ALG`EBRE BILIN´EAIRE 2

30-8- 2013
J.F.C.
p. 1
ALGÈBRE BILINÉAIRE 2
P mentionne des résultats particulièrement utiles et souvent oubliés dans la pratique de l’algèbre bilinéaire ...
⋆
mentionne des erreurs à ne pas faire où des hypothèses importantes ou des mises en garde.
SF mentionne des savoirs faire.
Sauf mention du contraire dans la suite (E, < ., . >) est un espace préhilbertien.
S repère un exercice simple.
PC repère un exercice où il faut chercher.
Sauf mention du contraire dans la suite (E, < ., . >) est un espace préhilbertien.
SF 1 Montrer qu’un endomorphisme est symétrique. Montrer qu’une matrice est symétrique.
Rappelons que :
Soit f un endomorphisme de E. f est symétrique si :
∀(x, y) ∈ E 2 , < f (x), y >=< x, f (y) >.
Soit A = (ai,j ) une matrice de Mn (R) (ou de Mn (K)).
2
A est symétrique si t A = A ou si ∀(i, j) ∈ [[1, n]] , aj,i = ai,j .
Soit A une matrice de Mn (R). < ., . > est le produit scalaire de Mn,1 (R). Les assertions suivantes sont équivalentes.
i) A est symétrique.
ii) ∀X ∈ Mn,1 (R), ∀Y ∈ Mn,1 (R), < AX, Y >=< X, AY >.
iii) ∀X ∈ Mn,1 (R), ∀Y ∈ Mn,1 (R), t Y AX = t XAY .
Ici E est de dimension n (n ∈ N∗ ), B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base
phisme de E.
P
orthonormée
de E et f un endomor-
f est un endomorphisme symétrique de E si et seulement si sa matrice A dans la base B est symétrique (t A = A).
⋆ L’hypothèse orthonormée est essentielle.
Exercice 1
S
Endomorphisme symétrique. Contenu dans LYON 2007.
∫ 1
(
)′′
2
E = Rn [X]. ∀(P, Q) ∈ E , (P | Q) =
(1 − x2 ) P (x) Q(x) dx. ∀P ∈ E, ϕ(P ) = (X 2 − 1) P .
−1
Q1. Montrer que (. | .) est un produit scalaire sur E.
(
)
Q2. Montrer que ϕ est un endomorphisme symétrique de E, (. | .) .
Exercice 2
S
Endomorphisme symétrique.
I Très classique, à savoir faire.
J.F.C.
∫
E = R[X]. On pose : ∀(P, Q) ∈ E , < P, Q >=
+∞
2
−∞
Q0. Soit S un élément de R[X]. montrer que : lim
t→−∞
P (t) Q(t) e−t
(
S(t) e−t
2
/2
2
/2
p. 2
dt.
)
(
= 0 et lim
t→+∞
S(t) e−t
2
/2
)
= 0.
Q1. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E.
Q2. On pose ∀P ∈ E, φ(P ) = XP ′ − P ′′ .
a) Montrer que φ est un endomorphisme de E.
b) Montrer que : ∀(P, Q) ∈ E 2 , < P, φ(Q) >=< P ′ , Q′ > (on pourra d’abord dériver t → Q′ (t)e−t
2
/2
).
En déduire que φ est un endomorphisme symétrique de E.
∫ +∞
2
Variante : on trouve aussi < P, Q >=
P (t) Q(t) e−t dt et φ(P ) = 2XP ′ − P ′′ .
−∞
• Thème analogue dans oral ESCP 2007 2.12, ESSEC 2002, LYON 2008.
Exercice 3
S
Endomorphisme symétrique.
E est l’ensemble des suites réelles (un )n>0 telles que la série de terme général u2n converge.
Si u = (un )n>0 et v = (vn )n>0 sont deux éléments de E, on pose : φ(u, v) =
+∞
∑
uk vk .
k=0
Nous avons déja vu que E est un espace vectoriel sur R et que φ est un produit scalaire sur E.
(
) ( u )
n
On pose ∀(un )n>0 ∈ E, f (un )n∈N =
n + 1 n∈N
Q1. Montrer que f est un endomorphisme symétrique de E.
Q2. Montrer que f est injectif et non surjectif. En déduire que Im f est strictement contenu dans (Ker f )⊥ .
Exercice 4
S
Endomorphisme symétrique. Caractérisation des symétries orthogonales.
E est un espace vectoriel euclidien. F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires.
s est la symétrie vectorielle de E par rapport à F parallèlement à G.
Montrer que G = F ⊥ si et seulement si s est un endomorphisme symétrique.
• On peut sur le sujet regarder le problème d’EDHEC 2002.
Exercice 5
S
Matrice symétrique. QSP HEC 2010.
I À savoir faire par cœur.
L appartient à Mn,k (R) et M = t LL.
Q1. Montrer que M est une matrice symétrique de Mk (R) et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.
Q2. Donner une condition nécessaire et suﬃsante portant sur L pour que les valeurs propres de M soient strictement
positives.
• Thème abordé dans Oral ESCP 2002 2.4, 2004 2.11, 2009 2.7, HEC MI 2003.
Exercice 6
S
Endomorphisme symétrique.
E = Mn (R) est munit du produit scalaire canonique que nous noterons < ., . > (∀(M, N ) ∈ E, < M, N >= tr(t M N )).
A est une matrice symétrique inversible de Mn (R). ∀M ∈ E, φ(M ) = AM A−1 .
J.F.C.
p. 3
Montrer que φ est un endomorphisme symétrique de (E, < ., . >).
• Voir à ce sujet l’exercice 2 d’EDHEC 2007.
Exercice 7
S
Endomorphisme symétrique.
I Classique. Bon entraı̂nement.
n ∈ [[3, +∞[[. E est un espace vectoriel euclidien de dimension n et (u, v) est une famille libre de E.
α et β sont deux réels non nuls. On pose : ∀x ∈ E, f (x) = α < v, x > u + β < u, x > v.
Q1. Montrer que f est un endomorphisme de E. Déterminer Ker f et Im f .
Q2. Montrer que F = Vect(u, v) est stable par f .
Soit g l’endomorphisme de F qui à tout élément x de F associe f (x).
Montrer que les valeurs propres non nulles de f sont les valeurs propres de g.
Qu’en déduire sur le nombre de valeurs propres de f ?
Q3. a) Trouver une condition nécessaire et suﬃsante pour que f soit un endomorphisme symétrique de E.
b) Ici α = β. Écrire la matrice de g dans la base B = (u, v) de F . Trouver les valeurs propres et les sous-espaces
propres de f .
• Thème abordé matriciellement dans oral ESCP 2009 2.8
Exercice 8
PC CNS pour que la composée de deux endomorphismes symétrique soit un endomorphisme symétriques.
Soient f et g deux endomorphismes symétriques de E (qui n’est pas nécessairement euclidien).
Montrer que f ◦ g est un endomorphisme symétrique si et seulement si f et g commutent.
Exercice 9
PC
Endomorphismes symétriques.
I Intéressant. Sans doute à faire.
E est un espace vectoriele eucliden de dimension n non nulle. f1 , f2 ,..., fp sont p endomorphismes symétriques de E
tels que :
p
p
∑
∑
rg fk = n et ∀x ∈ E,
< fk (x), x > = ∥x∥2
k=1
k=1
Q1. a) Montrer que si g est un endomorphisme symétrique de E tel que ∀x ∈ E, < g(x), x >= 0 alors g est
l’endomorphisme nul (on pourra utiliser x + y ! !).
b) Montrer que
p
∑
fk = idE .
k=1
Q2. a) Montrer que E est somme directe des sous-espaces vectoriels Im f1 , Im f2 , ..., Im fp .
b) Montrer que ∀x ∈ E, ∀i ∈ [[1, p]], fi (x) =
p
∑
fk (fi (x)).
k=1
c) Montrer que f1 , f2 , ..., fp sont des projecteurs orthogonaux.
En plus 1 n ∈ [[2, +∞[[. E est un espace vectoriel euclidien de dimension n. λ est un réel non nul. u est un vecteur
unitaire de E. On pose ∀x ∈ E, f (x) = λ < x, u > u + x.
J.F.C.
p. 4
Montrer que f est un endomorphisme symétrique de E. Trouver ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
• Voir à ce sujet l’exercice 2 EDHEC 2010, oral ESCP 2003 2.14 et 2.15.
En plus 2
Endomorphisme symétrique. Contenu dans oral ESCP 2011 2.3.
∫ 1
)′
(
2
E = R[X]. ∀(P, Q) ∈ E , (P | Q) =
P (t) Q(t) dt. ∀P ∈ E, ϕ(P ) = (X 2 − 1) P ′ .
−1
Q1. Montrer que (. | .) est un produit scalaire sur E.
(
)
Q2. Montrer que ϕ est un endomorphisme symétrique de E, (. | .) .
En plus 3
Ceci est contenu dans LYON 1998, LYON 2011.
∫ +∞
E = R[X]. ∀(P, Q) ∈ E 2 , < P, Q >=
P (x) Q(x) e−x dx. ∀P ∈ E, T (P ) = XP ′′ − (X − 1) P ′ .
0
Q1. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E.
(
)
Q2. Montrer que T est un endomorphisme symétrique de E, < ., . > (on pourra s’intéresser à la dérivée de
x → xP ′ (x) e−x .).
En plus 4
Contenu dans oral ESCP 2000 2-2, 2008 2.20
√
∫ 1
1−t
2
E = R[X]. ∀(P, Q) ∈ E , < P, Q >=
P (t) Q(t)
dt. ∀P ∈ E, φ(P ) = (X 2 − 1)P ′′ + (2X + 1) P ′ .
1+t
−1
Q1. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E.
Q2. a) Montrer que φ est un endomorphisme de E.
b) Soient P et Q deux éléments de R[X].
∫ 1
1
3
Montrer que < φ(P ), Q >=
(1 − t) 2 (1 + t) 2 P ′ (t) Q′ (t) dt (on pourra commencer à intégrer par parties
−1
√
)
1−t
(t2 − 1) P ′′ (t) + 2 t P ′ (t) Q(t)
dt en remarquant que la première parenthèse est une dérivée ; être pa1+t
a
tient...).
∫
b
(
En déduire que φ est un endomorphisme symétrique de E.
I Exercice assez technique qui constitue un bon entraı̂nement.
En plus 5 ESSEC 1999 Meilleure approximation d’un endomorphisme symétrique par endomorphisme symétrique
positif de rang au plus un.
I Problème intéressant d’un bon niveau.
En plus 6
l’exercice 3 EDHEC 2009.
J.F.C.
p. 5
SF 2 Diagonaliser un endomorphisme (resp. une matrice) symétrique. C’est à dire trouver une
base orthonormée de vecteurs propres...
SF 3 Savoir utiliser une base orthonormée de vecteurs propres d’une matrice symétrique ou d’un
endomorphisme symétrique dans les problèmes les plus usuels.
Complément 6 :
Caractérisation des matrices symétriques positives.
Complément 7 :
Caractérisation des matrices symétriques déﬁnies-positives.
Complément 8 :
Encadrement de Rayleigh.
Rappels théoriques.
Soit f un endomorphisme symétrique de E.
1. Les sous-espaces propres de f sont deux à deux orthogonaux.
2. Si (uk )16k6p est une famille de vecteurs propres de f associés à des valeurs propres deux à deux distinctes alors
la famille (uk )16k6p est une famille orthogonale de E.
Le théorème fondamental sur la réduction des endomorphismes symétriques.
Soit f un endomorphisme symétrique de E espace vectoriel euclidien de dimension ﬁnie non nulle.
1. f est diagonalisable.
2. Mieux, il existe une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f (donc f se diagonalise dans
une base orthonormée).
A est une matrice symétrique de Mn (R)
1. Les valeurs propres de A sont réelles (SpR A = SpC A).
2. Les sous-espaces propres de A sont deux à deux orthogonaux.
3. Si (Xk )16k6p est une famille de vecteurs propres de A associés à des valeurs propres deux à deux distinctes alors
la famille (Xk )16k6p est une famille orthogonale Mn,1 (R).
Le théorème fondamental sur la réduction des matrices symétriques de Mn (R).
A est une matrice symétrique de Mn (R)
1. A est diagonalisable.
2. Mieux, il existe une base orthonormée de Mn,1 (R) constituée de vecteurs propres de A.
3. Il existe une matrice orthogonale P , de Mn (R), telle que P −1 AP = t P AP soit diagonale.
(
⋆⋆ Notons que dans le résultat précédent on parle de matrices symétriques à coeﬃcients réels.
2 i
i 0
)
est
symétrique mais n’est pas diagonalisable.
Rappels pratiques.
PPP
f est un endomophisme symétrique d’un espace vectoriel euclidien E de dimension n non nulle.
On obtient une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f en concatenant une base orthonormée
de chacun des sous-espaces propres de f .
J.F.C.
PPP
p. 6
Soit A une matrice symétrique de Mn (R).
On obtient une base orthonormée de Mn,1 (R) constituée de vecteurs propres de A en concatenant une base
orthonormée de chacun des sous-espaces propres de A.
2. Si B est une base orthonormée de Mn,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement associés aux
valeurs propres α1 , α2 , ..., αn et si P est la matrice de passage de la base canonique de Mn,1 (R) à la base B alors :
1. P est une matrice orthogonale.
2. t P AP = P −1 AP est la matrice diagonale Diag(α1 , α2 , . . . , αn ).
P
Soit A une matrice symétrique de Mn (R).
Ainsi il existe une matrice orthogonale P de Mn (R) et une matrice diagonale D = Diag(α1 , α2 , . . . , αn ) telle que
t
P AP = P −1 AP = D.
On note, pour tout j élément de [[1, n]], Cj la j ème colonne de P .
Alors (C1 , C2 , . . . , Cn ) est une base orthonormée de Mn,1 (R) constituée de vecteurs propres de A respectivement
associés aux valeurs propres α1 , α2 , ..., αn .
En plus
Une matrice symétrique S de Mn (R) est positive si ∀X ∈ Mn,1 (R), t XSX > 0.
Une matrice symétrique S de Mn (R) est déﬁnie positive si ∀X ∈ Mn,1 (R) − {0Mn,1 (R) }, t XSX > 0.
Exercice 10
S
Pratique de la réduction d’un endomorphisme symétrique.
I Entraı̂nement incontournable.
B = (e1 , e2 , e3 ) est une base orthonormée de E.


