UE4-Arithmétique élémentaire

Arithmétique élémentaire
Exercice 1
Quel est le plus petit nombre entier positif obtenu en poursuivant de la même manière cette suite de
soustractions ?
4937 4918 4899
- 19 - 19 - 19 etc.…
4918 4899 4880
Exercice 2 (G3-2009-1)
1. On décompte de 4 en 4 à partir de 61 tant qu’on obtient un entier naturel : « 61, 57, 53,… ».
a) Quel nombre termine cette liste ?
On décompte maintenant de 4 en 4 tant qu’on obtient un entier naturel, mais à partir de 9 843 :
b) Quel nombre termine cette nouvelle liste ? Justifier la réponse.
c) Combien comporte-t-elle de termes ?
d) Quel est le 100e terme ?
2. En utilisant uniquement l’information 16 135 407 = (4 548 x 3 547) + 3 651,
a) donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 16 135 407 par 4 548.
b) donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 16 135 407 par 3 547.
3. On sait que :
1 000 000 = (1 996 x 501) + 4
100 000 = (1 996 x 50) + 200
10 000 = (1 996 x 5) + 20
Utiliser ces relations pour déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de 8 640 219 par
1 996.
Exercice 3
Aujourd’hui nous sommes vendredi. Quel jour serons-nous dans 300 jours ?
Exercice 4
Dans l'ensemble de l'exercice, on considère les nombres entiers naturels D et q tels que: D < 4500 et
q = 82.
1. La division euclidienne du nombre D par le nombre d fournit le quotient q = 82 et le reste r = 45.
Rechercher, en justifiant la réponse, l'ensemble des couples (D, d) qui répondent à la question.
2. Même question avec r = 112
3. Discuter, selon les valeurs du reste r, l'existence de solutions.
4. Peut-on déterminer des naturels de deux chiffres qui, divisés par 37, donnent un quotient égal au
reste? Justifier votre réponse.
Exercice 5
Sachant que 3431 = 71 x 48 + 23, trouver sans poser la division, le quotient et le reste des divisions
euclidiennes de :
3453 par 71 ; 3481 par 71 et 3376 par 71
Exercice 6
Effectuer les divisions euclidienne de 100,1000 et 10000 par 9 .Que remarquez – vous ?
Quel est le reste de la division de 10n par 9, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 1 ?
Exercice 7
Un éditeur doit envoyer un stock de livres tous identiques à un libraire. Pour cela, il les groupe dans
des cartons contenant exactement 54 livres. Tous les cartons sont pleins et il ne reste pas de livre. Le
stock de livres contient au moins 1 500 livres mais pas plus de 1 800.
1) Quel est le nombre de livres composant le stock ?
2) Le nombre de cartons étant trop important, l’éditeur décide de ranger les livres dans des cartons de
taille plus grande. Il remplit alors 15 cartons avec le même nombre de livres et tous les livres sont
rangés. Quel est le nombre de livres que contient chaque carton ?
Multiples et diviseurs, critères de divisibilité, nombres premiers
Exercice 1
Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
1. Tout nombre multiple de 3 est multiple de 9.
2. Un nombre divisible par 4 est divisible par 2
3. Un nombre divisible par 2 est divisible par 4
4. Tout nombre multiple de 12 est divisible par 4.
5. Tous les nombres premiers sont impairs.
6. La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.
Exercice 2
Existe-t-il un entier naturel qui soit multiple de 5 sans être multiple de 10 ? Existe-t-il un entier naturel
qui soit multiple de 10 sans être multiple de 5 ?
Pourquoi peut-on être sûr que 282828 est un multiple de 7 ?
Trouver tous les entiers naturels qui ont 56 pour multiple.
Existe-t-il un entier naturel qui soit diviseur de 48 sans être diviseur de 12 ? Existe-t-il un entier naturel
qui soit diviseur de 12 sans être diviseur de 48 ?
Exercice 3
A, B, C, D, sont des nombres entiers naturels écrits dans notre système de numération décimale (a
désigne donc un chiffre) :
A = 10a4 B = 31a C = a6324 D = a56aa
Pour chacun des nombres A, B, C, D remplacez le chiffre a par différentes valeurs quand cela est
possible de telle sorte que le nombre correspondant soit divisible par 9. Quelle hypothèse peut-on
alors faire sur la condition pour qu'un nombre soit divisible par 9.
