Lyc´ee Thiers - MPSI-3

Lycée Thiers
TP PYTHON - 12
« Je pense que, si en ouvrant un dictionnaire au hasard, on tombait sur le mot hasard, ce serait un
miracle, alors que si on tombait sur le mot miracle, ce serait un hasard. »
H. Le Tellier, Les amnésiques n’ont rien vécu d’inoubliable.
1. Expérience aléatoire, modélisation
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont l’ensemble des résultats est défini et connu à
priori sans qu’il soit possible, avant sa réalisation, de savoir quel résultat on va obtenir.
En général, on suppose aussi que l’on peut reproduire cette expérience autant de fois que l’on veut.
Pour étudier cette expérience aléatoire, on définit un ensemble d’objets mathématiques plus ou moins
simples. On appelle modèle probabiliste ou espace probabilisé associé à l’expérience, un tel ensemble.
Bien entendu, il n’y a pas unicité du modèle et plusieurs modèles peuvent donner des résultats
différents sans qu’il soit toujours possible de dire lequel est le meilleur.
Le problème provient essentiellement du fait que la description de l’expérience se fait dans le langage
courant dont les termes peuvent être interprétés mathématiquement de plusieurs manières. C’est
cette situation qui crée ce que l’on appelle à tort, un paradoxe (voir annexe).
Pour définir un modèle, lorsque l’ensemble des résultats comporte r éléments, on définit Ω =
{ω1 , ..., ωr } qui représente cet ensemble de résultats.
On utilise aussi la fréquence supposée ou observée pi d’obtention du résultat ωi à la suite d’un grand
nombre de réalisations de l’expérience.
On est alors en mesure de définir un espace probabilisé qui modélise cette expérience.
2. Espace probabilisé, variable aléatoire
On considère un ensemble fini Ω = {ω1 , ..., ωr } contenant r éléments. Ω s’appelle l’univers et les ωi
sont les épreuves ( ou résultats).
Les parties de Ω sont alors appelées les événements.
On appelle probabilité sur Ω, une application P qui à tout événement associe un nombre réel appartenant à [0, 1] et vérifiant :
– P(Ω) = 1 ;
– Si A et B sont des événements disjoints P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Lorsque l’on a défini une probabilité P sur Ω, on dit que (Ω, P) est un espace probabilisé.
Pour connaître parfaitement une probabilité sur Ω, il suffit de connaître les P({ωi }) pour i ∈ [[1, r]]. Si
r
X
l’on pose pi = P({ωi }) alors
pi = 1.
i=1
1
La plus courante des probabilités sur Ω est l’équiprobabillité définie par, pour tout i, P({ωi }) = .
r
Expérimentalement, tous les résultats ont la même fréquence d’apparition.
Si X est une application de Ω dans R, on dit que X est une variable aléatoire réelle.
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Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω) = {x1 , ..., xs }, c’est à dire que x1 , ..., xs sont les différentes
valeurs prisent par X sur Ω.
Si B est un sous ensemble de X(Ω), on pose PX (B) = P(X−1 (B)) où X−1 (B) désigne l’ensemble des
éléments de Ω dont l’image par X appartient à B.
PX définit une probabilité sur X(Ω) appelée loi de probabilité de X. Elle est déterminée par la
s
X
connaissance des PX ({xi }) que l’on note P(X = xi ). En particulier
P(X = xi ) = 1.
i=1
On définit aussi l’espérance mathématique de X,
s
X
xi P(X = xi ), c’est à dire la moyenne des valeurs
i=1
prises par X pondérées par les probabilités associées à chacune de ces valeurs. On la note E(X).
3. Simulation d’expérience aléatoire, estimation de probabilités, d’espérances
L’utilisation d’un langage de programmation en probabilité comporte deux aspects. Bien entendu,
le calcul de probabilités obtenues mathématiquent mais aussi la simulation d’expériences aléatoires
et donc d’espaces probabilisés pour obtenir des estimations de valeurs probabilistes. C’est l’objet de
cette section.
Les tirages de boules dans des urnes offrent un nombre infini d’expériences aléatoires. Voyons deux
exemples dans cette section puis un troisième dans la section 5.
[Qu. 1] Dans cette question on suppose que l’on dispose d’une urne contenant n boules identiques
au toucher, boules numérotées de 1 à n. On effectue une suite de k tirages avec remise d’une boule
dans cette urne en notant le numéro obtenu à l’issue de chaque tirage.
