CH VII Calculs dans le triangle quelconque I) Relation des sinus : 1) Découverte de la relation : On considère le triangle quelconque ABC, on appelle b le côté AC, c le côté AB et a le côté CB ( a est le côté opposé au sommet A, b au sommet B et c au sommet C). C a b A H B c Dans le triangle CHA rectangle en H, on peut calculer : CH CH sin  = donc sin  = , on peut écrire alors CH = b sin AC b Dans le triangle CHB rectangle en H, on peut également calculer : CH CH sin B̂ = donc sin B̂ = , de la même manière on peut écrire CH = a sin B̂ BC a Des résultats précédents, on peut affirmer : a sin B̂ = b sin et donc a sin = b sinB̂ 2) Relation des sinus : Dans tout triangle ABC, a sin = b = c , cette relation est appelée relation des sinB̂ sinĈ sinus. Dans un triangle quelconque ABC, les mesures des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés. 3) Exercice : Dans un triangle, on donne : B̂ = 29° ; Ĉ = 67° et c = 10 a) Calculer  CH VII Calculs dans le triangle quelconque N II Page 1 / 4 b) Calculer b (valeur arrondie au dixième). II) Relation des cosinus. 1) Découverte de la relation : A b C H c a B Dans le triangle AHC rectangle en H AH AH cos = , donc cos = d’où AH = b cos AC b BH = BA – AH = c – b cos Appliquons le théorème de pythagore au triangle AHC rectangle en H AC2 = AH2 + HC2 soit b2 = b2cos2  + HC2 et donc HC2 = b2 - b2cos2  Appliquons le théorème de pythagore au triangle BHC rectangle en H 2 BC = BH2 + HC2 d’où d’après les résultats précédents BC2 = (c - b cos )2 + b2 - b2cos2  On calcule (c - b cos )2 = c2 + b2 cos2  - 2 bc cos Donc BC2 = c2 + b2 cos2  - 2 bc cos + b2 - b2cos2  BC2 = b2 + c2 - 2 bc cos c’est à dire a2 = b2 + c2 - 2 bc cos 2) Relation des cosinus : Dans tout triangle ABC, on a : a2 = b2 + c2 - 2 bc cos ; b2 = a2 + c2 - 2 ac cos B̂ et c2 = a2 + b2 - 2 ab cos Ĉ chacune de ces relations est appelée relation du cosinus. CH VII Calculs dans le triangle quelconque N II Page 2 / 4 3) Exercices : Exercice N°1 : Dans un triangle ABC, on donne b = 3 ; a = 5 et Ĉ = 129° Calculer c : Exercice N°2 : Dans un triangle ABC, on donne c = 8 ; a = 9 et B̂ = 69° Calculer b. 4) Problème : On considère un terrain dont la forme est donnée ci-dessous : 300 A D 70° 200 400 Les côtes sont en m C B a) Représenter ce terrain à l’échelle 1/5 000. CH VII Calculs dans le triangle quelconque N II Page 3 / 4 b) Calculer BD c) Calculer BC (arrondir au dm). d) En utilisant le résultat précédent, déterminer une valeur approchée de la mesure en degrés de l’angle BĈ D . e) On note H le pied de la hauteur issue de B du triangle BCD. Calculer BH. En déduire la valeur arrondie en m2 de l’aire du triangle BCD. f) Calculer la valeur arrondie au m2 de l’aire du terrain. CH VII Calculs dans le triangle quelconque N II Page 4 / 4