2 1 1
f est l’endomorphisme de E de matrice A =  1 2 1  dans B.
1 1 2
Q1. Montrer que f est diagonalisable.
Q2. Construire une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f .
Exercice 11
S
Pratique de la réduction d’une matrice symétrique.
I Entraı̂nement incontournable.


2
2 −2
Q1. Diagonaliser A =  2
5 −4  ; plus précisément trouver une matrice orthogonale P telle que t P AP soit
−2 −4 5
diagonale ou construire une base orthonormée de M3,1 (R) constituée de vecteurs propres de A.


9 0 0 0
 0 5 4 −2 
Q2. Diagonaliser A = 
 ; plus précisément trouver une matrice orthogonale P telle que t P AP soit
0 4 5 2
0 −2 2 8
diagonale ou construire une base orthonormée de M4,1 (R) constituée de vecteurs propres de A.
Exercice 12
2-4
S
Réduction simultanée de deux endomorphismes symétriques. Oral ESCP 1999
J.F.C.
B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) est la base canonique de
endomorphismes de E dont les matrices sont

1 1
1 1
A=
1 1
1 1
p. 7
E = R4 muni de sa structure euclidienne canonique. f et g sont les
respectivement :



1 1
1
0 −1 0
1 1
1
0 −1 
 0
 et B = 

1 1
−1 0
1
0
1 1
0 −1 0
1
Q1. Calculer A2 et B 2 .
Q2. Trouver une base orthonormée de E constitué de vecteurs propres de f et de g.
Exercice 13
S
Réduction de M → AM − MB Oral ESCP 2001 17.
Soient A et B les matrices de M3 (R) déﬁnies par :


−2 4
4
1 
A=
4 −2 4 
6
4
4 −2
et

5 2
1 
B=
2 2
6
−1 2

−1
2 
5
Q1 a) Montrer que A et B sont diagonalisables.
b) Montrer que A2 = I3 et calculer B 2 .
c) Trouver les valeurs propres et les sous-espaces propres de A. Même chose pour B.
Q2 Trouver une matrice orthogonale P de M3 (R) telles que les matrices t P AP et t P BP soient toutes les deux
diagonales.
Q3 Soit F l’application déﬁnie sur M3 (R) par : ∀M ∈ M3 (R), F (M ) = AM − M B.
a) Montrer que l’application F est un endomorphisme de M3 (R).
b) Soit U un vecteur propre de A associé à la valeur propre α et V un vecteur propre de B associé à la valeur propre
β.
Montrer que U t V est un vecteur propre de F associé à la valeur propre α − β.
c) F est–elle un automorphisme de M3 (R) ?
d) F est–elle diagonalisable ?
Exercice 14
D’après ECRICOME 2009 exercice 1 partie II.
I Bon entraı̂nement.
On pose : ∀M = (mi,j ) ∈ Mn (R), ∀N = (ni,j ) ∈ Mn (R), < M, N >= tr(t M N ) =
{
(
)2 }
.
A est une matrice symétrique de Mn (R). Γ = λ − µ ; (λ, µ) ∈ Sp(A)
n ∑
n
∑
mi,j ni,j
i=1 j=1
ΦA est l’application de Mn (R) dans Mn (R) déﬁnie par : ∀M ∈ Mn (R), ΦA (M ) = AM − M A.
On se propose de montrer que ΦA est un endomorphisme de Mn (R) et que Sp(ΦA ) = Γ.
1) Montrer que ΦA est un endomorphisme de Mn (R).
2) Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur Mn (R).
2
3) Montrer que ∀(M, N ) ∈ (Mn (R)) , < ΦA (M ), N >=< M, ΦA (N ) >. En déduire que ΦA est diagonalisable.
4) Soient X (resp. Y ) un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ (resp. µ). On pose alors MX,Y = X t Y .
J.F.C.
p. 8
(a) Justiﬁer que MX,Y ̸= 0Mn (R) puis que t Y A = µ t Y .
(b) Établir que ΦA (MX,Y ) = (λ − µ) MX,Y puis que Γ ⊂ Sp(ΦA ).
5) Soit M un vecteur propre de ΦA associé à la valeur propre α.
(a) On suppose que pour tout vecteur propre Z de A, on a M Z = 0Mn,1 (R) . Montrer alors que M = 0Mn (R) .
En déduire qu’il existe un vecteur propre Z0 de A tel que M Z0 ̸= 0Mn,1 (R) . On note µ la valeur propre de A associée
à Z0 .
(b) En revenant à l’expression de ΦA (M ), justiﬁer que M Z0 est un vecteur propre de A pour une valeur propre dont
on précisera l’expression en fonction de α et µ.
(c) Conclure.
I Sans doute faire un des deux exercices suivants.
Exercice 15
Un résultat de cours que l’on fait parfois redémontré.
S est une matrice symétrique de Mn (R) et (X1 , X2 , . . . , Xn ) est une base orthonormée de Mn,1 (R) constituée de
vecteurs propres de S respectivement associés aux valeurs propres α1 , α2 , ..., αn .
Montrer que S =
n
∑
αk Xk t Xk .
k=1
Exercice 16
Décomposition spectrale d’une matrice symétrique.
• Ceci est contenu dans ESSEC 2004, 2007 et 2012 !
I Il faut sans doute savoir faire...
S est une matrice symétrique de Mn (R). λ1 , λ2 , ..., λp sont ses valeurs propres distinctes.
Pour tout élément k de [[1, p]] on note Pk la matrice, dans la base canonique de Mn,1 (R), de la projection orthogonale
fk de Mn,1 (R) sur le sous-espace propre SEP (S, λk ) de S associé à la valeur propre λk .
Montrer que
p
∑
k=1
Pk = In et que S =
p
∑
λk Pk .
k=1
Exercice 17
S Décomposition polaire d’une matrice de Mn (R).
I Bon entraı̂nement de bilinéaire.
Q1. W est une matrice de Mn (R). On suppose qu’il existe une matrice diagonale D = Diag(d1 , d2 , . . . , dn ) de Mn (R),
dont les coeﬃcients sont positifs ou nuls, telle que t W W = D2 .
Pour tout élément j de [[1, n]], on note Cj la j ème colonne de W .
a) Soient i et j deux éléments de [[1, n]]. Montrer que t Ci Ci = d2i et calculer t Ci Cj pour i ̸= j.
Montrer que si di est nul alors Ci est nulle.
b) On pose I = {i ∈ [[1, n]] | di ̸= 0}. Montrer que si I n’est pas vide,
Mn,1 (R).
(
1
Ci
di
)
est une famille orthonormée de
i∈I
Montrer que l’on peut trouver une base orthonormée (F1 , F2 , . . . , Fn ) de Mn,1 (R) telle que : ∀i ∈ [[1, n]], Ci = di Fi .
c) Soit F la matrice de passage de la base canonique de Mn,1 (R) à (F1 , F2 , . . . , Fn ).
Dire pourquoi F est une matrice orthogonale et justiﬁer l’égalité W = F D (au pire “travailler avec des éléments
génériques”).
J.F.C.
p. 9
Q2. Sn+ (R) est l’ensemble des matrices symétriques positives de Mn (R). Donc Sn+ (R) est l’ensemble des matrices
symétriques R de Mn (R) telles que ∀X ∈ Mn,1 (R), t XRX > 0 ou Sn+ (R) est l’ensemble des matrices symétriques de
Mn (R) à valeurs propres positives ou nulles.
A est une matrice quelconque de Mn (R).
a) On pose H = t AA. Montrer que H est un élément de Sn+ (R).
b) Montrer qu’il existe une matrice orthogonale P de Mn (R) et une matrice diagonale ∆ de Mn (R) dont les coeﬃcients
sont positifs ou nuls telles que ∆ = t P HP = t (t P AP )(t P AP ).
En déduire qu’il existe une matrice diagonale D de Mn (R) dont les coeﬃcients sont positifs ou nuls telle que
( P AP )(t P AP ) = D2 .
t t
c) Utiliser Q1. pour montrer qu’il existe une matrice orthogonale F de Mn (R) telle que
A = P F Dt P = (P F t P )(P Dt P ).
En déduire qu’il existe une matrice orthogonale U de Mn (R) et une matrice S de Sn+ (R) telles que A = U S. C’est la
décomposition polaire de A.
• Thème abordé dans oral ESCP 2009 2.7.
Exercice 18
S
Matrice symétrique.
Je regroupe quelques petits exercices de la même famille... Les questions sont indépendantes.
I On peut sans doute faire Q2 et Q3.
Q1. QSP ESCP 2009
Trouver l’ensemble des matrices A de Mn (R) telles que At AAt AA = In .
Q2. Contenu dans ESCP 1997 2-15
Trouver l’ensemble des matrices M de Mn (R) telles que M t M M = In .
Q3. D’après oral ESCP 1998 2-23
A est un élément de Mn (R). On suppose que : t AA = At A et qu’il existe un élément p de N∗ tel que Ap soit la matrice
nulle.
Montrer que S = t AA est diagonalisable. Calculer S p et en déduire que S est la matrice nulle puis que A est également
la matrice nulle.
Q4. Oral ESCP.

