DM LC Novembre 2011

Université Joseph Fourier - Grenoble I
UE PHY 111 et PHY 112 - Licence - L1
Devoir à la Maison, Novembre 2011
Lois de Conservation et Fluides
Ce Devoir est supposé pouvoir être traité en 2 heures environ.
Une partie de la note portera sur les explications accompagnant les calculs.
On donnera toujours les expressions littérales avant de faire les applications numériques.
Puissance d’une voiture
A. Montée
On considère une voiture de masse M qui roule à la vitesse v constante sur une route
rectiligne, inclinée d’un angle α (cf. Figure 1). Dans cette partie, on néglige les frottements.
!
Figure 1.
1. Exprimer la vitesse ascensionnelle de la voiture va, (composante verticale de la vitesse)
en fonction de v et de α.
2. Exprimer l’augmentation de l’énergie potentielle ∆Ep de la voiture dans un intervalle de
temps ∆t en fonction de M, g, va et ∆t.
3. Exprimer alors la puissance mécanique Pm nécessaire pour faire monter la voiture en
fonction de M, g, v et α.
4. Application numérique : on donne v = 50 km/h ; M = 1,2 tonne ; α = 5° ; g ≈ 10 ms-2.
Calculer Pm.
5. À l’instant t = 0, le conducteur se met en roues libres. Expliquer ce qui se passe et
exprimer la distance ∆l parcourue par la voiture avant qu’elle ne s’arrête.
6. Application numérique : avec les mêmes valeurs qu’à la question 4, calculer la distance
∆l parcourue par la voiture avant qu’elle ne s’arrête.
B. Forces de frottements
On suppose que les frottements s’opposant au mouvement du véhicule (dans l’air et au
contact du sol) peuvent êtres modélisés par une force F proportionnelle au carré de la
vitesse : || F || = F = K || v ||2 = Kv2.
1. Déterminer la dimension de la constante K.
2. Rappeler l’expression vectorielle du travail dW
! de la force de frottements F s’exerçant
dl
sur
une
longueur
dans
un
intervalle
de
temps
dt.
!
!
3. En divisant l’expression obtenue à la question précédente par l’intervalle de temps dt,
v de la voiture.
établir la relation entre PF la puissance dissipée par la force F , et la vitesse
!
4. Indiquer
! qualitativement la direction de la force de frottement F (en l’expliquant). En déduire une expression simplifiée de PF. Quelle est la signification physique du signe de PF ?
!
!
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!
5. On suppose qu’à la vitesse v = 50 km/h la valeur absolue de la puissance dissipée par
les frottements : |PF| représente r = 47% de la Puissance totale PT fournie par le moteur (le
reste constituant la puissance mécanique, Pm). En déduire l’expression littérale de K en
fonction de r, PT et v.
6. Calculer K pour r = 47%, PT = 27,5 kW et v = 50 km/h.
C. Puissance et vitesse
On donne les deux courbes suivantes :
La Figure 2. donne la puissance maximale P que peut fournir le moteur (en kW) en fonction
du régime moteur (vitesse de rotation du moteur, en tours par minute).
La Figure 3. représente la vitesse du véhicule en fonction également du régime moteur
(vitesse de rotation du moteur, en tours par minute), pour les différents rapports de la boîte
de vitesse. Par exemple en première vitesse (R1), le véhicule avance à 12,5 km/h lorsque
le moteur tourne à 2000 tours/min.
Figure 2.
Figure 3.
Dans cette partie, la voiture roule sur une route rectiligne, inclinée d’un angle α (Figure 1).
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1. La vitesse de la voiture est constante et vaut v = 50 km/h. À partir des Figures 2 et 3,
déterminer la puissance maximale P que peut fournir le moteur suivant que le conducteur
utilise le rapport R1, R2, R3 ou R4.
2. On suppose que la puissance totale nécessaire pour monter cette route à v = 50 km/h
est PT = 27,5 kW. Indiquer qualitativement pour chaque rapport (R1 à R4) ce qui se passe.
3. La voiture roule à 50 km/h avec le rapport R2. À l’instant t0 on veut accélérer. Quelle est
la puissance disponible Pdispo pour accélérer à l’instant t0 (c’est à dire au début de
l’accélération) ? On rappelle que la puissance dissipée par les frottements représente
r = 47% de la Puissance totale fournie par le moteur.
4. À partir de l’expression obtenue à la question B.3. exprimer puis calculer la force de
traction F traction disponible pour l’accélération à l’instant t0.
5. En déduire l’accélération a de la voiture à l’instant t0 (au début de l’accélération). On
rappelle la masse de la voiture : M = 1,2 tonne.
!
D. Combustion du carburant
On suppose que l’essence utilisée par cette voiture est essentiellement constituée
d’octane, de formule C8H18. La combustion de l’octane produit de l’eau et du dioxyde de
carbone, et libère une énergie E1 = 47 MJ pour une masse m1 = 1 kg d’octane brûlé.
1. Écrire et équilibrer la réaction de combustion de l’octane.
2. Le rendement thermique du moteur est noté rt (rapport entre l’énergie mécanique fournie
par le moteur, et l’énergie calorifique fournie par la combustion de l’essence). Exprimer ce
rendement en fonction de la puissance mécanique totale PT, et de la puissance calorifique
fournie par la combustion de l’essence Pc.
3. Exprimer Pc en fonction du débit massique d’essence dc (masse d’essence consommée
par unité de temps), de E1 et de m1. On pourra raisonner sur un intervalle de temps ∆t.
4. Exprimer alors le débit massique d’essence dc en fonction de rt, PT, E1 et m1.
5. Calculer dc pour une puissance PT = 27,5 kW et un rendement thermique rt = 35%.
6. En déduire la consommation de la voiture si elle effectue 100 km dans ces conditions, en
kilogrammes, puis en litres d’essence (la masse volumique de l’essence est ρ = 700 kg/m3).
E. Freinage
1. On suppose que la voiture roule à la vitesse v sur une route rectiligne horizontale. D’un
point de vue énergétique, que se passe-t-il si la voiture freine ?
2. La voiture de masse M possède 4 freins à disque en acier de masse unitaire m1 et de
chaleur massique C. Donner l’expression littérale de l’élévation de température ∆T1 des
freins lors du freinage (de la vitesse v à jusqu’à l’arrêt), en fonction de M, m1, v et C.
3. On donne M = 1200 kg, m1 = 10 kg, v = 130 km/h et C = 500 J.kg-1.K-1. Calculer ∆T1.
4. On suppose maintenant que la voiture descend une montagne d’altitude H en ne freinant
qu’avec ses freins. Donner l’expression littérale de l’élévation de température ∆T2 des
disques de frein lorsque l’on arrive en bas de la montagne, en fonction de M, m1, g, H et C.
5. On donne H = 1000 m, g ≈ 10 m.s-2. Calculer ∆T2 et commenter le résultat trouvé.
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