CHAPITRE 14 : ARITHMETIQUE
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CHAPITRE 14 : ARITHMETIQUE I) LES DIFFERENTES TYPES DE NOMBRES. On distingue cinq types de nombres : • Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers positifs : 0;1;2;3;4;5… • Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs : …-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5… • Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 22 - 3,57 ; ; 7,54 × 10-3 sont des nombres décimaux. 1 000 • Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme avec a et b entiers relatifs, b ≠ 0 : - • 2 22 ; ; 0,7 sont des nombres rationnels. 3 9 Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels. π; 2 sont des nombres irrationnels. Exemples : nombres nombres nombres nombres entiers naturels décimaux rationnels irrationnels Les nombres entiers naturels sont des nombres décimaux. Les nombres décimaux sont des nombres rationnels. Attention ! Les nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux. a b II) VOCABULAIRE DE L’ARITHMETIQUE. 1) Multiples. Les multiples d’un entier naturel a sont les nombres de la forme a × n où n est un entier naturel. Exemple : 28 = 7 × 4 et 91 = 7 × 13 ; 28 et 91 sont des multiples de 7. Remarque : La liste des multiples d'un nombre non nul quelconque est toujours illimitée. Par exemple, les multiples de 6 sont : 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 ; 60 ; 66 ; 72 ; 78 ; 84 ; 90 ; 96 ; 102 ; … On les obtient en multipliant 6 par tous les entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …). 2) Diviseurs. a et b étant deux entiers naturels avec b non nul. Lorsqu’il existe un nombre entier naturel n non nul tel que a = b×n, on dit que b est un diviseur de a. Exemple : 32 = 4 × 8 ; 8 est un diviseur de 32 ou encore 32 est divisible par 8. Remarques : • 1 est un diviseur de tous les nombres. • Tout nombre entier naturel non nul est un diviseur de 0. • Si b est diviseur de a, alors a est multiple de b. 3) Nombres premiers. On dit qu’un nombre entier naturel est premier lorsqu’il possède exactement deux diviseurs différents : 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sont des nombres premiers. Remarque : 1 n’est pas un nombre premier car 1 n’admet qu’un seul diviseur égal à 1. 4) Division euclidienne. La division euclidienne de l’entier a par l’entier b ( b ≠ 0 ) est l’opération qui permet de calculer le quotient entier q et le reste r tels que : a = bq + r ; 0 ≤ r < b. Exemple : 254 44 2 7 36 254 = 36 × 7 + 2 Dans la division euclidienne de 254 par 7, le quotient est 36 et le reste est 2. II) DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS NATURELS. a et b désignent deux nombres entiers naturels non nuls. 1) Diviseur commun. Définition : Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b. Exemple : diviseurs communs à 30 et 24. Les diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30. Les diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24. Les diviseurs communs à 30 et 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6. Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres entiers. 2) Plus grand commun diviseur. a) Propriété : Parmi tous les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est plus grand que les autres. On l’appelle le Plus Grand Commun Diviseur ; on le note PGCD ( a ; b ). Exemple : PGCD ( 30 ; 24 ) = 6. b) Recherche du PGCD : l’algorithme d’Euclide. Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec a > b), alors PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r ). Pour calculer le PGCD de a et b (avec a > b ), on utilise la séquence ordonnée d’opérations décrites ci-dessous : Etape 1 : on effectue la division euclidienne de a par b. Etape 2 : on examine le reste r de cette division : - si r = 0, alors l’algorithme s’arrête et PGCD ( a ; b ) = b ; - si r ≠ 0, alors on recommence l’étape 1 en remplaçant a par b et b par r. Exemple : calcul du PGCD ( 1 078 ; 322 ). 1078 = 322 x 3 + 112 322 = 112 x 2 + 98 112 = 98 x 1 + 14 98 = 14 x 7 + 0 112 < 322 98< 112 14 < 98 0 < 14 L’algorithme s’arrête lorsqu’on trouve un reste nul. Le PGCD de 1078 et 322 est le dernier reste non nul trouvé. Donc : PGCD ( 1 078 ; 322 ) = 14. 3) Nombres premiers entre eux. Définition : Lorsque PGCD ( a ; b ) = 1, on dit que les nombres a et b sont premiers entre eux. Exemple : diviseurs de 7 : 1 ; 7. PGCD ( 7 ; 12 ) = 1 ; diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12. donc 7 et 12 sont premiers entre eux. IV) FRACTIONS IRREDUCTIBLES. a et b désignent deux entiers naturels tel que b ≠ 0. 1) Définition. a La fraction est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux. b 7 Exemple : La fraction est irréductible. En effet : PGCD ( 7 ; 13 ) = 1. 13 2) Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Propriété : En simplifiant la fraction a b par le PGCD ( a ; b ), on obtient une fraction irréductible. Remarque : Avant de calculer le PGCD, il est souvent préférable de simplifier la fraction à l’aide de critères de divisibilité. Exemples : Rendre irréductibles 2 470 30 et . 3230 18 • 30 6 × 5 5 = = ; 18 6 × 3 3 • 2 470 247 = 3230 323 323 = 247 x 1 + 76 247 = 76 x 3 + 19 76 = 19 x 4 + 0 et déterminons le PGCD ( 247 ; 323 ). 76 < 247 19 < 76 0 < 19 Le PGCD de 247 et 323 est le dernier reste non nul trouvé. Donc : PGCD ( 247 ; 323 ) = 19. D’où 247 247 : 19 13 = = . 323 323 : 19 17
