pgcd l`essentiel : le pgcd de

Fiche de préparation au brevet : pgcd
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PGCD
L’essentiel :
I Le pgcd de deux nombres entiers naturels est le plus grand diviseur commun à ces deux
nombres (il est donc supérieur ou égal à 1).
I Lorsque le pgcd de deux nombres est 1, on dit que ces deux nombres sont premiers
entre eux.
I Méthodes de calcul :
– algotithme des soustractions successives ;
– algorithme d’Euclide.
I Utilisation :
– pour transformer une fraction en fraction irréductible ;
– pour rechercher les diviseurs communs à deux entiers, car ce sont les mêmes que les
diviseurs de leur pgcd.
Exercices : les méthodes et les calculs sont à détailler !
Exercice 1) 1) Déterminer le pgcd des nombres 5 148 et 1 386
5 148
2) Transformer en fraction irréductible la fraction
1 386
Exercice 2) Même exercice avec 540 et 288.
Exercice 3) Même exercice avec 696 et 406.
Exercice 4) Même exercice avec 1 547 et 1 729.
Exercice 5) Même exercice avec 1 820 et 2 730.
Exercice 6) 1)a) Compléter chaque case par oui ou par non.
2
5
9
1 035 est divisible par
774 est divisible par
322 est divisible par
322
b) D’après ce tableau, les fractions 1774
et 774
sont-elles irréductibles ? Pourquoi ?
035
2) Calculer le pgcd de 322 et 1 035 par la méthode de votre choix.
La fraction 1322
est-elle irréductible ?
035
Exercice 7) 1) Calculer le pgcd de 1 756 et 1 317
2) Un fleuriste a reçu 1 756 roses blanches et 1 317 roses rouges.
Il désire réaliser des bouquets identiques (c’est à dire comprenant un même nombre de
roses et la même répartition entre les roses blanches et les rouges) en utilisant toutes les
fleurs
a) Quel sera le nombre maximum de bouquets identiques ?
b) Quelle sera alors la composition de chaque bouquet ?
Exercice 8) 1) Déterminer le pgcd de 108 et 135.
2) Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que :
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges ;
- tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ;
- toutes les billes sont utilisées.
Quelles sont les possibilités ? Pour chaque possibilité, détailler le nombre de paquets
et le nombre de billes rouges et noires par paquet.
1
Fiche de préparation au brevet : pgcd
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Réponses : 1) 198 et 26/7 2) 36 et 15/8 3) 58 et 12/7 4) 91 et 17/19 5) 910 et 2/3
6)1a)(par ligne) : N,O,O ; O,N,O ; O,N,N 1b)non, non 2)23 et non 7)1)439 2a)439 2b)4
et 3 8)1)27 2)1, 3, 9 ou 27 bouquets
Corrigés :
1)1) Calcul du pgcd de 5 148 et 1 386 par l’algorithme d’Euclide :
+ grd nbre
5 148
1 386
990
396
+ ptit nbre reste
1 386
990
990
396
396
198
198
0
car
car
car
car
5 148 = 3 × 1 386 + 990
1 386 = 1 × 990 + 396
990 = 2 × 396 + 198
396 = 2 × 198 + 0
Le pgcd de 5 148 et 1 386 est donc 198.
2) Pour rendre irréductible une fraction il suffit de la simplifier par le pgcd de son numérateur et de son dénominateur. Ici :
5 148
26 × 198
26
=
=
1 386
7 × 198
7
2) 3) 4) 5) sur le même modèle.
6)1)a) C’est l’occasion de revoir les critères de divisibilité. On reconnait qu’un nombre
entier est divisible par :
2 quand il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
3 quand la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3 ;
5 quand il se termine par 0 ou 5 ;
9 quand la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 9.
D’où les réponses (par ligne) : N,O,O ; O,N,O ; O,N,N
b) 774 et 1 035 sont divisibles par 9, donc la fraction n’est pas irréductible.
322 et 774 sont divisibles par 2, donc la fraction n’est pas irréductible.
2) pgcd(322, 1 035) = 23 (à détailler) la fraction est simplifiable par (au plus) 23.
7)1) Le pgcd de 1 756 et 1 317 est 439 (à détailler).
2)a) J’appelle n le nombre de bouquets. n divise 1 756 car tous les bouquets contiennent le
même nombre de roses blanches. De même n divise 1 317. n est donc un diviseur commun
à 1 756 et à 1 317. Comme on cherche le nombre maximum de bouquets, n est le plus
grand diviseur commun, n = pgcd(1 317, 1 756) = 439.
Il y aura au maximum 439 bouquets.
b) 1 756 ÷ 439 = 4 et 1 317 ÷ 439 = 3. Il y aura donc dans chaque paquet 4 roses blanches
et 3 roses rouges.
8)1) Le pgcd de 108 et 135 est 27 (à détailler).
2) J’appelle n le nombre de paquets possibles. Tous les paquets contiennent le même
nombre de billes rouges, donc n divise 108. De même n divise 135. n est donc un diviseur
commun à 108 et à 135 ; par suite n divise 27.
Les diviseurs de 27 sont : 1, 3, 9, 27. Marc peut donc faire 1, 3, 9 ou 27 paquets dont la
composition est détaillée dans le tableau suivant :
Nbre
Nbre
Nbre
Nbre
de
de
de
de
paquets
billes rouges/paquet
billes noires/paquet
billes/paquet
2
1
3 9 27
108 36 12 4
135 45 15 5
243 81 27 9