 t XY X = In
Trouver l’ensemble des couples (X, Y ) d’éléments de Mn (R) tels que :
.
et
t
Y XY = In
Exercice 19
PC
Oral ESCP 2010 2.15.
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère Rn muni de son produit scalaire canonique ⟨ , ⟩ et (e1 , e2 , . . . , en )
est la base canonique de Rn .
Soit f un endomorphisme de Rn de matrice A = (ai,j )16i,j6n dans la base canonique (e1 , e2 , . . . , en ). On suppose que
A est une matrice symétrique réelle.
Q1. Justiﬁer l’existence d’une base orthonormée (ε1 , ε2 , . . . , εn ) de Rn formée de vecteurs propres de f .
Pour tout k ∈ [[1, n]], on pose f (εk ) = λk εk .
J.F.C.
p. 10
Montrer que l’on peut supposer λ1 > λ2 > · · · > λn .
Cette hypothèse est supposée réalisée dans la suite de cet exercice.
On note P = (pi,j )16i,j6n la matrice de passage de la base (e1 , e2 , . . . , en ) à la base (ε1 , ε2 , . . . , εn ).
Q2. Calculer, pour tout j ∈ [[1, n]],
n
∑
i=1
p2i,j , puis pour tout i ∈ [[1, n]],
n
∑
j=1
p2i,j .
2
Q3. a) Montrer que, pour tout couple (i, j) d’éléments de [[1, n]] , pi,j = ⟨ei , εj ⟩.
n
∑
b) Établir que, pour tout i de [[1, n]], ai,i = ⟨ei , f (ei )⟩ puis en déduire que : ai,i =
λj ⟨ei , εj ⟩2 .
j=1
Q4. a) Soit i un élément de [[1, n]]. Montrer que, pour tout k de [[1, n]] : ai,i 6 λk +
k
∑
(λj − λk )⟨ei , εj ⟩2 .
j=1
b) En déduire que pour tout k de [[1, n]] :
k
∑
ai,i 6
i=1
k
∑
λi .
i=1
• Voir sur le même thème oral ESCP 2009 2.16.
Exercice 20
S
Par ♡
Encadrement de Rayleigh.
I Incontournable.
• Contenu dans Oral ESCP 2000 2-5, 2001 2.6, HEC 2006, ESSEC 2004, ESSEC 2005.
Soit S une matrice symétrique de Mn (R).
Soit α sa plus petite valeur propre et soit β sa plus grande valeur propre.
Q1 Montrer que :
∀X ∈ Mn,1 (R), α ∥X∥2 6 t XSX =< SX, X >6 β ∥X∥2 ou que ∀X ∈ Mn,1 (R) − {0Mn,1 (R) }, α 6
t
Q2. Montrer que :
Min
XSX
X∈Mn,1 (R)−{0Mn,1 (R) } t XX
t
=α
et
Max
XSX
X∈Mn,1 (R)−{0Mn,1 (R) } t XX
t
XSX
t XX
6β .
= β.
En plus Montrer que les éléments non nuls de Mn,1 (R) qui réalisent ce minimum (resp. maximum) sont les vecteurs
propres de S associés à la valeur propre α (resp. β).
Exercice 21
S
Par ♡
Caractérisation des matrices symétriques positives.
I Incontournable.
Soit S une matrice symétrique de Mn (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes.
i) S est positive.
i’) ∀X ∈ Mn,1 (R), t XSX > 0.
ii) Les valeurs propres de S sont positives ou nulles.
• Contenu dans oral ESCP 2009 2.10, 2009 2.16, 2011 2.19, problème 1 LYON 2012.
Exercice 22
PC
Caractérisation des matrices symétriques positives again.
I ii) ⇒ i′ ) est incontournable.
Soit S une matrice symétrique de Mn (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes.
i) S est positive
J.F.C.
p. 11
i’) ∀X ∈ Mn,1 (R), t XSX > 0.
ii) Il existe une matrice A de Mn (R) telle que S = t AA
Il aurait été plus économique de regrouper ces deux caractérisations et de montrer trois implications à la place de
quatre. Mais dans la pratique on a, le plus souvent, qu’une des deux caractérisations à établir. Même chose pour les
matrices symétriques déﬁnies positives.
Exercice 23
S
Par ♡
Caractérisation des matrices symétriques déﬁnies positives.
I Incontournable.
Soit S une matrice symétrique de Mn (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes.
i) S est déﬁnie positive.
i’) ∀X ∈ Mn,1 (R), X ̸= 0Mn,1 (R) ⇒ t XSX > 0.
ii) Les valeurs propres de S sont strictement positives.
• Thème abordé dans oral ESCP 2000 2-9, 2006 2.20, 2008 2.14, 2009 2.9, 2010 2.5, ESSEC 2007
Exercice 24
PC
Caractérisation des matrices symétriques déﬁnies positives again.
I i′ ) ⇒ ii) est incontournable.
Soit S une matrice symétrique de Mn (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes.
i) S est déﬁnie positive.
i’) ∀X ∈ Mn,1 (R), X ̸= 0Mn,1 (R) ⇒ t XSX > 0.
ii) Il existe une matrice inversible A de Mn (R) telle que S = t AA.
Exercice 25
PC
Matrice symétrique déﬁnie positive. Matrice de Hilbert.
(
)
1
On considère la matrice A =
de Mn (R).
i + j − 1 (i,j)∈[[1,n]]2
Montrer que A est symétrique. Montrer que ∀X ∈ Mn,1 (R), X ̸= 0Mn,1 (R) ⇒ t XAX > 0 (on pourra calculer
∫ 1
ti−1 tj−1 dt).
0
Ainsi A est une matrice symétrique déﬁnie positive. Normal car A est la matrice, dans la base canonique de Rn−1 [X],
∫ 1
P (t) Q(t) dt sur Rn−1 [X]...
du produit scalaire (P, Q) →
0
• Voir sur le sujet LYON 1997 Pb 1 et le très intéressant HEC I 2006. Contenu aussi dans Oral ESCP 2000 2-5.
On pourra sans doute s’inspirer
( de cela)pour montrer que si a1 , a2 , ..., an sont n réels strictement positifs deux à
1
deux distincts, la matrice A =
de Mn (R) est symétrique et déﬁnie positive.
ai + aj (i,j)∈[[1,n]]2
Exercice 26
PC
Matrice symétrique déﬁnie positive.
A est une matrice symétrique déﬁnie positive de Mn (R).
Montrer que les coeﬃcients diagonaux de A sont strictement positifs.
Montrer que les coeﬃcients de A de plus grande valeur absolue se trouvent sur la diagonale.
J.F.C.
p. 12
I Les deux exercices qui suivent conduisent ﬁnalement au même résultat mais on évitera d’utiliser l’un pour traiter
l’autre...
Exercice 27
S
Matrice symétrique déﬁnie positive. QSP ESCP 2011 et HEC 2012.
2
A = (ai,j ) est une matrice de Mn (R) telle que ∀(i, j) ∈ [[1, n]] , i ̸= j ⇒ ai,j = 1 et ∀i ∈ [[1, n]], ai,i > 1.
Montrer que A est matrice symétrique déﬁnie positive, c’est à dire que A est symétrique réelle telle que pour tout
élément non nul X de Mn,1 (R), t XAX > 0.
Exercice 28
S
Matrice symétrique déﬁnie positive. QSP ESCP 2011 et HEC 2012.
2
A = (ai,j ) est une matrice de Mn (R) telle que ∀(i, j) ∈ [[1, n]] , i ̸= j ⇒ ai,j = 1 et ∀i ∈ [[1, n]], ai,i > 1.
Montrer que A est matrice symétrique dont les valeurs propres sont strictement positives.
I Les deux exercices qui suivent conduisent ﬁnalement au même résultat mais on évitera d’utiliser l’un pour traiter
l’autre...
Exercice 29
PC
Matrice symétrique déﬁnie positive.
A = (ai,j ) est une matrice symétrique de Mn (R) telle que ∀i ∈ [[1, n]], ai,i >
n
∑
|ai,j |.
j=1
j̸=i
Montrer que les valeurs propres de A sont strictement positives.
Exercice 30
PC
Matrice symétrique déﬁnie positive.
A = (ai,j ) est une matrice symétrique de Mn (R) telle que ∀i ∈ [[1, n]], ai,i >
n
∑
|ai,j |.
j=1
j̸=i
Montrer que A est déﬁnie positive, c’est à dire que pour tout élément non nul X de Mn,1 (R), t XAX > 0.
Exercice 31
PC Matrice déﬁnie positive encore. Optimisation.
I Un grand classique, sans doute à savoir faire. On peut aussi le traiter au niveau des fonctions numériques de plusieurs
variables en identiﬁant Mn,1 (R) et Rn .
A est une matrice symétrique déﬁnie positive de Mn (R) et B est un élément de Mn,1 (R).
∀X ∈ Mn,1 (R), f (X) =
1t
XAX − t XB.
2
Q1. Montrer que ∀Y ∈ Mn,1 (R), ∀H ∈ Mn,1 (R), f (Y + H) − f (Y ) =
1t
HAH + t H(AY − B).
2
Q2. En déduire que f possède un minimum réalisé pour le seul élément A−1 B de Mn,1 (R).
• On trouve ce thème dans oral ESCP 2000 2.9, 2003 2.17, 2005 1.19, 2010 2.5, 2012 1.14.
Exercice 32
Ordre sur l’ensemble des matrices symétriques de Mn (R).
I Une bonne QSP.
Sn (R) est l’ensemble des matrices symétriques de Mn (R). ≼ est la relation déﬁnie sur Sn (R) par :
(
)
∀(A, B) ∈ Sn (R) × Sn (R), A ≼ B si ∀X ∈ Mn,1 (R), t XAX 6 t XBX .
J.F.C.
p. 13
Montrer que ≼ est une relation d’ordre sur Sn (R). Autrement dit montrer que :
• ≼ est réﬂexive (∀A ∈ Sn (R), A ≼ A).
• ≼ est antisymétrique (si A et B sont dans Sn (R), A ≼ B et B ≼ A donne A = B).
• ≼ est transitive (si A, B et C sont dans Sn (R), A ≼ B et B ≼ C donne A ≼ C.)
≼ est-il un ordre total ? Autrement dit si A et B sont dans Sn (R) a-t-on A ≼ B ou B ≼ A ?
• On trouve ce thème dans ESSEC 2007, oral ESCP 2009 2.10, QSP HEC 2007.
Exercice 33
S
ESCP 2008 2.11.
Matrice d’un produit scalaire...
ou matrice symétrique déﬁnie positive Oral
Il faut noter que la notion de matrice d’un produit scalaire n’est pas du programme. Il faudra comprendre qu’une
matrice M de Mn (R) est la matrice d’un produit scalaire de Rn si et seulement si elle est symétrique déﬁnie positive.
Une matrice symétrique M de Mn (R) est déﬁnie positive si ∀X ∈ Mn,1 (R), X ̸= 0Mn,1 (R) ⇒ t XM X > 0.
Q 1. Soit (A, B) ∈ (GLn (R))2 tel que A − B ∈ GLn (R). Montrer que A−1 − B −1 appartient à GLn (R) et que
(A−1 − B −1 )−1 = B(B − A)−1 A.
Q2. Montrer que si C ∈ Mn (R) est la matrice d’un produit scalaire sur Rn , il en est de même pour C −1 .
Q3. On suppose que A et B sont les matrices de deux produits scalaires sur Rn telles que B − A soit aussi la matrice
d’un produit scalaire sur Rn .
a) Montrer que B(B − A)−1 A = A + A(B − A)−1 A.
b) Montrer que (A−1 − B −1 )−1 est la matrice d’un produit scalaire sur Rn .
Exercice 34
PC
0. Rayon spectral.
CNS pour que la suite des puissances d’une matrice symétrique converge vers
• Ceci est contenu dans ESSEC 2004.
A est une matrice symétrique de Mn (R). On pose ρ(A) = Max |λ|.
λ∈Sp A
Q1. Montrer que ∀X ∈ Mn,1 (R), ∥AX∥ 6 ρ(A) ∥X∥.
Q2. Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
i) Pour tout élément X de Mn,1 (R), (Ap X)p>0 converge vers 0Mn,1 (R) (c’est à dire lim ∥Ap X∥ = 0)
p→+∞
ii) ρ(A) < 1
Exercice 35
PC Matrice d’un produit scalaire. Réduction d’une matrice symétrique.
Soit A une matrice symétrique déﬁnie positive de Mn (R) et B une matrice symétrique de Mn (R).
On se propose de montrer qu’il existe une matrice inversible P de Mn (R) (pas nécessairement orthogonale !) et une
matrice diagonale D de Mn (R) telle que A = t P P et B = t P DP .
(
)2
Q1. a) On pose ∀(X, Y ) ∈ Mn,1 (R) , φA (X, Y ) = t XAY . Montrer que φA est un produit scalaire sur Mn,1 (R).
(
)
b) B est une base orthonormée de l’espace vectoriel euclidien Mn,1 (R), φA et Q est la matrice de passage la base
canonique B0 de Mn,1 (R) à la base B. Montrer que t QAQ = In .
Q2. Montrer le résultat proposé en remarquant que t QBQ est symétrique.
• Thème abordé dans ESCP 2006 2.20
J.F.C.
Exercice 36
p. 14
PC
Q1. Décomposition de Iwasawa d’une matrice inversible.
Soit M une matrice inversible de Mn (R). E est un espace vectoriel euclidien de dimension n. B est une base
orthonormée de E.
B ′ est la base de E dont la matrice dans la base B est M (autrement dit M est la matrice de passage de B à B′ ).
B ′′ est la base orthonormée de E déduite de B ′ par le procédé d’orthormalisation de Schmidt.
On note Q la matrice de passage de B à B ′′ et R la matrice de passage de B ′′ à B′ .
Montrer que M = QR, que Q−1 = t Q et que R est triangulaire supérieure à diagonale strictement positive.
Q2. Décomposition de Cholesky d’une matrice symétrique déﬁnie positive.
A est une matrice symétrique de Mn (R) dont les valeurs propres sont strictement positives (A est déﬁnie positive).
a) Montrer qu’il existe une matrice inversible M de Mn (R) telle que A = t M M (diagonaliser A).
b) Montrer alors, en utilisant Q1, qu’il existe matrice R, de Mn (R), triangulaire supérieure à diagonale strictement
positive telle que A = t RR.
c) Montrer l’unicité de R.
d) Envisager une réciproque.
e) Écrire une procédure en Turbo-Pascal qui calcule R à partir de A.
Exercice 37
La norme associé au produit scalaire canonique de Mn (R) est une norme d’algèbre.
ECRICOME 2007 exercice 2.
I Bon entraı̂nement.
Mn (R) désigne l’ensemble des matrices carrées d’ordre n > 2, à coeﬃcients réels. Pour tout élément A = (ai,j )16i,j6n
n
∑
de Mn (R), on appelle trace de A, et on note Tr(A), la somme des éléments diagonaux, c’est-à-dire : Tr(A) =
ai,i .
On admet que Tr est une application linéaire de Mn (R) dans R telle que :
i=1
∀A ∈ Mn (R), ∀B ∈ Mn (R), Tr(AB) = Tr(BA).
On note t A la transposée de la matrice A.
1) Soit φ l’application déﬁnie sur Mn (R) × Mn (R) par :
∀A ∈ Mn (R), ∀B ∈ Mn (R), φ(AB) = Tr(t AB)
(où t AB = t A × B)
Exprimer φ(A, B) en fonction des coeﬃcients de A et B et montrer que φ est un produit scalaire sur Mn (R).
On note N la norme associée à ce produit scalaire.
1) Soient A, B ∈ Mn (R). Le but de cette question est de prouver que : N (AB) 6 N (A)N (B).
a) Justiﬁer l’existence de P ∈ Mn (R) et D ∈ Mn (R) telles que :
t
P (t AA)P = D
où P est une matrice orthogonale et D une matrice diagonale.
On notera par la suite λi le coeﬃcient di,i de la matrice D = (di,j )16i,j6n .
J.F.C.
p. 15
b) Soit λ une valeur propre de t AA et X un vecteur propre associé.
En calculant t X t AAX de deux manières diﬀérentes, montrer que λ > 0.
c) On pose S = t P (B t B)P = (si,j )16i,j6n . Montrer que
[N (A)]2 = Tr(D),
d) Montrer que : Tr(SD) =
n
∑
[N (B)]2 = Tr(S),
[N (AB)]2 = Tr(SD)
λi si,i .
i=1
e) On note Ei le i-ième vecteur de la base canonique de Mn,1 (R), espace des matrices à n lignes et une colonne, à
coeﬃcients réels.
Montrer que : t Ei SEi = ∥t BP Ei ∥2 , où ∥.∥ désigne la norme euclidienne canonique de Mn,1 (R), puis calculer t Ei SEi
en fonction des coeﬃcients de S.
Qu’en déduit-on, pour i entier compris entre 1 et n, sur le signe de si,i ?
n
∑
f ) Montrer que :
i=1
λi si,i 6
n
(∑
λi
i=1
n
)(∑
)
si,i puis conclure que : N (AB) 6 N (A)N (B).
i=1
On pourra sans doute s’inspirer de cela pour montrer que si A et B sont deux matrices symétriques positives : 0 6
Tr(AB) 6 Tr(A) Tr(B) .
Exercice 38
Utilisation de la réduction d’une matrice symétrique dans un problème d’optimisation.
Oral HEC 1999.
• On retrouve cet exercice dans oral ESCP 2009 2.12
I Bon entraı̂nement.
E = R2 [X]. On munit E du produit scalaire déﬁni par :
∫
∀(P, Q) ∈ E 2 , < P, Q >=
1
P (t)Q(t) dt
0
Q1. Déterminer une base orthonormée (L1 , L2 , L3 ) de E telle que, pour tout i élément de [[1, 3]], Li est de degré égal
à i − 1 et de coeﬃcient dominant strictement positif.
1
(P (0)Q(1) + P (1)Q(0))
2
On note A = (ai,j ) la matrice de M3 (R) de terme général ai,j = Φ(Li , Lj ).
Q2. On pose : ∀(P, Q) ∈ E 2 , Φ(P, Q) =
a) L’application Φ déﬁnit-elle un produit scalaire sur E ?
b) Déterminer la matrice A et indiquer pourquoi elle est diagonalisable.
Justﬁer l’existence d’une matrice inversible R de M3 (R) telle

