Périodicité des grandes marées

Pierre BOUTELOUP
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PÉRIODICITÉ DES GRANDES
MARÉES
Les deux parties du sujet peuvent être traitées indépendamment. Lorsque l’on
n’arrive pas à démontrer une formule, on peut l’admettre et poursuivre le sujet.
PREMIÈRE PARTIE : ÉTUDE DE L’ORBITE LUNAIRE
I- EFFET DE MARÉE
1- On considère une planète (T ) (ce sera la Terre) de centre T en orbite
circulaire de rayon d autour de l’étoile (S) (ce sera le Soleil) de masse MS .
La constante de la gravitation universelle est G. Calculer, le plus rapidement
possible la vitesse angulaire λ.
2- On considère le référentiel (xT y) en translation circulaire autour de S à
la vitesse angulaire λ ; T x et T y gardent des directions fixes par rapport aux
étoiles lointaines. Pendant la durée étudiée, très courte devant 2π
λ , l’axe des x
−→
reste en permanence la droite orientée ST , avec T pour origine.
y
r
×
S
d
T
•
P
• m
X
θ
x
Le point P (ce sera la Lune) de masse m subit dans le référentiel (xT y) la
force gravitationnelle due à S et la force centrifuge d’inertie d’entraînement due
à la rotation de T autour de S. La somme de ces deux forces est la force de
marée. Montrer que, au premier ordre, et pour la position correspondant au
schéma ci-dessus :
−
→ GMS m 2r cos θ
F =
−r sin θ
d3
On admettra cette formule pour la suite, si on n’arrive pas à la démontrer.
1 tide
1
3- Vérifier que l’accélération due à l’effet de marée ~gS s’exprime vectoriellement par la formule :
GMS
[3(~r • ~eS )~eS − ~r]
d3
~eS est le vecteur unitaire pointant du système Terre-Lune vers le Soleil, et
−−→
~r = T M .
~gS =
II MÉCANIQUE NEWTONIENNE : LE PROBLÈME DE KEPLER
On considère le problème de Kepler d’un mouvement à force d’attraction
centrale en r12 :
−
→
GmM
F = − 2 ~u
r
−→
TP
~u = −→
kT P k
T , le centre attractif est fixe et contient la masse M (masse de la Terre). G est la
constante de la gravitation universelle. La particule P a la masse m. On suppose
M ≫ m.
L’ellipse trajectoire de P a pour équation en coordonnées polaires :
r=
p
1 + e cos θ
4- Montrez que :
√
dθ
pGM
=
dt
r2
On pourra utiliser l’expression γr = r̈ − rθ̇2 pour l’accélération radiale. On
écrira cette expression au périgée, r̈ étant calculé en ce point.
5- Montrez que :
dr
=e
dt
s
GM
sin θ
p
6- On pose ~σ = ~r ∧ ~v ; ~v étant la vitesse. Montrez que ~σ est constant et que :
k~σ k =
p
pGM
2
Déterminez la position de ~σ par rapport l’ellipse trajectoire.
−
→
7- On définit le vecteur excentricité A par :
−
→
~r
A = −GM + ~v ∧ ~σ
r
−
→
Montrez que A est constant. On pourra utiliser la formule du double produit
vectoriel :
~u ∧ (~v ∧ w)
~ = (~uw)
~ ~v − (~u~v) w
~
−
→
8- Déterminez la position de A par rapport à l’ellipse trajectoire, et montrez
−
→
que k A k = eGM.
III
PRÉCESSION DU PÉRIGÉE
À cause de l’effet de marée du Soleil, la loi du mouvement n’est plus :
d~v
GM
= − 3 ~r
dt
r
mais
GM
d~v
= − 3 ~r + ~gS
dt
r
~gS étant une petite perturbation.
−
→
9- Montrez que A n’est plus constant, mais que :
−
→
dA
= ~gS ∧ ~σ + ~v ∧ (~r ∧ ~gS )
dt
−
→
10- On suppose que l’excentricité de l’ellipse e est constante ; k A k est alors
−
→
constant. D’autre part, on suppose que le plan de la trajectoire est fixe. A tourne
donc lentement autour de ~σ , ce qui correspond à une précession du périgée.
Montrez que la vitesse de rotation du périgée, ~ω , peut s’écrire :
ω
~ = −
~ • ~gS )~σ
1 ~
(A
−
(A • ~v )(~r ∧ ~gS )
A2
A2
IV CALCUL EFFECTIF DE ω
~
~ est porté par
On prend toujours les mêmes coordonnées cartésiennes, et A
l’axe des x. L’équation en coordonnées polaires de l’ellipse trajectoire est donc
toujours la même. Les composantes de ~r sont :
3
~r
r cos θ
r sin θ
Mais du fait de la rotation de la Terre autour du Soleil, le Soleil est vu dans
une direction quelconque du plan de l’écliptique (plan de rotation de la Terre
autour du Soleil), de telle manière que les composantes du vecteur unitaire e~S
pointant vers le Soleil sont :
~eS
cos ϕ
sin ϕ
11- Montrer que la valeur moyenne temporelle f sur un tour de l’ellipse d’un
quantité f , s’exprime par la formule :
1
f =
2πab
Z
1
f ≃
2πp2
Z
2π
f r2 dθ
0
2π
f r2 dθ
0
12- Montrer que :
~ • ~v = −eGM
A
s
GM
sin θ
p
13- Calculer au premier ordre en e, la valeur moyenne temporelle pour un
tour de l’ellipse de
~ • ~gS )~σ
(A
−
A2
~ fixe.