1) Quel ensemble Ω peut-on choisir pour représenter l’ensemble des résultats de cette expérience ?
Quel valeur prendre pour pi = P({ωi }) pour définir un espace probabilisé qui modélise cette
expérience ?
2) Ecrire une fonction omega(n,k) qui réalise la simulation de cette expérience et renvoie la liste des
numéros obtenus dans l’ordre d’obtention de ceux-ci. On rappelle que dans le module random, on
dispose de la fonction randint(a,b) qui renvoie un nombre choisi au hasard entre a et b inclus.
3) On suppose dans cette question que k = n et on s’intéresse à l’événement Dn : « Le numéro de la
boule tirée et le rang du tirage sont toujours distincts ».
3.a) n = 100. Estimer la probabilité de D100 en réalisant un grand nombre de simulations de
l’expérience aléatoire étudiée.
n
3.b) Démontrer que P(Dn ) = 1 − n1 et déterminer la limite de cette probabilité lorsque n → +∞.
[Qu. 2] On conserve cette urne mais on effectue des tirages sans remise. Donc forcément k ≤ n.
1) Quel ensemble Ω peut-on choisir pour représenter l’ensemble des résultats de cette expérience ?
Quel valeur prendre pour pi = P({ωi }) pour définir un espace probabilisé qui modélise cette
expérience ?
2) Pour simuler cette expérience, on procéde ainsi :
– On se donne une liste dont les valeurs sont 1, ..., n.
– On génére au hasard un indice i0 compris entre 0 et n − 1, on permute alors les éléments 0 et i0
de la liste.
– Si k ≥ 2, on génére un indice i1 compris entre 1 et n − 1 et on permute alors les éléments 1 et i1
de la liste.
– On itère ce procédé jusqu’à un indice ik−1 compris entre k − 1 et n − 1 et on permute alors les
éléments k − 1 et ik−1 de la liste.
– On renvoie alors la liste des k premières composantes de la liste obtenue.
Ecrire une fonction omega(n,k) qui réalise la simulation de cette expérience et renvoie la liste des
numéros obtenus dans l’ordre d’obtention de ceux-ci.
3) On suppose que k = n = 100. Même question que pour Qu.1 3.a). Que remarquez-vous ?
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4. Un jeu et les lois de Gibbs
On organise un jeu.
Un individu participant à ce jeu a la possibilité de gagner xi euros, i variant de 1 à n avec 0 ≤ x1 <
x2 < ... < xn .
Pour participer à ce jeu, il faut acheter un billet dont le prix est fixé à a euros.
Ces billets sont fabriqués par une machine que l’on peut régler pour qu’elle fabrique un billet permettant de gagner xi euros avec la probabilité pi , non nulle.
On suppose que le coût de fabrication et de distribution d’un billet est de b euros et on souhaite
réaliser un bénéfice moyen de b euros par billet.
On note X la variable aléatoire égale à la somme gagnée par un joueur qui achète un billet (on ne tient
pas compte du prix du billet).
[Qu. 3]
1) En admettant que l’espérance est linéaire, exprimer E(X) en fonction de a et b. En déduire que
nécessairement x1 + 2b < a < xn + 2b.
2) Pour tout t ∈ R et i ∈ [[1, n]], on pose pi =
etxi
.
n
P
etxk
k=1
2.a) Exprimer E(X) sous la forme f (t) où f est une fonction définie et continue sur R.
2.b) Montrer que pour tout a tel que x1 < a − 2b < xn , il existe t tel que f (t) = a − 2b.
3) Ecrire une fonction Python, listeDesPi(t,*x) qui retourne la liste des pi , définie dans la question
2), lorsque les composantes de la liste x valent x1 , ..., xn .
4) Ecrire une fonction Python, fonctionDe(*x), qui retourne la fonction f si x est un tuple représentant les xi .
5) Ecrire une fonction Python, solution(f,y,e), qui retourne une valeur approchée à e près d’une
solution de f (x) = y lorsque f est une fonction définie et continue sur R telle que, lim f (x) = α,
x→−∞
lim f (x) = β et α < y < β.
x→+∞
On pourra dans un premier temps déterminer s’il existe une solution sur [0, +∞[ ou sur ] − ∞, 0]
en comparant f (0) à y, puis suivant le cas, déterminer le plus petit entier k tel que f (2k − 1) ≤ y ≤
f (2k+1 − 1) ou tel que f (−2k+1 + 1) ≤ y ≤ f (−2k + 1).
