Chapitre XI Racine carrée d'un nombre positif Paragraphe I : Activité d'introduction sur des carrés d'aire A donnée Trouver la valeur exacte du côté c de chaque carré. A=1,44 cm² A=1cm² c=1 cm car 1²=1 c=1,2 cm car 1,2²=1,44 A=4 cm² c=2 cm car 2²=4 A= 2 cm² Pour le côté du dernier carré d'aire 2 cm², nous avons approché sa valeur « par dichotomie » en constatant d'abord que son côté était nécessairement compris entre 1 et 2 puisque 1²22² . Puis, nous avons précisé le côté en testant 1,5 ²=2,25 (trop grand) puis 1,4²=1,96 (trop petit). Et ainsi de suite... Le procédé ne prend jamais fin! Le côté d'un carré d'aire 2 vaut environ 1,41 (c'est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'on ne peut pas écrire sous la forme d'un quotient de deux nombres entiers) et s'écrit EXACTEMENT racine de 2, ce qu'on note 2 Ce nombre a la même nature que π La racine de 2, c'est LE nombre POSITIF qui, élevé au carré vaut 2. « illustration » : Mettre au carré 2 2 Prendre la racine carrée Définition : LA racine carrée d'un nombre positif a , c'est LE nombre positif qui lorsqu'il est élevé au carré vaut a . Ce nombre se note a 2 Autrement dit a =a Illustration : a est un nombre POSITIF Mettre au carré a a Prendre la racine carrée Paragraphe II Liste des carrés parfaits et des racines parfaites A connaître par coeur 12 =1 ; 2 2= 4 ; 32= 9 ; 42 =16 ; 52 =25 ; 6 2= 36 ; 7 2= 49 ; 82 =64 ; 92 =81 ; 102 =100 ; 112 =121 ; 122=144 ; 132=169 ; 142 =196 ;15 2= 225 Dans l'autre sens à connaître aussi par coeur! 1=1 ; 4 = 2 : 9 =3 ; 16 =4 ; 25 =5 ; 36 =6 ; 49 =7 ; 64= 8 ; 81 =9 100=10 ; 121 =11 ; 144 =12 ; 169=13 ; 196 =14 ; 225=15 Toutes les racines « entre » ces racines parfaites ne seront pas des nombres entiers, le but de ce chapitre est d'apprendre à maîtriser des règles qui vont nous permettre de simplifier l'écriture de racines non parfaites comme 12 qui deviendra 2 3 Paragraphe III : Opérations et racines carrées Propriétés : a et b sont des nombres positifs a × b = a × b a a = (avec a et b positifs et b non nul!) b b Application : Ces 2 propriétés permettent d'exprimer des radicaux (des racines carrées) complexes plus simplement 32= 16× 2= 42×2 = 4 2× 2 =4 × 2 on écrit 4 2 2 Remarque on aurait pu écrire 32= 4 ×8 = 4 × 8= 2 × 8= 2× 8= 2 8 Il est plus simple d'écrire 4 2 que 2 8 , on cherchera TOUJOURS le plus GRAND Par exemple carré parfait sous la racine Autrement dit on cherchera la forme petit possible!) a 2× b avec a le plus grand possible ( b est le plus 72 ; 150 ; 288 ; 96 72= 36 ×2 = 6 2× 2 =6 2 150= 5 2×6 = 52× 6 =5 6 288 = 144× 2= 122× 2=12 2 Simplifier au maximum 96 = 16× 6= 42× 6 =4 6 Au brevet, on nous demandera par exemple d'écrire plus simplement On trouve 725 288 725 288=6 25×12 2=6 260 2=66 2 (grâce aux calculs réalisés précédemment) Paragraphe IV : Utilisation des règles de calcul Exercice type 1 : Extraire une racine parfaite La méthode : on cherche dans 72 le plus grand carré parfait c'est à dire 72=a² b avec a le plus grand possible (quelques exemples au paragraphe II déjà) 72= 36 ×2 = 6 2× 2= 6 2× 2=6 2 128= 8 2×2 = 82× 2 =8 2 150= 5 2×6 = 52× 6 =5 6 Exercice type 2 : réduire une somme de racines A= 722 128­3 18 Exprimer sous la forme a 2 72= 6 2 On vient de trouver 128= 8 2 2 2 et 18= 9× 2= 3 ×2= 3 × 2 =3 2 Et finalement : A= 72­2 128­3 18=6 2­2×8 2­3×3 2 A=6 2­16 2­9 2 A=­19 2 Remarque : c'est comme si on avait 6x-16x-9x=-19x Exercice type 3 : Développer une expression comportant des racines carrées A =­4× 5 3 A=­20­ 4 3 B = 1 2 × 2­ 2 2 B = 2 ­ 1 2 2 2 ­ 2 B = 2 1 2­ 2 B = 2 on écrit 2 plutôt que 1 2 2 C = 1 5 on reconnait la 1ère IR avec a =1 et b = 5 2 2 C = 1 2× 1× 5 5 C = 1 2 5 5 C = 6 2 5 2 D = 2­ 3 On reconnait la 2ème IR avec a = 2 et b = 3 2 2 donc a ­ 2 ab b 2 2 D = 2 ­ 2 × 2 × 3 3 D = 4­ 4 3 3 D =7 ­ 4 3 E = 2 3 2­ 3 On reconnait la 3ème IR avec a = 2 et b = 3 2 2 on obtient a ­ b 2 2 E = 2 ­ 3 E = 2­ 3 E =­1