301 ARITHMETIQUE Leçon 1 I. DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS a) Diviseurs communs Exemple : 18 = 6 x 3 Compléter 18 = 1 x On dit que 6 et 3 sont … Et que 18 est un … =2x =3x En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs de 18 : Puis celle de tous les diviseurs de 12 : Définition : Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise a et qui divise b. En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs communs à 12 et à 18 : Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b. b) PGCD Propriété : Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres. On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b). Ainsi PGCD(12 ; 18) = Ex 1 : Trouver le PGCD (56 ; 72) Ex 2 : Trouver le PGCD (15 ; 16) Diviseurs de 56 : Diviseurs de 72 : Diviseurs de 15 : Diviseurs de 16 : Diviseurs communs à 56 et à 72 : Diviseurs communs à 15 et à 16 : PGCD (56 ; 72) = PGCD (15 ; 16) = Définition : Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux. Exemples : 15 et 16 sont donc premiers entre eux car PGCD (15 ; 16) = 1 par contre 5 et 15 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (5 ; 15) = 5 Remarque : lorsqu’il s’agit de « petits nombres » comme précédemment, on peut faire la liste des diviseurs, mais dans les cas plus compliqués on utilise un autre procédé. 301 ARITHMETIQUE Leçon 2 II. RECHERCHE DU PGCD L’algorithme d’EUCLIDE Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec b<a) , alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r). Exemple : Calculer PGCD (294 ; 70) a b r 294 70 14 -> On divise 294 par 70 (294 = 70 x 4 + 14) 70 14 0 -> On divise 70 par 14. (70 = 14 x 5 +0) Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé, donc PGCD (294 ; 70) = 14 Applications : Déterminer PGCD (631 ; 203) et PGCD (741 ;198) III. FRACTIONS IRREDUCTIBLES a est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux. b Définition : Une fraction Exemple : la fraction 7 est irréductible car PGCD (7 ; 11) = 1 11 Propriété : Pour rendre irréductible une fraction a en une seule simplification, on calcule b le PGCD (a ; b) puis on divise numérateur et dénominateur par ce PGCD. Exercices : Simplifier 357 235 319 , , avec l’algorithme d’Euclide et vérifier votre réponse à l’aide 561 534 407 d’une calculatrice. Simplifier 109891236 1797523 Exercices : 28 à 32 p.14. IV. EN SAVOIR PLUS… a) Nombre premier Définition : Un nombre est premier lorsqu’il est divisible par le nombre 1 et par lui même. Ex : 2, 3, 5, 7 … b) Ensembles de nombres Faire un schéma et conclure avec D (cf p.11).