On suppose ϕ constant pour le calcul de cette valeur moyenne, et A
14- Calculer de même au premier ordre en e, la valeur moyenne temporelle
pour un tour de l’ellipse de
−
1 ~
(A • ~v )(~r ∧ ~gS )
A2
15- Le Soleil semble tourner autour de la Terre à la vitesse angulaire λ, tandis
~ tourne également lentement, par rapport aux étoiles lointaines, de telle
que A
~ avec un axe des X fixe vaut ψ(t).
manière que l’angle que fait A
Montrer que :
4
3 MS
ψ̇(t) = −
2 d3
r
p3 G 2 − 5 cos2 (ψ − λ t)
M
16- Posons u = 2λ t − 2ψ. L’équation ci-dessus peut se mettre sous la forme :
u̇ = a + b cos u
dont la solution est :
2
tan−1
t = √
2
2
a −b
"r
a−b
u
tan
a+b
2
#
+ constante
Montrer que :
t = √
u
+ termes périodiques + constante
a2 − b2
17- Calculer la période de rotation (précession
q du périgée) de l’ellipse trajec3
toire de la Lune en fonction de λ et k = 34 Md3S pMG .
18- Application numérique :
Calculer k en radians par ans.
Calculer la période de précession du périgée de l’ellipse trajectoire de la Lune
en années.
On donne :
G constante de la gravitation universelle
MS masse du Soleil
d distance de la Terre au Soleil
p voisin de la distance de la Lune à la Terre
=
=
=
=
6.67
1.99
1.49
3.84
10−11 N.m2.kg −2
1030 kg
1011 m
108 m
19- En quoi la fin du calcul précédent serait-elle grandement simplifiée si la
Terre tournait beaucoup plus vite autour du Soleil, mettons par exemple en un
mois ?
20- En vous inspirant de la réponse à la question précédente, finalement à quel
phénomène général en physique peut-on attribuer la très grande augmentation
de la vitesse de rotation du périgée quand la vitesse de rotation du périgée et la
vitesse de rotation de la Terre autour du Soleil sont à peu près du même ordre
de grandeur ?
5
DEUXIÈME PARTIE : APPLICATIONS DE L’ÉTUDE DE LA
PREMIÈRE PARTIE
La figure ci-dessous montre l’influence sur le niveau des eaux des océans de
l’accélération de marée appliquée par la Lune sur la Terre. On voit qu’il se
développe deux marées hautes, l’une du côté de la Lune, l’autre diamètralement
opposée. Du fait de la rotation de la Terre sur elle-même, il y a donc dans
l’océan atlantique nord par exemple deux marées hautes par jour. On voit que
si la déclinaison δ de la Lune n’est pas nulle, c’est à dire si la Lune n’est pas
dans le plan de l’équateur terrestre, un des deux bourrelets d’eau est rejeté
dans l’hémisphère sud. De ce fait l’océan atlantique nord oscille moins bien sur
12 heures, et les marées sont plus faibles. Toutes choses égales par ailleurs, les
marées sont donc les plus fortes près des équinoxes quand δ = 0, c’est à dire en
mars et en septembre. Le Soleil lui même est également à l’origine d’un effet de
marés qui agit sur les océans.
δ
21- Montrer que du fait que les diamètres apparents du Soleil et de la Lune
sont les mêmes vus depuis la Terre (environ 0.50), le rapport de l’intensité de la
marée due à la Lune à celle due au Soleil est égal au rapport de leurs densités.
22- Application numérique : rayon du Soleil = 6.96 108 m ; rayon de la Lune
= 1.74 106 m ; masse de la Lune = 7.35 1022kg.
Lorsque l’on tient compte simultanément de l’influence du Soleil et de la Lune
pour les marées, on voit donc que la marée haute a lieu pour la marée haute
lunaire. Cependant, on voit qu’il y a des grandes marées lorsque les influences de
la Lune et du Soleil s’ajoutent, donc aux pleines lunes et nouvelle lunes (figure
à la fin du sujet).
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23- Pourquoi, du fait que la Lune décrit une ellipse autour de la Terre, peutil y avoir une des deux grandes marées successives beaucoup plus grande que
l’autre ?
24- Du fait de la précession du périgée lunaire avec une période de 8.85 années
(valeur d’observation), certaines années, les grandes marées d’équinoxes sont très
fortes, d’autres années non. L’intensité des marées est mesurée par un coefficient
qui va de 20 pour les marées les plus faibles à 120 pour les plus fortes. Sachant
que le 10 mars 1993, le coefficient était de 119 pour une pleine Lune, et que la
première année à très grande marées qui suivit après une succession d’années
à faibles marées, il y eu de nouveau un coefficient de 119 le 10 mars, de quelle
année s’agissait-il et à quelle phase de la Lune correspondait le 10 mars cette
année là ? Un schéma est le bienvenu.
25- Avec cette méthode d’examen des grandes marées les plus fortes en fonction des phases de la Lune, comment vérifier le sens de rotation de l’ellipse
lunaire trouvé dans la première partie ?
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