Ensuite, on appliquera l’algorithme de dichotomie sur le segment ainsi déterminé.
6) Vérifier que pour n = 5, b = 0, 1, a = 10, x1 = 1, x2 = 3, x3 = 9, x4 = 20, x5 = 80, on obtient
p1 ≈ 28, 4%, p2 ≈ 27%, p3 ≈ 23, 2%, p4 ≈ 17, 6% et p5 ≈ 3, 9%.
5. Inférence Bayésienne
Si A et B sont deux événements, B de probabilité non nulle, on note PB (A) le quotient
P(A∩B)
P(B) .
On appelle probabilité de A sachant B ce quotient.
On peut alors établir la formule des probabilités totales. Si B1 , ..., Bn sont des événements de probabilité
non nulle, disjoints et dont la réunion vaut Ω, on dit que B1 , ..., Bn forment un système complet
d’événements et on a alors :
n
X
P(A) =
PBk (A)P(Bk )
k=1
[Qu. 4] On dispose de n urnes, U1 , ..., Un , contenant chacune n boules identiques au toucher. On
suppose que l’urne Uk contient k boules blanches et n − k boules noires.
On considère l’expérience aléatoire suivante : on choisit une de ces urnes et on réalise a tirages d’une
boule avec remise dans cette urne en notant la couleur de la boule tirée à l’issue de chaque tirage.
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On suppose que l’on a défini un espace probabilisé qui modélise cette expérience.
On note Xn et Nn , les variables aléatoires sur cet espace égales respectivement, au nombre de boules
blanches tirées et au numéro de l’urne choisie.
1
On a donc, pour tout k ∈ [[1, n]], P(Nn = k) = .
n
On remarque aussi que les événements, (Nn = 1), ..., (Nn = n) forment un système complet d’événements.
1) Ecrire une fonction omega(n,a) qui simule cette expérience et renvoie le numéro de l’urne choisie
et la liste des couleurs obtenues dans l’ordre des tirages.
2) Ecrire une fonction nbBlanches(n,a) qui simule l’expérience et renvoie le nombre de tirages
ayant donné une boule blanche.
3) Ecrire une fonction loiDeX(n,a,m) qui en appelant m fois la fonction précédente détermine, pour
tout i ∈ [[0, a]], la proportion du nombre de fois où cette fonction a renvoyé i. En testant votre
fonction pour n = 10000, a = 9 et m = 5000, que pouvez-vous conjecturer ?
4) Soit i ∈ [[0, a]]. En faisant appel à vos souvenirs de terminale, montrer que :
!a−i
!i
k
k
a
1−
P(Nn =k) (Xn = i) = i
n
n
En déduire, en utilisant la formule des probabilités totales, que :
 n
!i
!a−i 
 X
1
k
k


a

P(Xn = i) = i 
1−

n
n
n
k=1
1
Établir lim P(Xn = i) =
.
n→+∞
a+1
5) On pose Rn = Nnn . Rn représente la proportion de boules blanches de l’urne choisie.
On souhaite déduire des informations sur la valeur de Rn de la connaissance de la valeur Xn . C’est
ce que l’on appelle l’inférence bayésienne.
P(N =k)
5.a) Montrer que : P(Xn =i) (Nn = k) = P(Nn =k) (Xn = i) P(Xnn =i) puis que, pour tout x ∈ [0, 1] :
1
P(Xn =i) (Rn ≤ x) =
n
a
i
bnxc
P k=1
k i
1
n
−
k a−i
n
P(Xn = i)
5.b) On pose pour tout x ∈ [0, 1], fi,a (x) = xi (1 − x)a−i . Montrer qu’il existe un réel K tel que, pour
tout (x, y) ∈ [0, 1]2 , | fi,a (x) − fi,a (y)| ≤ K|x − y|.
En déduire que, pour tout x ∈ [0, 1] :
Z x
a
lim P(Xn =i) (Rn ≤ x) = (a + 1) i
ti (1 − t)a−i dt
n→+∞
0