Exercice 4
Dans un tableau des nombres naturels de trois chiffres (de 100 à 999), on a effacé tous les nombres
divisibles par 10, tous les nombres divisibles par 5 et tous les nombres divisibles par 11. Combien de
nombres reste-t-il dans le tableau?
Exercice 5
Trouver un nombre s'écrivant avec six chiffres tel que:
- il soit divisible par 3 ;
- si on le lit de gauche à droite, chaque chiffre est plus grand que celui qui le précède;
- les deux premiers chiffres, le troisième et le quatrième, le cinquième et le sixième forment trois
nombres premiers.
Exercice 6 : (Besançon 2004-1)
a) Parmi les nombres suivants, quels sont les multiples de 5 ?
2
0
6
-1
6
1025 ; 3,6 x 10 ; 312 x 10 ; 0 x 10 ; 40120 x 10 ; 19 x 10
b) Soient les nombres A et B tels que :
4
3
A = 2 x 3 x 3 x 15 et B = 30
Quelles sont les puissances de 3 qui divisent A ?
Quelles sont les puissances de 3 qui divisent B ?
Exercice 7(G3 2007-1)
Toutes les réponses seront justifiées.
1. Donner les restes des divisions par 6 et par 3 de chacune des trois sommes suivantes :
5 + 7 + 9 15 + 17 + 19 1527 + 1529 + 1531
2. Plus généralement :
a) Donner le reste de la division par 6 de la somme de trois nombres impairs consécutifs.
b) Donner le reste de la division par 3 de la somme de trois nombres impairs consécutifs.
3. Trouver trois nombres impairs consécutifs dont la somme est 12 027.
4. On cherche un nombre p tel que la somme de p nombres entiers impairs consécutifs soit toujours
un multiple de 5.
Déterminer la plus petite valeur possible de p.
Exercice 8
Un marchand de jouets a 1 820 billes qu'il veut répartir en nombre égal dans des sacs. Chaque sac
doit contenir au moins 20 billes et au plus 150 billes. Quelles sont les différentes possibilités ?
Exercice 9
Une colonie de vacances qui accueille un nombre d'enfants inférieur ou égal à cent enfants, organise
une course d'orientation par équipe. Chaque équipe est constituée d'au moins deux enfants.
Il doit y avoir le même nombre d'enfants par équipe.
Si on les groupe par trois, il en restera deux.
Si on les groupe par quatre, il en restera un.
Si on les groupe par cinq, il en restera encore deux.
Finalement, après quelques essais, les moniteurs réussissent à constituer les équipes.
1. Quel est le nombre d'enfants accueillis dans cette colonie de vacances?
2. Combien d'équipes sont-elles ainsi formées?
Exercice 10(Grenoble 2002-4)
Un supermarché reçoit une livraison de bouteilles. Si l'on compte les bouteilles par 3,5 ou 7, il en reste
toujours 2. Sachant que le nombre de bouteilles livrées est compris entre 1 500 et 1 600, combien de
bouteilles le supermarché a-t-il reçues ?
Exercice 11 : (Guadeloupe 2004-1)
1) On considère un nombre qui s'écrit en base 10 :
∆5∆5∆5∆5∆5∆
Quelle valeur donner à ∆ pour que la somme des chiffres de ce nombre soit un multiple de 7 ?
2) Un nombre s'écrit en base 10 sous forme: E97F
a) Donner tous les couples de valeurs possibles pour E et F sachant que la somme des chiffres de ce
nombre est égale à 29.
b) On ajoute les deux conditions suivantes :
· Le produit des chiffres de ce nombre est égal à 2268.
· 7 divise le nombre EF
Quelles sont alors les valeurs respectives de E et F ?
Exercice 12 (Grenoble 2002-1)
Un entier naturel n est divisible par 11 si et seulement si la différence :
(1er chiffre en partant de la droite + 3ème chiffre + 5ème chiffre + …) - (2ème chiffre en partant de la
droite + 4ème chiffre + 6ème chiffre + …) est divisible par 11
(Ou la somme des chiffres de rang impair diminuée de la somme des chiffres de rang pair est divisible
par 11).