−3 0
t
RAR = D =  0 0
0 0
que :

0
0  et t R = R−1
6


x1
d) Soit P = x1 L1 + x2 L2 + x3 L3 . Montrer que, si on pose X =  x2 , alors on a : Φ(P, P ) = t XAX.
x3
Comment s’exprime Φ(P, P ) en fonction Y = R−1 X ?
e) Donner également l’expression de < P, P > en fonction de Y = R−1 X.
J.F.C.
p. 16
P (0)P (1)
On pose : ∀P ∈ E − {oE }, f (P ) = ∫ 1
P 2 (t) dt
0
Montrer que f possède un maximum dont on donnera la valeur.
Exercice 39
PC
Attention Q2 et Q3 sont délicates sans indication. Le reste est simple.
• Le cas M inversible est également traité dans LYON 2000 PB 1 partie II (voir adjoint d’un endomorphisme cidessous).
Q1. M est une matrice inversible de Mn (R). On pose A = t M M .
a) Montrer que A est symétrique et que ses valeurs propres sont strictement positives.
b) Montrer qu’il existe une matrice orthogonale P de Mn (R) et une matrice diagonale ∆ de Mn (R) telles que
∆2 = t P AP . Que dire de la matrice M P ∆−1 ?
c) Montrer qu’il existe deux matrices orthogonales U et V telles que t U M V soit diagonale.
Notons qu’en posant ∆ = t U M V , U ′ = t U et V ′ = t V on a M = U ∆t V et M = t U ′ ∆V ′ avec ∆ diagonale et U V ,
U ′ , V ′ orthogonales.
Q2. Montrer que

0
Q3. M =  −1
−1
Exercice 40
ceci vaut encore lorsque M est une matrice quelconque de Mn (R).

1 1
0 1  Trouver deux matrices orthogonales U et V telles que t U M V soit diagonale.
−1 0
PC
Théorème de Courant-Fischer.
A est une matrice symétrique de Mn (R). (E ′ 1 , E ′ 2 , . . . , E ′ n ) est une base orthonormée de Mn,1 (R) constituée de
vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres λ1 , λ2 , ..., λn avec λ1 6 λ2 6 · · · 6 λn .
k est un élément de [[1, n]] et Fk est l’ensemble des sous-espaces vectoriels de M1,n (R) de dimension k.
Q1. Montrer que Fk = Vect(E1′ , E2′ , . . . , Ek′ ) est un élément de Fk et que :
t
Sup
X∈Fk
X̸=0
XAX
= λk
t XX
Q2. F est un élément de Fk .
t
a) Montrer que si X est un élément non nul de F :
t
XAX
XAX
6 λn . En déduire l’existence de Sup t
t XX
XX
X∈F
X̸=0
b) Montrer qu’il existe un élément non nul Y appartenant à F et à
t
Montrer que Sup
X∈F
X̸=0
XAX
> λk
t XX
t
Q3. Montrer que Min Sup
F ∈Fk
X∈F
X̸=0
XAX
= λk .
t XX
t
Q4. Montrer que
′
Vect(Ek′ , Ek+1
, . . . , En′ ).
Max
Inf
F ∈Fn+1−k X∈F
X̸=0
XAX
λk .
t XX
En plus 1 A est une matrice de Mn (R). Montrer que deux des trois propriétés suivantes donnent la troisième.
i) A est symétrique.
ii) A est orthogonale.
iii) A2 = In .
J.F.C.
En plus 2
p. 17
ECRICOME 2005 exercice 1
Ceci n’est pas l’énoncé original mais le texte est respecté.
L’espace R3 est muni de son produit scalaire usuel. Trois réels a, b,

a
c
M (a, b, c) =  c a + b
b
c
c étant donnés, on pose :

b
c
a
Q1 Déterminer trois matrices I, J, K dont les coeﬃcients ne dépendent pas de a, b, c, telles que :
M (a, b, c) = aI + bJ + cK
Calculer J 2 , K 2 et K 3 . Déterminer une relation entre I, J et K 2 , ainsi qu’un polynôme annulateur de K.
Quelles sont les valeurs propres possibles de K ?
(
Q2 Justiﬁer qu’il existe une matrice P ∈ M3 (R) inversible
JF remplacer inversible par orthogonale
)
, telle
t
que D = ( P )KP soit une matrice diagonale.
Déterminer P et D vériﬁant les conditions précédentes et telles que d1,1 < d2,2 < d3,3 (où di,j est le coeﬃcient d’indices
i, j de D.)
Q3 En écrivant M = M (a, b, c) en fonction de I, K, K 2 , déterminer la matrice (t P )M P . En déduire les valeurs
propres de la matrice M .
Discuter suivant les valeurs de a, b, c le nombre de valeurs propres distinctes de M et préciser dans chaque cas les
sous-espaces propres associés.
√
√
Q4 On suppose dans cette question a = 4, b = 2, c = 2 et on note M = M (4, 2, 2).
a) On déﬁnit la fonction f sur R3 \ {(0, 0, 0)} par : ∀X = (x, y, z) ∈ R3 \ {0R3 }, f (x, y, z) =
 

x
x′
i. (x, y, z) est un élément de R3 \ {0R3 }. On pose X ′ =  y ′  = (t P )X, où X =  y .
z
z′

Montrer que ∥X∥2 = ∥X ′ ∥2 puis que : f (x, y, z) =
(t X)M X
·
∥X∥2
4x′2 + 2y ′2 + 8z ′2
·
x′2 + y ′2 + z ′2
ii. Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum de f sur R3 \ (0, 0, 0) et déterminer les points
en lesquels ils sont atteints.
b) On cherche désormais à résoudre l’équation B 2 = M d’inconnue B ∈ M3 (R).
i. Soit B une solution de l’équation (s’il en existe). Montrer que B et M commutent.
En déduire que si X appartient au sous-espace propre Eλ de M attaché à la valeur propre λ, alors BX appartient
aussi à Eλ .
Montrer que les vecteurs propres de M sont également vecteurs propres de B.
Justiﬁer alors que ∆ = (t P )BP est une matrice diagonale.
ii. Résoudre l’équation ∆2 = (t P )M P d’inconnue ∆ et donner le nombre de solutions de l’équation B 2 = M .
En plus 3
A et B sont deux matrices symétriques de Mn (R). p ∈ N∗ .
J.F.C.
Montrer que si A2p+1 = B 2p+1 alors A = B.
En plus 4
LYON 2003 PB 2.
p. 18
J.F.C.
Complément
tions.
p. 19
9 : Racine carrée symétrique positive d’une matrice symétrique positive. Applica-
• Ce thème est abordé dans oral ESCP 2005 2.11, 2008 2.14, 2009 2.7, 2009 2.10, 2011 2.16, ESCP 1998 MI, ECRICOME
2005 exercice 1, LYON 2009 PB 1.
Exercice 41
S
Une première approche.
I Une bonne piqûre de rappel...
A est une matrice symétrique de Mn,1 (R). (X1 , X2 , . . . , Xn ) est une base orthonormée de Mn,1 (R) constituée de
vecteurs propres de A respectivement associés aux valeurs propres α1 , α2 , ..., αn .
Q1. Montrer que A =
n
∑
αk Xk t Xk (oui c’est du cours mais tous les concepteurs ne le savent pas...)
k=1
Q2. On suppose ici que A est symétrique positive. Alors α1 , α2 , ..., αn sont des réels positifs ou nuls.
On pose B =
n
∑
√
αk Xk t Xk . Monter que B est une matrice symétrique positive de Mn (R) telle que B 2 = A.
k=1
Q3. Et si A est symétrique déﬁnie positive ?
I Il est essentiel de dominer au moins l’une des trois versions suivantes. J’aime bien la 1...
Exercice 42
PC Racine carrée symétrique positive (resp. déﬁnie positive) d’une matrice réelle
symétrique positive (resp. déﬁnie positive), version 1.
A est une matrice symétrique positive (resp. déﬁnie positive) de Mn (R). On se propose de montrer qu’il existe une
unique matrice symétriques positive (resp. déﬁnie positive) B de Mn (R) telle que B 2 = A.
Q1. Montrer l’existence d’une telle matrice (on se ramènera à une matrice diagonale).
Q2. Soient B et C deux matrices solutions du problème.
Montrer que si X est un vecteur propre de B associé à la valeur propre γ alors X est un vecteur propre de C associé
à la valeur propre γ.
Montrer que B = C.
Exercice 43
S Racine carrée symétrique positive (resp. déﬁnie positive) d’une matrice réelle
symétrique positive (resp. déﬁnie positive), version 2.
A est une matrice symétrique positive (resp. déﬁnie positive) de Mn (R). On se propose de montrer qu’il existe une
unique matrice symétriques positive (resp. déﬁnie positive) B de Mn (R) telle que B 2 = A.
Q1. Montrer l’existence d’une telle matrice (on se ramènera à une matrice diagonale).
Q2. Soient B et C deux matrices solutions du problème.
a) Montrer qu’il existe deux matrices orthogonales R et S et deux matrices diagonales U et V telle que B = RU t R et
C = SV t S.
b) Montrer que RU 2t R = SV 2t S. En déduire l’existence d’une matrice T telle que T U 2 = V 2 T . Montrer que
T U = V T et que B = C.
Q3. Proposer et démontrer un résultat analogue pour une matrice symétrique déﬁnie positive de Mn (R).
J.F.C.
p. 20
Exercice 44
S Racine carrée symétrique positive (resp. déﬁnie positive) d’une matrice réelle
symétrique positive (resp. déﬁnie positive), version 3.
A est une matrice symétrique positive (resp. déﬁnie positive) de Mn (R). On se propose de montrer qu’il existe une
unique matrice symétriques positive (resp. déﬁnie positive) B de Mn (R) telle que B 2 = A.
Q1. Montrer l’existence d’une telle matrice (on pourra diagonaliser A).
Q2. On se propose ici de montrer l’unicité. Soit B une matrice symétrique positive (resp. déﬁnie positive) de Mn (R)
telle que B 2 = A.
f (resp. g) est l’endomorphisme de E = Rn dont la matrice dans la base canonique de E est A (resp. B). Dans la
suite E = Rn est muni du produit scalaire canonique.
a) Montrer que g commute avec f .
b) Soit λ une valeur propre de f et Fλ le sous-espace propre de f associé.
Montrer que Fλ est stable par g.
Montrer que la restriction gλ de g à Fλ est un endomorphisme de Fλ diagonalisable à valeur(s) propre(s) positive(s).
√
En déduire que pour tout x dans Fλ , g(x) = λ x.
c) Conclure.
Exercice 45
PC
Approximation de la racine carrée symétrique déﬁnie positive d’une matrice
réelle symétrique déﬁnie positive.
Q1 D est une matrice diagonale de Mn (R) à diagonale strictement positive.
V0 = In
et
∀p ∈ N, 2Vp+1 = Vp + DVp−1 .
Montrer que pour tout p dans N, Vp existe et est une matrice diagonale de Mn (R) à diagonale strictement positive.
Montrer que la suite (Vp )p>0 converge vers une matrice diagonale ∆ de Mn (R), à diagonale strictement positive et
telle que ∆2 = D (ﬁxer i dans [[1, n]] et considérer la suite (di (p))p>0 où di (p) est l’élément d’indice i de la diagonale
de Vp ).
Q2. A est une matrice symétrique de Mn (R) déﬁnie positive.
U0 = In
et
∀p ∈ N, 2 Up+1 = Up + AUp−1 .
Montrer que la suite (Up )p>0 converge vers (LA !) matrice symétrique déﬁnie positive de Mn (R) dont le carré est A.
• On retrouve ce thème dans oral ESCP 2011 2.13, dans ESCP MI 1998.
Exercice 46
S
Application des résultats précédents : décomposition polaire d’une matrice
inversible.
On rappelle que si T est une matrice symétrique de Mn (R) à valeurs propres strictement positives il existe une unique
matrice symétrique R de Mn (R) à valeurs propres strictement positives telle que R2 = T .
Soit A une matrice inversible de Mn (R). Montrer qu’il existe une unique matrice orthogonale U de Mn (R) et une
unique matrice symétrique S de Mn (R) à valeurs propres strictement positives telles que A = U S.
Indication
on pourra faire une analyse-synthèse.
• Thème abordé dans oral ESCP 2009 2.7.
J.F.C.
Exercice 47
PC
p. 21
Application des résultats précédents again.
On rappelle que si T est une matrice symétrique de Mn (R) à valeurs propres strictement positives il existe une unique
matrice symétrique R de Mn (R) à valeurs propres strictement positives telle que R2 = T .
Soit A une matrice symétrique de Mn (R) à valeurs propres strictement positives et B une matrice symétrique de
Mn (R) à valeurs propres positives ou nulles.
Montrer que AB est une matrice diagonalisable de Mn (R) dont les valeurs propres sont positives ou nulles.
Indication
R2 B = R(RBR)R−1 ...
Exercice 48
PC
Application des résultats précédents toujours.
C’est une seconde version du ”A = t P P et B = t P DP ”.
Soit A une matrice symétrique de Mn (R) à valeurs propres strictement positives et B une matrice symétrique de
Mn (R).
Q1. Montrer qu’il existe une matrice symétrique S de Mn (R) déﬁnie positive telle que S 2 = A.
Q2. Montrer qu’il existe une matrice inversible P de Mn (R) (pas nécessairement orthogonale !) et une matrice
diagonale D de Mn (R) telles que A = t P P et B = t P DP .
Indication
considérer la matrice symétrique S −1 BS −1 .
Q3. Proposer une autre ( ? !) preuve en écrivant A = t M M avec M matrice inversible de Mn (R).
• Thème abordé dans ESCP 2006 2.20
En Plus Oral ESCP 2011 2.13
Soit a un nombre réel strictement positif.
Q1. Montrer que l’on peut déﬁnir deux suites réelles strictement positives (ak )k∈N et (bk )k∈N telles que a0 = a, b0 = 1
et :
1(
1)
1)
1(
∀ k ∈ N, ak+1 =
ak +
bk +
, bk+1 =
2
bk
2
ak
Q2. Établir une relation de récurrence vériﬁée par les termes de la suite (uk )k∈N déﬁnie par uk = ak bk . En déduire
que la suite (uk )k∈N est convergente. Déterminer sa limite.
Q3. Montrer que les suites (ak )k∈N et (bk )k∈N sont proportionnelles et qu’elles convergent. Préciser leurs limites
respectives.
Soit n ∈ N∗ . On note In la matrice identité de Mn (R). Une matrice S ∈ Mn (R) est dite symétrique définie positive
lorsqu’elle est symétrique vériﬁant ∀X ∈ Mn,1 (R) \ {0}, tXSX > 0.
Q4. a) Montrer que toute matrice symétrique déﬁnie positive est inversible et que son inverse est symétrique déﬁnie
positive.
b) En déduire que, si A est une matrice symétrique déﬁnie positive donnée , on peut déﬁnir deux suites de matrices
symétriques déﬁnies positives (A(k))k∈N et (B(k))k∈N telles que A(0) = A, B(0) = In et :
)
)
1(
1(
∀ k ∈ N, A(k + 1) =
A(k) + B(k)−1 , B(k + 1) =
B(k) + A(k)−1
2
2
Q5. Montrer que les suites (A(k))k∈N et (B(k))k∈N sont toutes deux convergentes dans Mn (R). Préciser leurs limites.
NB : On dit qu’une suite de matrices (U (k))k∈N de Mn (R) est convergente lorsque, pour tout i, j ∈ [[1, n]], la suite
(ui,j (k))k∈N des coeﬃcients de la i-ème ligne et de la j-ème colonne converge.
J.F.C.
Complément
p. 22
10 : Adjoint d’un endomorphisme d’un espace vectoriel euclidien.
• Thème contenu dans Oral ESCP 2004 2.10, 2010 2.16, ECRICOME 2006 exercice 1, LYON 2001 Pb 2 partie II.
Exercice 49
S
ECRICOME 2006 exercice 1.
I Pour les amateurs d’exercices qui ne font pas mal à la tête.
Ici R3 est muni de son produit scalaire canonique < ., . >. On note B = (i, j, k) la base canonique de R3 .
Pour f endomorphisme de R3 , de matrice M dans la base canonique, on note f ⋆ l’endomorphisme de R3 dont la
matrice dans la base canonique est t M .
1.1 Quelques propriétés de f ⋆ .
Dans cette question f est un endomorphisme de R3 .
Q1. Montrer que : ∀(x, y) ∈ (R3 )2 , < f (x), y >=< x, f ⋆ (y) >.
Q2. Montrer que f ⋆ est le seul endomorphisme g de R3 vériﬁant ∀(x, y) ∈ (R3 )2 , < f (x), y >=< x, g(y) >.
Q3. Soit F un sous espace vectoriel de R3 stable par f (c’est-à-dire tel que f (F ) ⊂ F ).
a. Pour x ∈ F et y ∈ F ⊥ , calculer < x, f ⋆ (y) >.
b. En déduire que F ⊥ est stable par f ⋆ .
1.2 Réduction des matrices d’un ensemble E.
On désigne par E l’ensemble des endomorphismes fu de R3

