. Ph Depresle : Notes de cours Page 9 sur 12 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) Exercice 1 : 1. Une équation de ∆ est : y = f ′ (a)(x − a) + f (a) = 2a(x − a) + a 2 . 2. B appartient à ∆ et a une ordonnée nulle. Son abscisse vérifie 2a(x B − a) + a 2 = 0, donc x B = a − a = . 2 2 a Exercice 2 : (6x + a)(x 2 + 1) − 2x(3x 2 + ax + b) −ax 2 + (6 − 2b)x + a = (x 2 + 1)2 (x 2 + 1)2 ′ f (0) = b et f (0) = a, l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 0 est y = f ′ (0)(x − 0) + f (0) = ax + b. Pour que cette tangente soit la droite (T ) il faut et il suffit que a = 4 et b = 3. f est dérivable sur R et f ′ (x) = Exercice 3 : 1. VRAI. La fonction f ′ s’annule en -1. Donc C admet une tangente horizontale au point d’abscisse -1. 2. VRAI. f ′ est positive sur [−1; 2], donc f est croissante sur [−1; 2]. 3. FAUX. Le tableau de variations de f est : x −3 f′ f − −1 0 ❅ ❅ ❅ ❘ 0 2 + ✯ ✟✟ ✟ ✯−1 ✟✟ ✟ f étant strictement croissante sur [−1; 2], on a f (−1) < f (0). Or f (0) = −1. D’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe a dans [−1; 2] tel que f (a) < −1. 4. VRAI. L’équation de la tangente à C au point d’abscisse 0 est y = f ′ (0)(x − 0) + f (0) = x − 1. Le point de coordonnées (1, 0) appartient bien à cette droite. Exercice 4 : 1. La fonction tangente est définie lorsque cos(x) est différent de 0, donc pour tout réel différent π de + kπ, où k est un entier relatif. 2 2. Pour tout réel x appartenant à l’ensemble de définition de cette fonction : sin(x + π) − sin x tan(x + π) = = = tan(x) cos(x + π) − cos x sin(−x) − sin x = = − tan(x). tan(−x) = cos(−x) cos x " " π Il suffit d’étudier la fonction sur 0; . 2 Ph Depresle : Notes de cours Page 10 sur 12 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S # π π " 3. Pour tout entier relatif k, tan est dérivable sur − + kπ; + kπ et pour tout x de appartenant 2 2 à cet intervalle : cos x cos x − sin x(− sin x) 1 tan′ (x) = = car cos2 x + sin2 x = 1. cos2 x cos2 x La dérivée de la fonction tan est positive, cette fonction est strictement croissante sur tous les intervalles où elle est définie. π Quand x tend vers par valeurs inférieurs, sin x tend vers 1 et cos x tend vers 0. La fonction cos étant " " 2 π π positive sur 0; , tan x tend vers +∞ : La droite d’équation x = est asymptote verticale à la courbe 2 2 représentative de le fonction tan π~ i π 2 − π2 3π 2 y = tan x Exercice 5 : 1. Pour x > 1 on a : −1 É sin x É 1. Donc 2x − 1 É 2x + sin x É 2x + 1. 2x − 1 2x + 1 Comme x − 1 est positif : É f (x) É . x −1 x −1 2x + 1 2x − 1 et h(x) = . 2. Posons g (x) = x −1 x −1 2x 2x lim g (x) = lim = 2 et lim h(x) = lim = 2. x→+∞ x→+∞ x x→+∞ x→+∞ x Ch Cf Cg #» #» ı 0 f est comprise entre les fonctions g et h qui tendent vers 2 quand x tend vers +∞. Le théorème de l’encadrement nous permet d’affirmer que f converge et que sa limite est 2 en +∞. Exercice 6 : Ph Depresle : Notes de cours Page 11 sur 12 Chapitre : Fonctions numériques : dérivation Terminale S ′ • f est dérivable sur R et f (x) = 1 − sin x. π Si x est un réel différent de + 2kπ où k est un entier relatif, sin x < 1. 2 Donc 1 − sin x > 0. π f ′ est strictement positive, sauf aux réels + 2kπ où elle s’annule. 2 f est donc strictement croissante sur R. • Pour tout réel x : −1 É cos x É 1 donc x − 1 É f (x) É x + 1. La fonction f est minorée par la fonction x 7→ x − 1 qui tend vers +∞ quand x tend vers +∞. Donc elle tend vers +∞. La fonction f est majorée par la fonction x 7→ x + 1 qui tend vers −∞ quand x tend vers −∞. Donc elle tend vers −∞. y = x +1 y = x + cos(x) x −∞ f (x) +∞ +∞ ✒ → − j → − i 0 y = x −1 −∞ • f est continue, strictement croissante sur R. L’image de R par f est R. D’après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement croissante, il existe un unique réel α tel que f (α) = 2. Or f (2) = 2 + cos(2) ≈ 1, 58 et f (3) = 3 + cos(3) ≈ 2, 01, donc 2 < α < 3. A l’aide de la calculatrice, on obtient : α ∈]2, 98; 2, 99[. Ph Depresle : Notes de cours Page 12 sur 12