NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS I Diviseurs et multiples 1

NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
I Diviseurs et multiples
1) Définition a, b, d et q sont des nombres entiers.
On dit que le nombre d divise le nombre a lorsque le reste de la division euclidienne de a par d est nul. Le
nombre d est un diviseur du nombre a.
Dans ce cas : il existe un nombre q tel que a = d × q.
Lorsque d divise a, on dit que a est divisible par d ou encore que a est un multiple de d.
Exemple: 7 divise 21 ou bien 21 est un multiple de 7.
Ou bien 21 est divisible par 7 ou bien 7 est un diviseur de 21.
2) Définition:
On dit que le nombre entier d est un diviseur commun à deux nombres entiers a et b lorsque d divise a et b en
même temps.
Exemples: 3 est un diviseur commun à 15 et 12.
1 est toujours un diviseur commun à deux entiers.
4 n’est pas un diviseur commun à 28 et 10.
II Plus grand diviseur commun
1) Définition :
Parmi les diviseurs communs à deux nombres entiers a et b, il en existe un plus grand que tous les autres. On
l'appelle le plus grand diviseur commun aux nombres a et b.
On le note PGCD (a ; b).
Exemple: les diviseurs de 8 sont : 1, 2, 4 et 8.
Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
Les diviseurs communs à 8 et 12 sont 1, 2 et 4.
Donc PGCD (8; 12) = 4
2) Définition:
On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemple : 8 et 35 sont premiers entre eux.
3) Propriété
Si a et b sont deux nombres entiers (a > b) et r est le reste de la division euclidienne de a par b alors
PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r).
Euclide est un mathématicien grec du troisième siècle avant JC, son œuvre monumentale comprend les 13 volumes de ses Eléments.
C’est dans le livre VII que l’on trouve une théorie du PGCD.
Définition un algorithme est un ensemble de règles de calculs permettant de résoudre un problème en un nombre fini d’opérations.
Le terme algorithme provient du nom du mathématicien arabo-persan : Al-Khawarizmi du IX siècle.
4) Algorithme d'Euclide
L’algorithme d’Euclide permet de calculer le PGCD (a ; b), il s’appuie sur l’égalité vue au paragraphe 3.
On suppose a > b. L’algorithme est le suivant :
(1) Diviser a par b ; obtenir le reste r.
(2) Si r = 0, alors l’algorithme se termine et PGCD (a ; b) = b.
(3) Si r ≠ 0, remplacer a par b et b par r, et recommence à partir de (1).
Exemple : calculons le PGCD (391 ; 170)
Etapes
a
b
1
391
170
reste
3
9
1
1
7
0
− 3 4 0
5
1
1
7
0
− 1
5
3
1
7
5
1
3
2
5
1
− 5
1
0
1
7
3
D’après l’algorithme d’Euclide, PGCD (391 ; 170) = 17
III Fractions irréductibles.
1) Définition : une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Exemples :
La fraction
La fraction
!
!"
!
!"
est irréductible car 9 et 13 sont premiers entre eux.
n’est pas irréductible car PGCD (4 ; 10) = 2.
2) Propriété
Lorsque l’on simplifie une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur, on obtient une
fraction irréductible.
391 391 : 17 23
=
=
car on a vu que PGCD (391 ; 170) = 17.
170 170 : 17 10
Exemple :
IV Le point sur les nombres
1) Nombres rationnels
a) Définition
Un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers (le diviseur est non nul)
Le nombre
75
4,3
4,3
43
est un nombre rationnel. De même
est un nombre rationnel car
=
19
372
372
3720
b) Propriétés
Si un nombre est entier alors il est rationnel.
Si un nombre est décimal alors il est rationnel.
Exemples :
5892 et 12,587 sont rationnels car 5892 =
!"#$
!
et 12,587 =
2) Nombres irrationnels
Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel.
Par exemple π et
2 sont irrationnels.
!"#$%
!"""