a
Mu =  c
b
dont la matrice dans la base B est de la forme

b c
a b
c a
où u = (a, b, c) ∈ R3 .
Q1. Montrer que E est un sous espace vectoriel de L(R3 ).
Q2. Montrer que pour tout u ∈ R3 , fu⋆ appartient à E.
Q3. On note e1 =
√1 (i
3
+ j + k),
e2 =
√1 (i
2
− j),
e3 =
√1 (i
6
+ j − 2k) et D la droite de vecteur directeur e1 .
a. Montrer que e1 est un vecteur propre commun aux éléments fu de E.
b. En déduire que, pour tout u ∈ R3 , D est stable par fu .
c. Déduire des questions précédentes que, pour tout u ∈ R3 , D⊥ est stable par fu .
d. Déterminer une équation de D⊥ .
e. Montrer que (e2 , e3 ) est une base orthonormée de D⊥ et que B′ = (e1 , e2 , e3 ) est une base orthonormée de R3 .


e 0 0
f. Justiﬁer alors que la matrice de fu dans la base B ′ est de la forme Nu =  0 f g  où e, f , g, h, ℓ sont des
0 h ℓ
réels.
Exercice 50
S
Adjoint d’un endomorphisme.
I Très classique. À savoir faire.
J.F.C.
p. 23
B = (e1 , e2 , . . . , en ) est une base orthonormée de l’espace vectoriel euclidien E et f est un endomorphisme de E de
matrice A dans B. On note f ∗ l’endomorphisme de E de matrice t A dans B.
Q1. Montrer que ∀(x, y) ∈ E 2 , < f (x), y >=< x, f ∗ (y) >.
Q2. Soit h un second endomorphisme de E vériﬁant : ∀(x, y) ∈ E 2 , < f (x), y >=< x, h(y) >. Montrer que h = f ∗ .
Q3. g est un endomorphisme de E. λ est un réel. Exprimer (λf )∗ , (f + g)∗ et (g ◦ f )∗ en fonction de f ∗ et g ∗ (utiliser
les matrices). Que vaut (f ∗ )∗ = f ∗∗ ?
Q4. a) Montrer que Ker f ∗ = (Im f )⊥ et Im f ∗ = (Ker f )⊥ .
Montrer que rg f ∗ = rg f et ”retrouver” rg t A = rg A.
Montrer que Sp f ∗ = Sp f et ”retrouver” Sp t A = Sp A.
b) Montrer que Ker(f ∗ ◦ f ) = Ker f et Im(f ◦ f ∗ ) = Im f .
Q5. Montrer que si f est un automorphisme de E, f ∗ est un automorphisme de E et (f ∗ )−1 = (f −1 )∗ .
Q6. Montrer que f ◦ f ∗ est un endomorphisme symétrique dont les valeurs propres sont positives ou nulles.
Q7. Soit F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F est stable par f si et seulement si F ⊥ est stable par f ∗ .
Qu’en déduire pour les hyperplan stables par f ?
Exercice 51
PC
LYON 2000 PB 1 partie II.
I Bon entraı̂nement. Sans doute à faire.
Ici n ∈ [[3, +∞[[ et Rn est muni du produit scalaire canonique noté < ., . >. La norme associée à ce produit scalaire
est notée ∥.∥. B = (e1 , e2 , . . . , en ) désigne la base canonique de Rn .
Soit A une matrice de Mn (R). On note f l’endomorphisme de Rn associé à la matrice A relativement à la base B et
g l’endomorphisme de Rn associé à la matrice t A relativement à la base B.
1. Montrer, pour tout x et tout y de Rn :
< g(y), x >=< y, f (x) >
puis
< (g ◦ f )(x), x >= ∥f (x)∥2 .
2. Montrer que l’endomorphisme g ◦ f est symétrique.
3. Montrer que g ◦ f est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.
4. Justiﬁer l’existence d’une base orthonormée B ′ = (e′1 , e′2 , . . . e′n ) de Rn constituée de vecteurs propres de g ◦ f .
On note Q la matrice de passage de la base B à la base B ′ .
5. Montrer l’existence de

µ1 0

 0 µ
diagonale ∆ =  . . 2
 .
..
.
0 ...
n réels positifs ou nuls µ1 , µ2 , . . . , µn (non nécessairement distincts ) tels que la matrice

... 0
.
..
. .. 

 de Mn (R) vériﬁe : t AA = Q∆2t Q.
..
. 0 
0 µn
( ′
)
6. Montrer que la famille f (e1 ), f (e′2 ), . . . , f (e′n ) est une famille orthogonale et que pour tout entier j de [[1, n]],
∥f (e′j )∥ = µj .
7. Dans cette question, on suppose que A est inversible.
a) Vériﬁer que les nombres réels µ1 , µ2 , . . . , µn sont tous non nuls.
)
(1
1
1
f (e′1 ), f (e′2 ), . . . ,
f (e′n ) est une base orthonormée de Rn .
b) Montrer que la famille C =
µ1
µ2
µn
c) Soit R la matrice de passage de la base B à la base C. Montrer que A = R∆t Q.
J.F.C.
Complément
p. 24
11 : Endomorphisme (resp. matrice) antisymétrique.
• Thème abordé dans Oral ESCP 2002 2.17 2003 2.18, 2007 2.9, 2008 2.2, 2008 2.7, 2010 2.1, LYON 2002 PB 2.
Exercice 52
PC
Endomorphisme antisymétrique.
I Classique. Sans doute à faire.
(E, < , >) est un espace vectoriel euclidien de dimension non nulle n.
f est un endomorphisme de E. B = (e1 , e2 , . . . , en ) est une base orthonormée de E et A = (aij ) est la matrice de f
dans B.
On dit que f est un endomorphisme antisymétrique si ∀(x, y) ∈ E 2 , < f (x), y >= − < x, f (y) >.
Q1. a) Montrer que f est atisymétrique si et seulement si A est symétrique autrement dit si et seulement si t A = −A.
b) Montrer que f est atisymétrique si et seulement si ∀x ∈ E, < x, f (x) >= 0 (on pourra s’intéresser à <
f (x + y), x + y >).
Dans la suite f est un endomorphisme antisymétrique de E.
Q2. a) Montrer que Ker f = (Im f )⊥ .
b) Montrer que Sp f ⊂ {0}.
c) Montrer que SpC (A) ⊂ iR (partir de AX = λX et calculer de deux manières t XAX).
d) Montrer que f ◦ f est un endomorphisme symétrique dont les valeurs propres sont négatives ou nulles.
e) Montrer que si F est un sous-espace vectoriel stable par f , F ⊥ est également stable par f .
Q3. Ici f est un endomorphisme antisymétrique non nul de E. g est l’application de Im f dans lui-même qui à x associe
f (x). On pose : h = g 2 . g est clairement un endomorphisme antisymétrique de Im f . Alors h est un endomorphisme
symétrique de Im f dont les valeurs propres sont négatives ou nulles (et même mieux...) d’aprè Q2 d).
a) Soit v un vecteur propre de h.
Montrer que (v, f (v)) soit une famille orthogonale libre de Im f .
(
)
b) On suppose qu’il existe une famille (v1 , v2 , . . . , vr ) de vecteurs propres de h telle que v1 , f (v1 ), v2 , f (v2 ), . . . , vr , f (vr )
soit une famille libre orthogonale et non génératrice de Im f . Montrer que l’on peut trouver un vecteur propre vr+1
(
)
de h tel que v1 , f (v1 ), v2 , f (v2 ), . . . , vr+1 , f (vr+1 ) soit une famille libre et orthogonale de Im f .
(
)
En déduire qu’il existe une famille (w1 , w2 , . . . , wp ) de vecteurs propres de h telle que w1 , f (w1 ), w2 , f (w2 ), . . . , wp , f (wp )
soit une base orthogonale de Im f . Ainsi rg f est pair.
c) Montrer que l’on peut trouver une base orthonormé de E telle que la matrice de f dans cette base soit :


0 −a1
0
 a1



..


.
(O)




0 −ap




ap
0




(O)
0




..


.
0
à un abus près.
J.F.C.
Exercice 53
S
p. 25
Endomorphisme antisymétrique. LYON 2002 PB 2.
I Bon entraı̂nement. Sans doute à faire.
Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, dont le produit scalaire est noté < , >.
L’objectif du problème est d’étudier les endomorphismes u de E tels que :
∀x ∈ E, < u(x), x >= 0
Les endomorphismes vériﬁant cette propriété sont appelés endomorphismes antisymétriques.
PARTIE I : Étude d’un exemple
Dans cette partie, E est l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coeﬃcients réels, de degré inférieur ou égal à 2.
On rappelle que (1, X, X 2 ) est une base de E.
On considère l’application φ : E 2 → R déﬁnie pour tout couple (P, Q) d’éléments de E par :
φ(P, Q) = P (0)Q(0) + P (1)Q(1) + P (−1)Q(−1).
Q1 Vériﬁer que φ est un produit scalaire.
Dans cette première partie, on considère que E est muni de ce produit scalaire.
Q2 On considère l’endomorphisme u de E déﬁni pour tout P de E par :
(
)
u(P ) = 2P ′ (0)X 2 − P (1) + P (−1) X.
a) Vériﬁer :
∀P ∈ E, 2P ′ (0) − P (1) + P (−1) = 0.
b) En déduire que u est un endomorphisme antisymétrique de l’espace vectoriel euclidien E.
1 2
1
(X + X) et P2 = u(P1 ).
2
2
a) Vériﬁer que P1 est un vecteur propre de u2 et que la famille (P1 , P2 ) est orthonormée.
Q3 Soient P1 =
b) Déterminer une base de Ker u.
c) Déterminer
orthonormée B de E et un nombre réel a tels que la matrice associée à u relativement à cette
 une base
0 −a 0
base soit  a 0 0 .
0 0 0
PARTIE II : Caractérisations des endomorphismes antisymétriques
Soit u un endomorphisme de E.
Q1 Pour tout couple (x, y) de E 2 , développer < u(x + y), x + y >.
En déduire que u est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si :
∀(x, y) ∈ E 2 , < u(x), y >= − < x, u(y) > .
Q2 On suppose dans cette question que la dimension n de E est non nulle.
J.F.C.
p. 26
Soient B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base orthonormée de E, et M = ( mi,j )i6i,j6n la matrice associée à u relativement à
la base B.
a) Montrer : ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , mi,j =< ei , u(ej ) >.
b) En déduire que u est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si la matrice M associée à u relativement
à la base B vériﬁe t M = −M .
PARTIE III : Propriétés générales des endomorphismes antisymétriques
Soit u un endomorphisme antisymétrique non nul de E.
On pourra utiliser la caractérisation obtenue dans la question II.1.
Q1 Soit λ un nombre réel. Montrer que si λ est valeur propre de u, alors λ = 0.
Q2 Montrer que Im u et Ker u sont orthogonaux et supplémentaires dans E.
En déduire que Ker u = Ker(u2 ).
Q3 Montrer que u2 est un endomorphisme symétrique de E et que toute valeur propre de u2 est négative ou nulle.
Q4 a) Montrer que u2 admet au moins une valeur propre non nulle.
Soient x un vecteur propre de u2 associé à une valeur propre non nulle, et F le sous-espace vectoriel de E engendré
par (x, u(x)).
b) Montrer que F est un plan vectoriel stable par u.
c) Montrer que F ⊥ , le supplémentaire orthogonal de F , est stable par u.
d) On munit F ⊥ du produit scalaire < , >1 déﬁni pour tout couple (x, y) d’éléments de F ⊥ par
< x, y >1 =< x, y >
On déﬁnit l’endomorphisme u1 de F ⊥ par :
∀x ∈ F ⊥ , u1 (x) = u(x).
Montrer que u1 est un endomorphisme antisymétrique de F ⊥ et que Im u = F ⊕ Im u1 .
Q5 Montrer que le rang d’un endomorphisme antisymétrique est pair. On pourra faire une récurrence sur la
dimension de E.
PARTIE IV : Application
Dans cette partie, E est un espace vectoriel euclidien de dimension 4 et B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) est une base orthonormée
de E.
Soit u l’endomorphisme de E associé, relativement à la base

