Chapitre 08 : RACINES CARRÉES 6 cm La racine carrée est à l'origine de la découverte de l’irrationalité, mais contrairement à une idée répandue, rien n'assure que celle de 2 fut le premier nombre irrationnel connu. L'exemple de démonstrations par l'absurde choisi par Aristote, l'un des fondateurs de la logique, s'appuie sur l’irrationalité de 2 : « Ils prouvent que la diagonale du carré est incommensurable au côté en montrant que, si l'on admet qu'il lui est commensurable, un nombre impair serait égal à un pair. » Source : Wikipédia 6 cm I) Racine carrée d'un nombre positif : 1) Définition – Propriété : Racine carrée La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif, noté Le symbole √ est appelé « radical ». Que que soit le nombre positif a, √ a≥0 . √ a , dont le carré est a. Exemples : √ a est un nombre entier : √ 16 = 4 car 4² = 16 √ 25 = 5 car 5² = 25 √ 1 = 1 car 1² = 1 √ 0 = 0 car 0² = 0 1. Cas où • • • • 2. Cas où √ a non entier : • √ 0,09 4 • = 9 √ est un nombre rationnel 3. Cas ou irrationnel : = 0,3 car 0,3² = 0,09 • √2 2 • √7 2 2 4 car = • √ 10 3 3 9 √a est un nombre () Remarque : Dans le cas où la racine carré d'un nombre est un nombre irrationnel, sauf indication contraire de l'énoncé, on préférera garder la valeur exacte sous forme de racine carrée plutôt que dans donner une valeur approchée. 2) Propriétés : Quel que soit le nombre positif a, • ( √ a) ²=a • √ a ² =a Exercices : Calculer • • • √ 1 ; ( √3,6)2 ; √ 9 ; √(−5)2 ; √ 2×√ 2 et √ 1,3×1,3 1² = 1 et 1 est positif donc √ 1 = 1. 2 3,6 est positif donc ( √ 3,6) = 3,6. 3² = 9 et 3 est positif donc √ 9 = 3. • • • -5 est négatif donc √(−5)2 = √ 25 = √ 5 2 = 5. 2 est positif donc √ 2× √ 2 = √ 2 ² = 2. 1,3 est positif donc √ 1,3×1,3 = √ 1,3 2 = 1,3. 08. RACINES CARRÉES 1 3) Démonstrations : Soit a un nombre positif. ( √ a) ²=a : √ a ² =a : Par définition, √ a est le nombre positif dont le carré est a, Par définition, √ a ² est le nombre positif dont le carré est a². Or a est un nombre positif et son carré est a², donc √ a ² =a. c'est à dire ( √ a) ² = a 4) Définition : Carré parfait Un carré parfait est le carré d'un nombre entier. Exemples : Nombre entier 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Carré parfait correspondant 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 II) Produit et quotient de racines carrées : 1) Propriété : Produit de racine carrée Pour tous nombres positifs a et b, √ a×b=√ a×√ b Exercice : Ecrire le nombre √ 32 sous la forme a √ 32 = √ 16×2 √ b , où a et b sont deux nombres entiers positifs, b étant le plus petit possible. On fait apparaître le produit d'un carré parfait (le plus grand possible) par un entier. 2 = √ 4 ×2 = √ 4 2 ×√ 2 = 4×√ 2 = 4 √2 On décompose la racine carrée du produit puis on applique la définition de la racine carrée. 2) Démonstration : Soit a et b deux nombres positifs. √ a×b est le nombre positif dont le carré est a×b : √ a×b ² = a×b Or : 2 2 ( √ a× √ b) = ( √ a×√ b)×( √ a× √b ) = √ a× √ a×√ b×√ b = ( √ a) ²×( √ b) = a×b : donc √ a× √b est aussi le nombre positif de carré a×b 2 ( √ a× √ b) = a×b On en déduit, d'après l'unicité de la racine carrée, que : √ a×b = √ a× √b 08. RACINES CARRÉES 2 3) Propriété : Quotient de racines carrées Pour tous nombres positifs a et b avec b ≠ 0, a √a = b √b √ Exercices : Simplifier les nombre √ 36 25 √ 36 = √ 25 = √ 36 et 25 6 5 √ 0,56 . 0,08 √ √ √ √ 0,56 0,56 0,56×100 56 = = = = √7 0,08 0,08 0,08×100 √ 8 4) Démonstration : Soit a et b deux nombres positifs avec b ≠ 0. √ √ a a a a est le nombre positif dont le carré est : ( )²= b b b b Or : 2 √a √a √ a× √ a ( √ a) ² a a ( √ ) = ( )×( ) = = = : 2 b √b √ b √ b×√ b ( √b ) √b a √a donc est aussi le nombre positif de carré b √b 2 a a (√ ) = b √b On en déduit, d'après l'unicité de la racine carrée, que : a √a = b √b √ Remarque : Il N'y a PAS de relation de ce type pour l'addition et la soustraction : √ 16+9 = √ 25 = 5 √ 16 + √ 9 = 4 + 3 = 7 donc √16+9≠√ 16+√ 9 √ 225−144 = √ 81 = 9 √ 225 – √ 144 = 15 – 12 = 3 donc √ 225−144≠√ 225−√144 cependant, parfois, il est possible de réduire certaines sommes. 08. RACINES CARRÉES 3 III) Réduction de sommes : 1) Méthode : Réduction de sommes Pour simplifier une somme de racines carrées, il faut : • simplifier chaque racine carrée, • factoriser la somme avec les racines carrées identiques. Exercices : 1. Réduire la somme A = A = √5 – 2 √5 + 7 = (1 – 2 + 7) √ 5 = 6 √5 √5 – 2 √5 + 7 √5 √5 2. Ecrire B = 2 √ 72 – 7 petit possible. On remarque que √ 5 est un facteur commun au trois termes de la somme. On factorise par √ 5 . On réduit la somme. √ 18 sous la forme c √ d , où c et d sont deux entiers relatifs, d étant un entier naturel le plus B = 2 √ 36×2 – 7 √ 9×2 On décompose 72 et 18 pour faire apparaître le produit d'un carré parfait (le plus grand possible) par un même entier. On décompose la racine carrée de chacun des produits. On applique la définition de la racine carrée. On réduit la somme. On donne l'écriture demandée dans l'énoncé. = 2 √ 36× √ 2 – 7 √ 9×√ 2 = 2 ×6×√ 2 – 7 ×3×√ 2 = 12×√ 2 – 21×√ 2 = −9×√ 2 IV Résolution d'équation x² = a : 1) Propriétés : Réduction de sommes Pour tout nombre a, • Si a > 0 alors l'équation x² = a admet deux solutions : √ a ou • Si a = 0 alors l'équation x² = a admet une solution : 0. • Si a < 0 alors l'équation x² = a n'admet pas de solution. √−a . Exercices : Résoudre les équations a) x² = 3 b) x² = 36 c) x² = (– 9) d) 5 x² = 125 a) 3 > 0 donc les deux solutions de l'équation x² = 3 sont : – √ 3 ou √ 3 b) 36 > 0 donc les deux solutions de l'équation x² = 36 sont : – √ 36 ou √ 36 soit – 6 ou 6. c) – 9 est strictement négatif et x² positif donc x² = – 9 n'a pas de solution. 125 d) 5 x² = 125 soit x² = = 25 soit x² = 25. 5 25 > 0 donc les deux solutions de l'équation x² = 25 sont : – √ 25 ou √ 25 soit – 5 ou 5. 08. RACINES CARRÉES 4