Exemples :
6457 est divisible par 11 ; en effet : (7 + 4) - (5 + 6) = 0 ;
19 346 701 est divisible par 11 ; on a : (1 + 7 + 4 + 9) - (0 + 6 + 3 + 1) = 11 ;
1 919 192 est divisible par 11 ; on a : (2 + 1 + 1 + 1) - (9 + 9 + 9) = - 22 ;
987 654 321 n'est pas divisible par 11 ; car : (1 + 3 + 5 + 7 + 9) - (2 + 4 + 6 + 8) = 5.
1- On considère tous les nombres entiers naturels de quatre chiffres différents écrits avec les chiffres
2, 5, 6 et 9.
a) Parmi ces nombres déterminez-en un qui est divisible par 11.
b) Parmi ces nombres déterminez tous les nombres qui sont divisibles par 11.
Écrivez les.
2- On considère tous les nombres entiers naturels de six chiffres différents écrits avec les chiffres 1, 2,
3, 4, 5 et 6.
Parmi ces nombres, existe-t-il un nombre qui est divisible par 11 ? Justifiez votre réponse.
Exercice 13
Un critère de divisibilité par 4 est le suivant : « soit n un nombre entier naturel ayant au moins deux
chiffres. n est divisible par 4 si et seulement si le nombre composé de ses deux derniers chiffres est
divisible par 4 ».
1. Le nombre 123 412 893 135 552 est-il divisible par 4 ?
2. L’objet de cette question est de démontrer le critère.
On considère un nombre entier naturel n ayant au moins deux chiffres.
a) Justifier que l’on peut écrire n sous la forme n =100q + r, où q et r sont des nombres entiers
naturels et 0 ≤ r <100.
b) Démontrer que si r est divisible par 4, alors n est divisible par 4.
c) Démontrer que si n est divisible par 4, alors r est divisible par 4.
d) En déduire une démonstration du critère de divisibilité par 4.
3. a) Quel peut être un critère de divisibilité par 8 pour les nombres entiers naturels ayant au moins
trois chiffres ? Justifier brièvement.
b) Le nombre 123 412 893 135 552 est-il divisible par 8 ?
4. a) En généralisant, quel critère de divisibilité concernant les nombres entiers naturels ayant au
moins p chiffres (p ≥1) peut-on formuler ? Démontrer.
b) Quelle est la plus grande puissance de 2 qui divise le nombre 123 412 893 135 552 ?
Exercice 14
1. Écrire l’égalité caractéristique traduisant la division euclidienne de 1001 par 11.
2. Soit
un nombre à 4 chiffres écrit en base dix. Vérifier que :
= 1001 × m + 99 × c + 11 × d – m + c – d + u.
3. a) À partir de la question précédente, énoncer et démontrer un critère de divisibilité par 11 pour les nombres
inférieurs à 9999 (condition nécessaire et suffisante).
b) Utiliser ce critère pour trouver trois nombres de quatre chiffres multiples de 11 ayant 38 centaines.
4. a) Montrer que le critère de la question précédente s’applique aussi aux nombres à 6 chiffres qu’on
notera
.
11
b) Utiliser alors ce critère pour déterminer si le nombre 1,2452 × 10 est divisible par 11.Justifier la réponse.
Exercice 15(Guadeloupe 2000-1)
Le sol d'une salle est un rectangle dont les dimensions sont proportionnelles aux nombres 6 et 7. Ce
sol a été recouvert avec des carreaux de grès émaillé de forme carrée en respectant les conditions
suivantes:
· (Cl) on n'a utilisé qu'une seule sorte de carreaux (même matériau, même décor et même dimension);
· (C2) on a placé un nombre entier de carreaux dans chacune des dimensions (autrement dit: on n'a
pas fractionné les carreaux).
Le carreleur a utilisé 2688 carreaux dont la mesure du côté est égale à 19 cm.
Quelles sont les mesures des longueurs des côtés de la salle ?
Exercice 16(Amiens 2002-1)
Soit N = mcdu un nombre entier naturel écrit en base dix pour lequel m>c>d>u>0.