0 4
 −4 0
A=
−1 1
1 1
B, à la matrice

1 −1
−1 −1 

0 −5
5
0
Q1 Montrer que u est un endomorphisme antisymétrique de E.
Vériﬁer que le vecteur f1 = e1 + e2 − e3 est vecteur propre de u2 .
J.F.C.
p. 27
(
)
Q2 Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par la famille f1 , u(f1 ) . Déterminer une base orthonormée de
F et une base orthonormée de F ⊥ .
Q3 En déduire une base

0
a

relativement à B0 soit 
0
0
Exercice 54
PC
orthonormée B0 de E et deux nombres réels a et b tels que la matrice associée à u

−a 0 0
0 0 0 
.
0 0 −b
0 b 0
Matrice antisymétrique. Matrice orthogonale.
Oral ESCP 1998 2-4.
n est un élément de [[2, +∞[[ et M est un élément de Mn (R) tel que t M = −M .
Q1. Montrer que : ∀X ∈ Mn,1 (R), t XM X = 0.
Q2. Montrer que In + M est inversible.
Q3. On pose A = (In − M )(In + M )−1 . Montrer que t AA = In . Ainsi A est une matrice orthogonale.
Q4. Récipoquement, soit A une matrice orthogonale de Mn (R) telle que In + A soit inversible.
Montrer que la matrice H = (In − A)(In + A)−1 vériﬁe t H = −H.
J.F.C.
p. 28
Complément 12 : Des familles de polynômes orthogonaux classiques.
Exercice 55
Polynômes de Legendre.
• Thème abordé dans oral ESCP 2008 2.12, 2011 2.3., ESSEC MI 1987, HEC 1996 MI.
Dans ce texte E = R[X] et pour tout élément n, de N En = Rn [X].
∫ 1
2
On pose ∀(P, Q) ∈ E , < P, Q >=
P (t) Q(t) dt. < ., . > est un produit scalaire sur E. On note ∥.∥ la norme
−1
associée.
1
U (n) .
n! n
)′
(
Q1 ∀P ∈ E, L(P ) = (X 2 − 1) P ′ = 2X P ′ + (X 2 − 1) P ′′ .
∀n ∈ N, Un = (X 2 − 1)n et Pn =
2n
Montrer que L est un endomorphisme symétrique de (E, < ., . >).
Q2 Soit n un élément de N.
a) Montrer que si P est élément de En , L(P ) est encore un élément de En .
b) En déduire que L induit sur En un endomorphisme que nous noterons Ln .
Trouver la matrice Mn de Ln relativement à la base (1, X, X 2 , . . . , X n ).
c) Donner les valeurs propres de Ln et montrer que cet endomorphisme est diagonalisable.
Q3 n est élément de N.
a) Montrer que Pn est de degré n et calculer le coeﬃcient an du terme de plus haut degré de Pn .
b) Montrer que Pn a la parité de n.
c) Montrer que Pn (1) = 1 (on pourra remarquer que X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1) !).
d) Calculer P0 , P1 et P2 .
e) Si n ∈ N∗ , montrer que Pn admet exactement n zéros distincts et que ces zéros sont dans ] − 1, 1[ (on pourra itérer
Rolle).
Q4 n est un élément de N.
′
− 2(n + 1)XUn = 0E et que (X 2 − 1)Un′ − 2nXUn = 0E .
a) Montrer que Un+1
b) En dérivant (n + 1) fois les égalités précédentes, montrer que :
′
Pn+1
= XPn′ + (n + 1)Pn
et que
L(Pn ) = n(n + 1) Pn
(1)
(2).
Q5 Montrer que, pour tout n dans N, (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une base orthogonale de En .
Q6 Donner les valeurs propres et les sous-espaces propres de L.
)2
(
)2
1 − x2 ( ′
Pn (x) .
Q7 n est élément de N∗ . On pose ∀x ∈ [0, 1], fn (x) = Pn (x) +
n(n + 1)
a) En utilisant (2), montrer que fn est croissante.
b) En déduire que ∀x ∈ [−1, 1], |Pn (x)| 6 1.
J.F.C.
p. 29
Q8 n est un élément de N.
∫ 1
an+1
′
a) Montrer que
Pn+1
(t) Pn (t) dt = (n + 1)
∥Pn ∥2 .
a
n
−1
∫ 1(
∫ 1
)2
b) Montrer que
Pn (t) dt = 2 − 2
t Pn (t) Pn′ (t) dt.
−1
−1
c) En utilisant (1), en déduire que ∥Pn ∥2 =
√
Q9 On pose ∀k ∈ N, Qk =
2
·
2n + 1
2k + 1
Pk .
2
Montrer que, pour tout élément n de N, (Q0 , Q1 , . . . , Qn ) est une base orthonormée de En .
Q10 n est élément de N∗ et Qn = (n + 1)Pn+1 − (2n + 1)XPn .
a) Montrer que Qn appartient à En . Préciser la parité de Qn et calculer Qn (1).
b) Montrer que < XPn , Pk >=< Pn , XPk >= 0 pour tout élément k de [[0, n − 2]].
c) En déduire qu’il existe deux réels λ et µ tels que Qn = λPn + µPn−1 .
d) Montrer que λ = 0, µ = −n et que l’on a :
(n + 1)Pn+1 − (2n + 1)XPn + nPn−1 .
Exercice 56
Polynômes de Tchebychev (de première espèce).
• On pourra voir dans HEC 1980 MI, LYON 1984, dans LYON 2005 PB 2 les polynômes de Tchebychev de seconde
espèce. On trouve dans la partie II d’ESSEC MI 2000 ou dans ESSEC 1995 MI une propriété importante des polynômes
de Tchebychev de première espèce.
• Thème abordé dans oral ESCP 1998 1-22, 2001 2.2, 2006 2.10, 2009 2.17.
On rappelle que :
→ cos déﬁnit une bijection de [0, π] sur [−1, 1].
→ ∀(a, b) ∈ R2 , 2 cos a cos b = cos(a + b) + cos(a − b).
PARTIE I
Q1 n est un élément de N. Montrer que :
∑
E(n/2)
∀θ ∈ R, cos(nθ) =
∑ (n)
(cos θ)n−2k (cos2 θ − 1)k
2k
E(n/2)
2k
Cn
(cos θ)n−2k (cos2 θ − 1)k =
k=0
k=0
(calculer la partie réelle de (cos θ + i sin θ)n ).
Q2 n est un élément de N.
a) Montrer qu’il existe un élément Tn de R[X] et un seul tel que :
∀θ ∈ R, cos(nθ) = Tn (cos θ).
b) Préciser la parité de Tn . Calculer Tn (1) et Tn (−1). Donner le degré de Tn .
c) Expliciter T0 , T1 , T2 et T3 .
J.F.C.
p. 30
Q3 Montrer que, pour tout élément n de N :
Tn+2 = 2XTn+1 − Tn .
(on pourra commencer par montrer que ces deux polynômes coı̈ncident en cos θ).
(π
π)
Q4 n ∈ N∗ . Montrer que si k est élément de [[0, n − 1]], yk = cos
+k
est une racine de Tn .
2n
n
En déduire avec beaucoup de soin que Tn admet exactement n racines réelles distinctes et que ces racines sont dans
l’intervalle ] − 1, 1[.
Q5 n ∈ N∗ . Préciser le maximum et le minimum de Tn sur [−1, 1]. Montrer que la fonction Tn atteint sur [−1, 1]
ses extremums en n + 1 points que l’on déterminera.
PARTIE II
Dans cette partie E est l’espace vectoriel des applications continues de [−1, 1] dans R.
∫ 1
∫ π
u(t)
√
u(cos θ) dθ.
Q1 Montrer que pour tout élément u de E,
dt converge et vaut
1 − t2
−1
0
∫ 1
f (t) g(t)
√
Q2 Pour tout couple (f, g) d’éléments de E on pose : φ(f, g) =
dt.
1 − t2
−1
Montrer que l’on déﬁnit ainsi un produit scalaire sur E.
Dans la suite nous noterons < ., . > ce produit scalaire et N la norme associée .
Dans la suite encore, F est le sous espace vectoriel de E constitué par les applications polynômiales de [−1, 1] dans
R. Si n appartient à N, Fn est le sous-espace de F constitué par les applications polynômiales de [−1, 1] dans R de
degré au plus n. On pourra confondre F et R[X] (resp. Fn et Rn [X])...
On se propose, pour ω dans N, de trouver l’ensemble Sω des éléments P de F tels que :
∀x ∈ [−1, 1], (1 − x2 ) P ′′ (x) − x P ′ (x) + ω 2 P (x) = 0.
Q3 n est élément de N.
Montrer que (T0 , T1 , . . . , Tn ) est une base orthogonale de Fn (on pourra poser t = cos θ ...).
En déduire que si n n’est pas nul, Tn est orthogonal à Fn−1 .
Calculer la norme N (Tn ) de Tn .
Q4 Φ est l’application qui à tout élément P de F associe Φ(P ) déﬁni(e) par
∀x ∈ [−1, 1], Φ(P )(x) = (1 − x2 )P ′′ (x) − xP ′ (x).
a) Montrer que Φ est un endomorphisme de F .
b) P est un élément de F . Préciser la dérivée de x →
Φ(P )).
√
1 − x2 P ′ (x) sur ] − 1, 1[ (on pourra l’exprimer en fonction de
c) Soit P un élément de Ker Φ. Montrer proprement que P ′ est nulle. Déterminer le noyau de Φ.
Q5 P et Q sont deux éléments de F . Montrer que :
< Φ(P ), Q >=< P, Φ(Q) >
(utiliser proprement Q4b)).
J.F.C.
p. 31
Q6 n est élément de N.
a) Montrer que Fn est stable par Φ. Φn est l’application de Fn dans Fn qui à P dans Fn associe Φ(P ).
Montrer très simplement que Φn est un endomorphisme diagonalisable de Fn .
b) Ici n n’est pas nul. Montrer que si P est élément de Fn , il existe un réel λ tel que : Φn (P ) + λP ∈ Fn−1 .
Montrer que si de plus P est orthogonal à Fn−1 alors il en est de même pour Φn (P ) + λP .
Montrer dans ce cas que : Φn (P ) + λP = 0.
c) Montrer que pour tout élément n de N, Φn (Tn ) + n2 Tn = Φ(Tn ) + n2 Tn = 0.
Q7 n est dans N. Trouver les valeurs propres et les sous-espaces propres de Φn .
Q8 Répondre au problème posé.
• Voir la suite du problème dans le sujet 3 de la sélection.
Exercice 57
Polynôme de Laguerre.
• Thème abordé dans problème d’EDHEC 1998, LYON 1998, LYON 2011, oral ESCP 2011 2.11.
• Ce qui suit est constitué des parties II et III de LYON 2011. Pour un texte plus ambitieux sur le sujet voir le sujet
dans les problèmes de bilinéaire ou dans la slection proposée (sujet 5).
Partie II : Polynômes de Laguerre
On considère, pour tout n ∈ N, les applications
fn : R → R, x →
xn e−x
n!
Ln : R → R, x → ex fn(n) (x) ,
(n)
où fn
désigne la dérivée nème de fn .
6. Calculer, pour tout x ∈ R, L0 (x), L1 (x), L2 (x).
7. Montrer :
( )
n
∑
(−1)k n k
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, Ln (x) =
x .
k!
k
k=0
8. En déduire que, pour tout n ∈ N, Ln est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et le coeﬃcient du
terme de plus haut degré.
9. Montrer :
′
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, fn+1
(x) = fn (x) − fn+1 (x).
10. En déduire :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, L′n+1 (x) = L′ n(x) − Ln (x).
11. Montrer :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, fn+1 (x) =
x
fn (x).
n+1
12. En déduire :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, (n + 1) Ln+1 (x) = x L′n (x) + (n + 1 − x) Ln (x).
J.F.C.
p. 32
13. Établir :
∀n ∈ N, ∀x ∈ R, x L′′n (x) − (x − 1) L′n (x) + n Ln (x) = 0.
Partie III : Produit scalaire, orthogonalité, endomorphisme
On note E le R-espace vectoriel des fonctions polynomiales de R dans R.
Soit N ∈ N ﬁxé. On note EN le sous-espace vectoriel des applications polynomiales de R dans R de degré inférieur ou
égal à N .
∫ +∞
A(x) e−x dx converge.
14. Montrer que, pour tout A ∈ E, l’intégrale
0
On considère l’application
∫
+∞
< ., . >: E × E → R, (P, Q) →< P, Q >=
P (x) Q(x) e−x dx.
0
15. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E.
On considère, pour tout P ∈ E, l’application T (P ) : R → R déﬁnie par :
∀x ∈ R, T (P )(x) = x P ′′ (x) − (x − 1) P ′ (x).
16. Vériﬁer que T est un endomorphisme du R-espace vectoriel E.
17. Montrer que, pour tout P ∈ E, l’application de R dans R : x → T (P )(x) e−x est la dérivée de l’application de R
dans R : x → x P ′ (x) e−x .
18. En déduire, pour tout (P, Q) ∈ E × E :
∫
+∞
< T (P ), Q >= −
x P ′ (x) Q′ (x) e−x dx.
0
19. Établir : ∀(P, Q) ∈ E × E, < T (P ), Q >=< P, T (Q) >.
20. En utilisant le résultat de la question 13, calculer, pour n ∈ N, T (Ln ).
21. En déduire que la famille (L0 , L1 , . . . , LN ) est orthogonale.
22. Montrer :
∀P ∈ EN , T (P ) ∈ EN .
On note TN l’endomorphisme induit par T sur EN , c’est à dire l’endomorphisme TN de EN déﬁni par :
∀P ∈ EN , TN (P ) = T (P ).
23. Montrer que (L0 , L1 , . . . , LN ) est une base de EN .
24. Donner la matrice de TN dans la base (L0 , L1 , . . . , LN ).
25. Est-ce que Tn est diagonalisable ? Est-ce que Tn est bijectif ?
Exercice 58
Polynôme d’Hermite. ESSEC 2002.
• Ce qui suit est la partie I d’ESSEC 2002. On peut aussi voir ESCP MI 1997, LYON 2008, oral ESCP 2007 2.3, 2007
2.12.
On aura intért à remplacer, lorsque cela est possible, x par X.
J.F.C.
p. 33
Dans la suite, on désigne par n un nombre entier supérieur ou égal à 2 et par Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes
de degré inférieur ou égal à n.
On rappelle qu’un polynôme non nul est dit unitaire lorsque son coeﬃcient dominant (c’est à dire le coeﬃcient de son
terme de plus haut degré) est égal à 1.
1) Déﬁnition d’un endomorphisme ϕ de Rn [X]
a) Établir que l’application associant à tout polynôme P de Rn [X] le polynôme ϕ(P ) = 2xP ′ − P ” (où P ′ et P ′′
désignent les dérivées première et seconde de P ) est un endomorphisme de Rn [X].
b) Écrire sa matrice dans la base canonique (1, x, x2 , . . . , xn ) de Rn [X].
2) Eléments propres de l’endomorphisme ϕ
a) Déterminer les valeurs propres λ0 , λ1 , . . . , λn de ϕ (on supposera que λ0 6 λ1 6 . . . 6 λn et montrer que ϕ est
diagonalisable.
b) Montrer, pour tout nombre entier p tel que 0 6 p 6 n, qu’il existe un et un seul polynôme unitaire Hp de Rn [X]
vériﬁant :
Hp′′ − 2xHp′ + 2pHp = 0
c) Montrer, pour tout nombre entier p tel que 0 6 p 6 n, que Hp est nécessairement de degré p.
d) Expliciter les polynômes H0 , H1 , H2 , H3 dans la base canonique de Rn [X] et calculer les coeﬃcients de xp−1
(1 6 p 6 n) et de xp−2 (2 6 p 6 n) dans l’expression du polynôme Hp .
3) Déﬁnition d’un produit scalaire sur Rn [X]
a) Montrer que l’intégrale écrite ci-dessous est déﬁnie pour tout couple (P, Q) de Rn [X] :
∫ +∞
2
< P, Q >=
P (x) Q(x) e−x dx
−∞
b) Montrer alors que l’application (P, Q) ∈ Rn [X] × Rn [X] →< P, Q >∈ R déﬁnit un produit scalaire sur Rn [X].
c) Exprimer la dérivée de x 7→ P ′ (x) e−x en fonction de ϕ(P )(x) e−x , puis prouver qu’on a pour tout couple (P, Q)
de Rn [X] :
< ϕ(P ), Q >=< P, ϕ(Q) >
2
2
d) En déduire que < Hp , Hq >= 0 lorsque p et q sont deux nombres entiers distincts compris entre 0 et n, puis que
(H0 , H1 , . . . , Hn ) forme une base orthogonale pour ce produit scalaire.
Montrer enﬁn que < Hp , Q >= 0 pour tout polynôme Q appartenant à Rp−1 [X] (1 6 p 6 n).
4) Etude des racines des polynômes Hp
(1 6 p 6 n)
a) Montrer, en remarquant que < Hp , H0 >= 0, que le polynôme Hp s’annule au moins une fois sur R en changeant
de signe.
b) On note a1 , a2 , . . . , am les racines distinctes de Hp en lesquelles celui-ci s’annule et change de signe (avec bien
entendu m 6 p) et on pose alors Pm (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − am ).
Étudier le signe du polynôme Hp Pm et déterminer la valeur de l’intégrale < Hp , Pm > si m < p, puis en déduire que
m = p.
c) En déduire que le polynôme Hp admet p racines simples dans R.
5) Relations entre les polynômes Hp
(2 6 p 6 n)
J.F.C.
p. 34
a) Prouver les égalités suivantes pour tout polynôme Q appartenant à Rp−3 [X] où 3 6 p 6 n :
< xHp−1 , Q >= 0
;
< Hp − xHp−1 , Q >= 0
