Chapitre 6 : Calcul littéral - lelorgnedesavignyprovins.org
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Chapitre 6 : Calcul littéral I- Notion de calcul littéral, établir et comprendre une expression littérale Dans l’activité avec les allumettes, on avait : Etape 0 : 7 + 0 x 2 allumettes Etape 1 : 7 + 1 x 2 allumettes Etape 2 : 7 + 2 + 2 allumettes = 7 + 2 x 2 allumettes Etape 3 : 7 + 2 + 2 + 2 = 7 + 3 x 2 allumettes Etc… En fait on fait toujours le même calcul : on multiplie le numéro de l’étape par 2 allumettes qu’on ajoute aux 7 allumettes de départ. Nombre d’allumettes = 7 + numéro de l’étape x 2 allumettes Si on appelle N le numéro de l’étape, le calcul est : Nombre d’allumettes = 7 + N x 2 allumettes Définition : Une expression littérale est un calcul dans lequel apparaît une lettre qui représente un nombre indéfini. Exemples : - La longueur du segment [AB] est 𝑥 + 𝑥 + 1(= 2 × 𝑥 + 1) - L’aire de ce rectangle est 𝑎 × 𝑏 - L’aire de ce carré est : (𝑥 + 1) × (𝑥 + 1) 𝑥 1 II- Carré d’un nombre et suppression du signe multiplié 1) Carré d’un nombre Définition : Le carré d’un nombre est le produit du nombre par lui-même. Notation : Pour écrire le carré d’un nombre on met un petit 2 en haut à droite du nombre. 𝑎 × 𝑎 se note 𝑎² et se lit « 𝑎 au carré ». Exemples : 5² = 5 x 5 = 25 17² = 17 x 17 = 289 Compléter : 8² = 81 = ….² 12² = 169 = ….² 3² + 4² = Remarque : Attention il ne faut pas confondre avec la multiplication par 2 ! 2) Suppression du signe « x » (multiplié) Règle : On n’est pas obligé d’écrire le signe x, sauf quand il est situé entre 2 nombres. Exemples : - 5 + 2 × 3 = 11 : le signe x ne peut pas être supprimé car il est placé entre deux nombres. - 8 + 2 × 𝑥 = 15 : le signe x peut être supprimé car il est placé entre un nombre et une lettre. On peut l’écrire 8 + 2𝑥 = 15. - 4 × 9 + 3 = 48 : le signe x peut être supprimé car il est placé entre un nombre et une parenthèse. On peut l’écrire 4 9 + 3 = 48. - 5 + 𝑥 × 𝑦 = 7 : le signe x peut être supprimé car il est placé entre deux lettres. On peut l’écrire 5 + 𝑥𝑦 = 7. Peut-on supprimer le signe x dans les calculs suivants ? 5×𝑥−3×4 9 × (5 + 3 × 𝑥) 9×4−6×6 III- Remplacer une lettre par un nombre dans un calcul littéral Exemple : On calcule le périmètre d’un cercle en utilisant la formule suivante : périmètre = π x d (d représente le diamètre du cercle). Calculer le périmètre d’un cercle de diamètre 15 cm. Calculer le périmètre d’un cercle de diamètre 8cm. Définition : Quand on a une formule et que l’on souhaite la calculer pour une certaine valeur des lettres, il suffit de remplacer les lettres par les valeurs qui sont données et de faire le calcul. Exemple : La distance parcourue sur un stade se calcule avec la formule : 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 = 400 × 𝑡 Où t est le nombre de tours parcourus. (un tour de stade mesure 400 m) Quelle distance parcourt un coureur qui fait 5 tours de stade ? Quelle distance parcourt un coureur qui fait 10 tours de stade ? Quelle distance parcourt un coureur qui fait 12 tours de stade ? Quelle distance parcourt un coureur qui fait 20 tours de stade ? IV- Tester une égalité Définition : Une égalité est constituée de deux membres séparés par un signe =. Une égalité est vraie lorsque ses deux membres ont la même valeur. Propriété : Tester une égalité c’est remplacer la valeur de x par la valeur qui est donnée et contrôler si l’égalité est vraie pour cette valeur. Exemples : - L’égalité 5 × 3 = 13 + 2 Les deux membres ont la même valeur, c’est-à-dire 15. Cette égalité est toujours vraie. - Tester l’égalité 2𝑥 + 4 = 13 pour x = 3 Pour x = 3, 2𝑥 + 4 = 2 × 3 + 4 = 6 + 4 = 10 Comme les deux membres n’ont pas la même valeur, l’égalité est fausse. - Tester l’égalité 3𝑥 − 2 = 14 + 2𝑦 pour 𝑥 = 6 𝑒𝑡 𝑦 = 1 • D’une part, le premier membre : 3𝑥 − 2 = 3 × 6 − 2 = 18 − 2 = 16, • D’autre part le second membre : 14 + 2𝑦 = 14 + 2 × 1 = 14 + 2 = 16 Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vraie pour 𝑥 = 6 𝑒𝑡 𝑦 = 1. V- Distributivité Théorème (distributivité) : Si on prend trois nombres a, b et k alors on peut toujours écrire : k × (a +b) = k × a + k × b Exemples : 2 × (3 + 5) = 2 × 3 + 2 × 5 4×8+4×6=4× 8+6 - 9 5+2 =9×5+9×2 5 𝑥+2 = 5×𝑥+5×2 Remarque : La formule existe aussi avec un signe « - » à la place du signe « + » k × (a - b) = k × a - k × b Vocabulaire : - Lorsque l’on transforme un produit en une somme ou une différence, on dit que l’on développe le produit. - Lorsque l’on transforme une somme ou une différence en un produit, on dit que l’on factorise la somme ou la différence. Exemple : On développe 12 × 10 + 3 pour obtenir 12 × 10 + 12 × 3. On factorise 4 × 𝑥 + 4 × 6 pour obtenir 4 × (𝑥 + 6). Remarque : On peut parfois factoriser pour réduire une expression littérale. Exemples : 3𝑥 + 5𝑥 = 3 × 𝑥 + 5 × 𝑥 = 3 + 5 × 𝑥 = 8 × 𝑥 = 8𝑥 𝑥 est un facteur commun aux deux termes.