1) Quel est le plus petit nombre N possible ?
2) Quel est le plus grand nombre N possible ?
3) Dressez la liste des nombres N pour lesquels le chiffre des milliers est 6.
On appelle N' le nombre entier obtenu à partir de N en permutant le chiffre des unités avec celui des
unités de mille et le chiffre des centaines avec celui des dizaines.
On appelle D le nombre obtenu en faisant la différence N-N'.
4) Exprimez D en fonction de m, c, d et u.
5) Montrez que D est un multiple de 9.
6) Quelle est la valeur maximum de D ? Pour quelle(s) valeur(s) de N, D est-il maximum ?
7) Quelle est la valeur minimum de D ? Pour quelle(s) valeur(s) de N, D est-il minimum ?
PPCM, PGCD - Nombres premiers entre eux
Exercice 1 (Exo06_15ec)
1. Montrez que 139 est un nombre premier.
2. Calculer le PGCD et le PPCM des nombres suivants A = 23352 et B = 19460
3. Calculer le nombre de leurs diviseurs communs et en donner la liste ordonnée par ordre croissant
Le PGCD de deux nombres est 18. Leur PPCM est 648. Quels sont ces deux nombres?
Exercice 2
Trouver le PPCM et le PGCD des nombres 53 x 3 x 11 et 22 x 52 x 33.
Calculer le produit des deux nombres et le produit du PGCD et du PPCM.
Que constate-t-on?
Exercice 3
1. Montrer que 825 et 686 sont premiers entre eux. Montrer que leur somme et leur produit sont
premiers entre eux.
2. Peut-on généraliser la propriété à tous les nombres premiers entre eux?
Exercice 4
Une caisse à paroi rectangulaire a pour dimensions en cm 180,150 et 90. On veut fabriquer des
boîtes cubiques aussi grandes que possible dont l'arête est mesurée par un nombre entier de
centimètres et avec lesquelles on se propose de remplir la caisse.
Calculer le nombre de ces boîtes.
Exercice 5
Un boulanger décide de faire des paquets contenant le même nombre de friandises sans qu’il reste de
paquet incomplet. Mais cela s’avère impossible sauf à mettre une seule friandise dans chaque paquet.
Trouvez le nombre de friandises, sachant qu’il est compris entre 830 et 840.
Exercice 6
Avec 476 pièces carrées toutes identiques, quels sont les différents rectangles que l’on peut
construire ?
Exercice 7
On veut paver un rectangle avec des dalles carrées toutes exactement superposables, les plus
grandes possibles, et de dimensions entières (en cm). Combien devra mesurer la longueur du côté de
chaque dalle ?
1) Dans le cas où le rectangle a pour dimensions 175 cm sur 315 cm
2) Dans le cas où le rectangle a pour dimensions 176 cm sur 315 cm
Exercice 8
Bruno a plusieurs cubes de 72 mm d'arêtes. Léo en a d'autres de 90 mm d'arêtes. Chacun veut, en
superposant ses cubes, réaliser une tour exactement aussi haute que l'autre, mais la moins haute
possible. Quelle est la hauteur de cette tour ?
Vrai-faux : justifier
Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes en justifiant les réponses.
2
1) Si a est un nombre entier pair alors a est aussi un nombre entier pair.
2) a et q sont deux nombres entiers naturels.
L'égalité a = 13q + 18 montre que q est le quotient euclidien de a par 13.
3) Si le nombre à quatre chiffres 8b76 est un multiple de trois alors le nombre b est un multiple de 3.
4) Le produit de trois nombres consécutifs dont le premier est pair est divisible par 24.
affirmation
1
2
3
4
5
Soit un nombre entier
Vrai ou faux
(a centaines, b dizaines et c
unités), si
est divisible par 99, alors :a+b+c est
multiple de 9 et a-b+c est multiple de 11.
La somme de trois nombres entiers consécutifs est
toujours divisible par 3
Un nombre divisible par 6 et par 8 est divisible par 48
Les nombres 252 et 715 sont premiers entre eux
Soit a, b, c trois entiers compris entre 0 et 9. On peut
affirmer que les nombres qui s’écrivent
base dix sont des multiples de 13
en
justification