En exprimant le polynôme Hp − xHp−1 dans la base (H0 , H1 , . . . , Hn ), établir la relation :
2Hp − 2xHp−1 + (p − 1)Hp−2 = 0
(pour 2 6 p 6 n)
b) Prouver l’égalité < Hp′ , Q >= 0 pour tout polynôme Q appartenant à Rp−2 [X] où 2 6 p 6 n, puis en déduire la
relation :
Hp′ = pHp−1 (pour 1 6 p 6 n)
Exercice 59
Polynôme de Jacobi.
• Thème abordé dans oral ESCP 2000 2-2
PARTIE
I
ETUDE D’UN ENDOMORPHISME
On pose : ∀P ∈ R[X], φ(P ) = (X 2 − 1) P ′′ + (2X + 1) P ′ .
Q1 Montrer que φ est un endomorphisme de R[X] et que, pour tout élément n de N, Rn [X] est stable par φ.
Q2 n est un élément de N et φn est l’endomorphisme de Rn [X] déﬁni par : ∀P ∈ Rn [X], φn (P ) = φ(P ).
a) Ecrire la matrice de φn dans la base canonique (1, X, . . . , X n ) de Rn [X].
b) Déterminer les valeurs propres de φn . Montrer que φn est diagonalisable.
Q3 a) Montrer très proprement, par double inclusion, que l’ensemble des valeurs propres de φ est : {k(k +1) ; k ∈ N}.
Préciser la dimension des sous-espaces propres de φ.
b) Soit k un élément de N. Montrer qu’il existe un polynôme unitaire Pk et un seul qui soit vecteur propre de φ associé
à la valeur propre k (k + 1). Montrer que Pk est de degré k.
c) Calculer P0 , P1 , P2 et P3 (aujourd’hui P3 est facultatif).
d) Préciser le coeﬃcient de X k−1 dans Pk pour k élément de [[1, +∞[[.
1−k
·
4
e) Montrer que, pour tout élément n de N, (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X].
Montrer que si k est élément de [[2, +∞[[, le coeﬃcient de X k−2 dans Pk est :
PARTIE
II
UN PRODUIT SCALAIRE CLASSIQUE
Dans cette partie E est l’espace vectoriel des fonctions continues de [−1, 1] dans R.
√
∫ 1
1−t
dt existe.
Q1 Montrer que pour tout élément h de E,
h(t)
1+t
−1
√
∫ 1
1−t
2
Q2 On pose : ∀(f, g) ∈ E , < f, g >=
f (t) g(t)
dt.
1+t
−1
Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur E. Nous noterons ∥.∥ la norme associée.
Q3 Soient P et Q deux éléments de R[X].
J.F.C.
∫
1
a) Montrer que < φ(P ), Q >=
−1
∫
b
(
′′
′
)
(1 − t) 2 (1 + t) 2 P ′ (t) Q′ (t) dt (on pourra commencer à intégrer par parties
3
√
(t − 1) P (t) + 2 t P (t) Q(t)
2
p. 35
a
1
1−t
dt en remarquant que la première parenthèse est une dérivée ; être pa1+t
tient...).
b) En déduire alors que < φ(P ), Q >=< P, φ(Q) >.
c) Montrer alors que la famille (Pk )k∈N est orthogonale.
En déduire que pour tout n dans N∗ , Pn est orthogonal à Rn−1 [X].
∫ 1 √
∫ π2
(
)n
1−t
n
Q4 On pose pour tout élément n de N In =
t
dt et Jn =
cos(2 θ) dθ.
1
+
t
−1
0
√
∫ π2
∫ 1
(
)
1−t
dt = 4
h cos(2 θ) (sin θ)2 dθ.
a) Montrer que pour tout élément h de E :
h(t)
1+t
0
−1
b) n est un élément de N. Exprimer In en fonction de Jn et de Jn+1 .
c) Calculer J0 et J1 . Exprimer Jn en fonction de Jn−2 pour tout élément n de [[2, +∞[[.
Calculer J2p et J2p+1 pour tout p dans N.
d) Montrer que ∀p ∈ N, I2p =
(2p)!
(2p + 2)!
π et I2p+1 = − p+1
π.
p
2
[2 p!]
[2
(p + 1)!]2
PARTIE
III
ETUDE DE LA SUITE (Pn )n∈N
Q1 Soit n un élément de N∗ .
a) En remarquant que < Pn , 1 >= 0, montrer que Pn admet au moins un zéro d’ordre de multiplicité impair dans
] − 1, 1[.
b) Soient x1 , x2 , ..., xp les zéros de Pn d’ordre de multiplicité impair situés dans ] − 1, 1[ (x1 , x2 , ..., xp sont deux à
deux distincts).
[
]
En remarquant que (X − x1 )(X − x2 ) · · · (X − xp ) Pn garde un signe constant sur ] − 1, 1[ montrer que l’on ne peut
pas avoir p < n.
En déduire que p = n et que Pn = (X − x1 )(X − x2 ) · · · (X − xn ).
Q2 a) Montrer que ∀n ∈ N∗ , ∀Q ∈ Rn−1 [X], < Q, Pn+2 − X Pn+1 >= 0 (remarquer que < A, BC >=< AB, C >...).
b) Préciser le terme de plus haut degré de Pn+2 − X Pn+1 pour tout n dans N (utiliser I Q3 d)).
c) Soit n un élément de N. Montrer que Pn+2 − X Pn+1 est combinaison linéaire de la famille (P0 , P1 , . . . , Pn ) puis de
la famille (Pn ) !
1
Montrer que Pn+2 − X Pn+1 = − Pn .
4
Q3 a) calculer P2p (0) et P2p+1 (0) pour tout élément p de N.
b) Montrer, en gérant une suite déﬁnie par une relation linéaire de récurrence d’ordre 2, que ∀n ∈ N, Pn (1) =
Q4 n appartient à N. Montrer que :
a) < Pn , Pn >=< Pn , X n > ;
b) < Pn , X n+1 >= −
1
< P n , Pn > ;
2
2n + 1
·
2n
J.F.C.
c) < Pn , X n+2 >=
p. 36
n+2
< Pn , Pn >.
4
Q5 On pose pour tout élément n de N, un =< Pn , Pn >.
a) Utiliser II Q4 pour calculer u0 et u1 .
n+3
n+2
un+1 = −
un .
4
16
√
π
c) En déduire que ∀n ∈ N, ∥Pn ∥ = n ·
2
b) Montrer que : ∀n ∈ N, un+2 −
PARTIE
IV
APPROXIMATION D’UN ÉLÉMENT DE E PAR UNE SUITE DE POLYNÔMES
Soit f un élément de E.
Q1 n est un élément de N. Montrer qu’il existe un unique élément Sn de Rn [X] tel que ∥f − Sn ∥ soit minimal.
n
∑
< f, Pk >
Montrer que Sn =
Pk . Exprimer ∥f − Sn ∥2 en fonction de ∥f ∥2 et ∥Sn ∥2 . Calculer ∥Sn ∥2 .
∥Pk ∥2
k=0
Q2 Montrer que la série de terme général
+∞
∑
(< f, Pk >)2
(< f, Pk >)2
converge
et
que
6 ∥f ∥2 .
∥Pk ∥2
∥Pk ∥2
k=0
Soit g une fonction numérique continue sur un segment [a, b]. Le théorème de Weirstrass indique que pour tout
réel strictement positif ε′ , il existe un élément Pε′ de R[X] tel que Max |g(t) − Pε′ (t)| < ε′ .
t∈[a,b]
Q3 On se propose de montrer que lim ∥f − Sn ∥ = 0. Soit ε un réel strictement positif.
n→+∞
a) Montrer qu’il existe un polynôme Q tel que ∥f − Q∥ < ε.
b) En déduire qu’il existe p dans N tel que : ∀n ∈ [[p, +∞[[, ∥f − Sn ∥ < ε. Conclure.
c) Montrer que :
+∞
∑
(< f, Pk >)2
= ∥f ∥2 .
∥Pk ∥2
k=0
Exercice 60
PC D’une utilisation classique d’une famille de polynômes orthogonaux.
Dans tout le problème n est un élément de [[2, +∞[[, −∞ 6 a < b 6 +∞ et x1 , x2 , ..., xn sont n éléments de R tels
que a 6 x1 < x2 < · · · < xn 6 b.
∫ b
p est une fonction numérique continue et strictement positive sur ]a, b[ telle que
tk p(t) dt converge pour tout élément
a
k de N.
On est prié de remarquer que toutes les intégrales qui interviennent dans ce texte sont des intégrales généralisées.
PARTIE I
∫
b
P (t) p(t) dt existe pour tout élément P de R[X].
Q0 Montrer que
a
Q1 U = (X − x1 )(X − x2 ) · · · (X − xn ).
Pour tout i élément de [[1, n]], Ui est le quotient de U par X − xi et Li =
1
Ui .
Ui (xi )
a) Evaluer Li (xj ) pour i et j dans [[1, n]]. Montrer que (L1 , L2 , . . . , Ln ) est une base de Rn−1 [X] et que les coordonnées
d’un élément P de Rn−1 [X] dans cette base sont (P (x1 ), P (x2 ), . . . , P (xn )).
J.F.C.
p. 37
b) Montrer qu’il existe un unique élément (a1 , a2 , . . . , an ) de Rn tel que :
∫
b
∀P ∈ Rn−1 [X],
P (t) p(t) dt =
a
n
∑
ak P (xk )
k=1
(on pourra procéder par analyse-synthèse en se servant de la base (L1 , L2 , . . . , Ln ) de Rn−1 [X]).
∫ b
Désormais, pour tout élément k de [[1, n]], ak =
Lk (t) p(t) dt.
a
Q2 Dans cette question a et b sont réels et f est une fonction numérique continue sur [a, b].
∫ b
a) Montrer que
f (t)p(t) dt converge.
a
b) On pose Pf =
n
∑
f (xk ) Lk . Montrer que Pf est l’unique élément de Rn−1 [X] tel que : ∀k ∈ [[1, n]], Pf (xk ) = f (xk ).
k=1
∫
∫
b
Ainsi pourrons-nous approximer
b
f (t) p(t) dt par
Pf (t) p(t) dt =
a
a
n
∑
ak f (xk ). La question suivante consiste à
k=1
trouver un majorant de l’erreur résultant de cette approximation.
Q3 Ici a et b sont encore deux réels et f est une fonction numérique de classe C n sur [a, b].
On pose Mn = Sup |f (n) (t)| = Max |f (n) (t)| et pour tout élément t de [a, b], g(t) = f (t) − Pf (t) − A U (t) où A est
t∈[a,b]
t∈[a,b]
un réel.
a) Montrer que g est de classe C n sur [a, b] et que pour tout t dans [a, b]
g (n) (t) = f (n) (t) − A n!
b) On ﬁxe x dans [a, b] − {x1 , x2 , . . . , xn }. Trouver A pour que g(x) = 0 (faire simple). On suppose désormais que
A a cette valeur. Ainsi x1 , x2 , ..., xn et x sont n + 1 zéros distincts de g.
c) Montrer par récurrence que pour tout élément k de [[1, n]], g (k) possède au moins n − k + 1 zéro(s) dans ]a, b[ (utiliser
Rolle).
f (n) (αx )
U (x).
n!
Montrer que ceci vaut encore si x appartient à {x1 , x2 , . . . , xn }.
n
∫ b
M ∫ b
∑
n
e) Montrer enﬁn que |U (t)|p(t) dt.
f (t)p(t) dt −
ak f (xk ) 6
n!
a
a
d) Montrer alors que : ∃αx ∈]a, b[, f (x) − Pf (x) =
k=1
PARTIE II
On rappelle qu’un polynôme non nul est unitaire ou normalisé si le coeﬃcient de son terme de
plus haut degré est 1.
On garde les notations de la partie précédente. En particulier U = (X − x1 )(X − x2 ) . . . (X − xn ) et (a1 , a2 , . . . , an )
est toujours l’unique élément de Rn tel que :
∫
∀P ∈ Rn−1 [X],
b
P (t) p(t) dt =
a
n
∑
ak P (xk ).
k=1
Le but de cette partie est de voir de quelle manière on peut choisir les points x1 , x2 , ..., xn pour que la formule
précédente soit encore vraie pour les éléments de Rn−1+q [X] avec q le plus grand possible et de voir ensuite les eﬀets
J.F.C.
p. 38
de l’amélioration de la formule sur l’approximation étudiée dans I Q3. On pourra observer que les outils développés
dans le cours d’algèbre bilinéaire font ici le maximum.
Q1 Si (P, Q) est un couple d’éléments de R[X] on pose :
∫
b
< P, Q >=
P (t) Q(t) p(t) dt.
a
Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur R[X]. On note ∥.∥ la norme associée.
Q2 Ici q est dans N∗ et on suppose que :
∫
b
∀P ∈ Rn−1+q [X],
P (t) p(t) dt =
a
∫
ak P (xk ).
k=1
b
a) Montrer alors que : ∀k ∈ [[0, q − 1]],
de Rn [X] orthogonal à Rq−1 [X].
n
∑
ti U (t) p(t) dt = 0. En déduire que U un polynôme normalisé (ou unitaire)
a
b) On suppose que q > n. Utiliser ce qui précède pour montrer que U (ou < U, U >) est nul et en déduire une
contradiction !
Ainsi on ne peut espérer plus que q = n ! Autrement dit au mieux on ne pourra étendre la formule de IQ1.b qu’aux
éléments de R2n−1 [X]. Montrons que le mieux est possible.
Q3 a) Soit r un élément de N∗ . Montrer que l’orthogonal de Rr−1 [X] dans Rr [X] est une droite vectorielle que
nous noterons Dr .
En déduire qu’il existe un polynôme normalisé (ou unitaire) Pr de Rr [X] et un seul orthogonal à Rr−1 [X]. Montrer
que le degré de Pr est r.
b) On pose P0 = 1. Montrer que, pour tout m dans N, (P0 , P1 , . . . , Pm ) est une base orthogonale de Rm [X].
∫ b
n
∑
Q4 a) Utiliser Q2a) pour montrer que si : ∀P ∈ R2n−1 [X],
P (t) p(t) dt =
ak P (xk ) alors x1 , x2 , ..., xn
a
k=1
sont les zéros de Pn .
b) Réciproquement on suppose que x1 , x2 , ...., xn sont les zéros de Pn (notons que pour l’instant rien n’indique que
Pn admet n zéros distincts entre a et b...).
Soient P un élément de R2n−1 [X], Q et R le quotient et le reste dans la division de P par Pn .
∫ b
∫ b
Comparer P (xk ) et R(xk ) pour tout k dans [[1, n]]. Montrer que
P (t) p(t) dt =
R(t) p(t) dt. En déduire que :
a
a
∫ b
n
∑
P (t) p(t) dt =
ak P (xk ). Conclure.
a
k=1
PARTIE III
Dans cette partie on se propose d’établir une formule de récurrence permettant d’obtenir les Pr , de montrer que Pn
admet n racines réelles distinctes appartenant à l’intervalle ]a, b[ et de revenir sur l’approximation étudiée dans IQ3.
Q1 On rappelle que (Pr )r>0 est une suite d’éléments unitaires de R[X] deux à deux orthogonaux et que Pr est de
degré r pour tout élément r de N. Ici m appartient à N∗ (ou [[2, +∞[[ si vous y tenez).
a) Montrer que XPm est combinaison linéaire de la famille (P0 , P1 , . . . , Pm , Pm+1 ).
Montrer en fait qu’il existe trois réels αm , βm et γm tels que :
XPm = αm Pm−1 + βm Pm + γm Pm+1
J.F.C.
p. 39
(prendre i dans [[0, m − 2]] montrer que < XPm , Pi >=< Pm , XPi >= 0 et utiliser ce qui précède).
b) Montrer que : γm = 1, βm =
< XPm , Pm >
∥Pm ∥2
et
α
=
·
m
∥Pm ∥2
∥Pm−1 ∥2
En déduire que :
(
< XPm , Pm > )
∥Pm ∥2
Pm+1 = X −
P
−
Pm−1 .
m
∥Pm ∥2
∥Pm−1 ∥2
Q2 s est le nombre de racines d’ordre de multiplicité impair de Pn appartenant à ]a, b[.
Si s = 0 on pose P = 1. Dans le cas contraire on pose P =
s
∏
(X − yi ) où y1 , y2 , ..., ys sont les racines d’ordre de
i=1
multiplicité impair de Pn appartenant à ]a, b[ (y1 < y2 < · · · < ys ).
Justiﬁer rapidement que P Pn garde un signe constant sur ]a, b[ et que ce polynôme n’est pas nul.
∫ b
P (t) Pn (t) p(t) dt n’est pas nul et donc que s = n. Conclure.
En déduire que
a
Dans la suite x1 , x2 , ..., xn sont les zéros de Pn .
Q3 Dans cette question a et b sont réels et f est une fonction numérique dérivable sur [a, b].
a) Montrer qu’il existe un unique élément Qf de R2n−1 [X] tel que :
∀k ∈ [[1, n]], Qf (xk ) = f (xk ) et
Q′f (xk ) = f ′ (xk )
(on pourra sans doute établir un isomorphisme entre R2n−1 [X] et R2n )
∫ b
n
∑
b) Montrer que
Qf (t) p(t) dt =
ak f (xk ).
a
c) Montrer que Qf =
k=1
n
∑
f (xi )L2i +
i=1
n [(
)
]
∑
f ′ (xi ) − 2f (xi )L′i (xi ) (X − xi ) L2i .
i=1
Q4 Dans cette question a et b sont réels et f est une fonction numérique de classe C 2n sur [a, b].
On pose M2n = Sup |f (2n) (t)| = Max |f (2n) (t)| et pour tout élément t de [a, b], h(t) = f (t) − Qf (t) − A Pn2 (t) où A
t∈[a,b]
t∈[a,b]
est un réel.
a) Montrer que h est de classe C 2n sur [a, b] et préciser h(2n) .
b) On ﬁxe x dans [a, b] − {x1 , x2 , . . . , xn }. Après avoir choisi A de manière à ce que h(x) = 0, montrer que h′ possède
au moins 2n zéros dans ]a, b[. Montrer que h(2n) admet au moins un zéro dans ]a, b[.
Montrer que : ∀x ∈ [a, b], ∃βx ∈]a, b[, f (x) − Qf (x) =
∫
c) Montrer enﬁn que b
f (x)p(x) dx −
a
n
∑
k=1
f (2n) (βx ) 2
Pn (x).
(2n)!
M ∥P ∥2
2n
n
·
ak f (xk ) 6
(2n)!
J.F.C.
p. 40
EN PLUS
Exercice 61
Oral ESCP 2011 2.19
On considère l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées d’ordre n (n > 1) à coeﬃcients réels.
Si A = (ai,j )16i,j6n et B = (bi,j )16i,j6n sont deux éléments de Mn (R), on déﬁnit le produit de Schur A ⊗ B des
matrices A et B en posant :
a b
a1,2 b1,2 . . . a1,n b1,n 
1,1 1,1
 a2,1 b2,1 a2,2 b2,2 . . . a2,n b2,n 

A ⊗ B = (ai,j bi,j )16i,j6n = 
..
..


.
.
an,1 bn,1
...
...
an,n bn,n
On munit R de son produit scalaire canonique ⟨ , ⟩ et on confond vecteur de Rn et matrice colonne de Mn,1 (R)
canoniquement associée. On dit qu’une matrice A est positive (notation A > 0) si elle est symétrique et a toutes ses
valeurs propres positives ou nulles. Lorsque A et B sont symétriques, on écrit A 6 B si B − A > 0.
n
Q1. Montrer qu’une matrice A est positive si et seulement si elle est symétrique et vériﬁe ⟨Ax, x⟩ > 0 pour tout
x ∈ Rn . En déduire que la somme de deux matrices positives est encore une matrice positive.
Q2. Soit V un vecteur colonne de Rn . Montrer que la matrice B = V t V est positive.
Q3. Soit R une matrice positive non nulle de Mn (R). Montrer qu’il existe un entier m ∈ {1, . . . , n} et une famille
(V1 , . . . , Vm ) de vecteurs (colonnes) orthogonaux non nuls de Rn tels que :
m
∑
R=
Vk t Vk
k=1
Q4. Soit A une matrice positive de Mn (R) et V un vecteur colonne. Montrer que A ⊗ V t V est une matrice positive.
En déduire que le produit de Schur A ⊗ B de deux matrices positives A et B est encore une matrice positive.
Exercice 62
Oral ESCP 2009 2.9
Dans cet exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2. On considère E = Mn (R) et φ l’application déﬁnie sur E 2
n
∑
par : φ(A, B) = tr(t AB), où tr désigne l’application trace (tr(A) =
[A]i,i est la somme des éléments diagonaux de
i=1
A).
Q0. Montrer que l’application tr est linéaire, telle que, pour toutes matrices A et B de Mn (R), on a : tr(AB) = tr(BA).
Q1. Vériﬁer que φ est un produit scalaire sur Mn (R). Dans la suite, Mn (R) est muni de ce produit scalaire.
Soit A une matrice symétrique réelle de Mn (R).
Q2. On considère l’endomorphisme de Mn (R) déﬁni par : pour tout M de Mn (R), T (M ) = AM + M A.
Montrer que T est diagonalisable dans une base orthonormée.
Q3. Soit D une matrice diagonale semblable à A et λ1 , λ2 , . . . , λn les éléments diagonaux de D.
a) En étudiant l’équation T (M ) = λM , déterminer les valeurs propres de T en fonction des valeurs propres de A, ainsi
qu’une base de vecteurs propres de T .
b) On suppose que la matrice A est déﬁnie positive, c’est-à-dire que pour toute matrice colonne non nulle X de
Mn,1 (R), on a : t XAX > 0. Que peut-on dire du noyau de T ?

ALG`EBRE BILIN´EAIRE 2

Documents connexes

Produits

Soutien

ALG`EBRE BILIN´EAIRE 2

Documents connexes

Ajouter ce document à la (aux) collections

Ajouter ce document à enregistré

Suggérez-nous comment améliorer StudyLib