Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Arithmétique Partie 2 : Arithmétique modulaire Laurent Debize Ingésup 1/52 Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 2/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Divisibilité – Division euclidienne Exemple La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ? Nombres premiers Crible d’Eratosthène Théorème fondamental Déterminer les diviseurs d’un nombre PGCD Trouver les diviseurs Utiliser la calculatrice Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers Emploi de l’algorithme d’Euclide Nombres premiers entre eux Congruences - entiers modulo n Compatibilité des congruences avec les opérations Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne Comment faisait-on des divisions à l’école primaire ? Exemple 43 5 3 8 Dans cette écriture : 43 s’appelle le dividende ; 5 est le diviseur ; 8 est le quotient et 3 est le reste. On peut établir sans difficulté les deux propriétés suivantes : 43 = 5 × 8 + 3 et 0 ≤ 3 < 5 Soit dividende = diviseur × quotient + reste et 0 ≤ reste < diviseur Ce type de division s’appelle une division euclidienne. Le mot euclidienne vient du nom du mathématicien grec de l’Antiquité : Euclide. Notez bien que dans ce type de division : • n’interviennent que des nombres entiers (et jamais de décimaux) ; • il est indispensable de bien avoir la relation : 0 ≤ reste < diviseur 3/52 Divisibilité – Division euclidienne 4/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Euclide Le mot euclidienne vient du nom du mathématicien grec de l’Antiquité : Euclide. Il aurait vécu vers 300 avant notre ère, après Platon, mais avant Archimède et Eratosthène. Il a écrit les Eléments, composé de 13 livres, qui abordent la géométrie plane et dans l’espace, l’arithmétique... Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitaire standard. Une des plus ciens fragments Éléments. andes Codex Vaticanus 190 Première édition primée (1482) im- Divisibilité – Division euclidienne 5/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne Définition Soient a ∈ Z et b ∈ N∗ (autrement dit a est un entier quelconque, positif, négatif ou nul ; par contre b est un entier positif non nul). Faire la division euclidienne de a par b, c’est trouver le couple (q, r ) d’entiers relatifs tels que : a=b×q+r et : 0≤r <b a r b q Dans cette écriture : a est le dividende ; b est le diviseur, q le quotient et r est le reste. Nous admettrons que ce couple (q, r ) existe toujours de manière unique. Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Divisibilité – Division euclidienne Exemple • a = 368 et b = 13 : 368 = 13 × 28 + 4 On observe que : 0 ≤ 4 < 13 Donc : q = 28 et r = 4 • a = −368 et b = 13 : −368 = 13 × (−28) + (−4) Mais −4 < 0 : ce reste ne convient pas ! −368 = 13 × (−29) + 9 et 0 ≤ 9 < 13 Donc : q = −29 et r = 9 6/52 Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 7/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne Quelques outils pour calculer facilement le quotient et le reste • Sur calculatrice : TI : Casio : MenuMath → NUM → partEnt( Options → NUM → int( donne le quotient Pour avoir le reste de la division de a par b, taper : a–b × partEnt(a ÷ b) Exemple : partEnt(368 ÷ 13) donne 28 (quotient) 368–13 × partEnt(368 ÷ 13) donne 4 (reste) • Sur Excel : MOD(A; B) : donne le reste de A par B. A B C 1 dividende diviseur reste 2 368 13 =Mod(A2 ;B2) Divisibilité – Division euclidienne 8/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne Remarques • Dans la division par 2, le reste ne peut être égal qu’à 0 ou 1 donc : Tout nombre entier a peut s’écrire sous la forme : a = 2k (s’il est pair) ou a = 2k + 1 (s’il est impair) (avec k ∈ Z) • De même, dans la division par 3, le reste ne peut être que 0, 1 ou 2 : Tout nombre entier a peut s’écrire sous l’une des trois formes suivantes : a = 3k ou a = 3k + 1 ou a = 3k + 2 (avec k ∈ Z) • Et ainsi de suite... Divisibilité – Division euclidienne 9/52 Nombres premiers Théorème fondamental Exercices 1 à 3 PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 10/52 Nombres premiers Théorème fondamental La relation PGCD Congruences - entiers modulo n divise Définition Soient a et b deux entiers relatifs. b divise a ⇐⇒ il existe un entier q tel que a = b × q Autrement dit : a peut s’écrire sous la forme du produit de b par un nombre entier. On dit que b divise a ou bien que b est un diviseur de a ou encore que a est un multiple de b. Remarque : si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors b divise a. Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental La relation PGCD Congruences - entiers modulo n divise Propriétés • Tout entier relatif b divise 0. En effet 0 = b × 0 • 0 ne divise aucun entier a 6= 0 cela revient à dire qu’on ne peut pas diviser par 0 (En effet si a 6= 0, quel que soit le nombre q : a 6= 0 × q) • 1 et – 1 divisent tous les entiers : a = 1 × a et a = (–1) × (–a) • Tout nombre entier admet un nombre fini de diviseurs (propriété admise) 11/52 Divisibilité – Division euclidienne 12/52 Nombres premiers Théorème fondamental La relation PGCD Congruences - entiers modulo n divise Rappels de quelques règles sur la divisibilité Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0 ; 2 ; 4 : 6 ; 8 (nombres pairs) • Exemples : 268 ; 1222 ; 146 sont divisibles par 2. Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3. • Exemple : 363 est divisible par 3 car la somme des chiffres : 3 + 6 + 3 = 12 est divisible par 3 (12 = 3 × 4) • 2654 n’est pas divisible par 3 car : 2 + 6 + 5 + 4 = 17 n’est pas divisible par 3 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5 • Exemple : 15 ; 25 ; 330. Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0. Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ? Exemple : recherche des diviseurs de 168 On essaie de diviser le nombre 168 par tous les nombres qui lui sont inférieurs : 168 = 1 × 168 −→ 1 et 168 sont des diviseurs de 168. 168 = 2 × 84 −→ 2 et 84 sont des diviseurs de 168. 168 = 3 × 56 −→ 3 et 56 sont des diviseurs de 168. 168 = 4 × 42 −→ 4 et 42 sont des diviseurs de 168. Ensuite : 168 ne se divise pas par 5. 168 = 6 × 28 −→ 6 et 28 sont des diviseurs de 168. 168 = 7 × 24 −→ 7 et 24 sont des diviseurs de 168. 168 = 8 × 21 −→ 8 et 21 sont des diviseurs de 168. 168 ne se divise pas par 9, 10 ni 11. 168 = 12 × 14 −→ 12 et 14 sont des diviseurs de 168. STOP : le seul nombre entre 12 et 14 est 13, qui n’est pas un diviseur de 168. D’où la liste des diviseurs de 168 : 13/52 D = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 12; 14; 21; 24; 28; 42; 56; 84; 168} Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ? Autres propriétés • Si m divise a et b, alors il divise leur somme, leur différence, leur produit. • Si a divise b et si b divise c alors a divise c. • Si m divise a et b alors il divise tous les nombres de la forme ka + k 0 b (où k et k 0 sont deux entiers). 14/52 Divisibilité – Division euclidienne 15/52 Nombres premiers Théorème fondamental Exercices 4 à 9 PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 16/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Divisibilité – Division euclidienne Exemple La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ? Nombres premiers Crible d’Eratosthène Théorème fondamental Déterminer les diviseurs d’un nombre PGCD Trouver les diviseurs Utiliser la calculatrice Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers Emploi de l’algorithme d’Euclide Nombres premiers entre eux Congruences - entiers modulo n Compatibilité des congruences avec les opérations Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 17/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Nombres premiers Définition Un nombre est premier s’il n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. Remarque : 1 n’est pas premier. Il n’a qu’un seul diviseur : 1. Des exemples de nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; etc. Par contre : • 4 n’est pas premier : ses diviseurs sont : 1 ; 2 et 4. • 15 n’est pas premier : ses diviseurs sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15 Si un nombre n’est pas premier, on dit qu’il est composé. Divisibilité – Division euclidienne 18/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Nombres premiers Théorème Il existe un infinité de nombres premiers (théorème admis). La course au plus grand nombre premier Un programme de recherche appelé Great Internet Mersenne Prime Search est constamment à la recherche du plus grand nombre premier possible. Le plus grand connu à ce jour a été trouvé en 2013 Il a nécessité 360 000 ordinateurs, 150 trillions (1018 ) opérations par seconde, 17 ans de calcul. Ce nombre est composé de 17 425 170 caractères. Il faudrait près de 3500 pages pour l’écrire entièrement ! Il peut toutefois s’écrire sous une forme plus courte : 257885161 − 1 Divisibilité – Division euclidienne 19/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Nombres premiers Propriété Soit a un entier naturel strictement supérieur à 1. a possède au moins un diviseur premier. Si a n’est pas premier, alors au moins un de ses diviseurs est inférieur à √ a (propriété admise). Méthode pour savoir si un nombre est premier ou non On appelle cette méthode un test de primalité. • Si l’un des nombres premiers inférieurs ou égaux à √ a n’est pas premier. • Si aucun des nombres premiers inférieurs ou égaux à alors a est premier. a divise a, alors √ a ne divise a, Divisibilité – Division euclidienne 20/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Nombres premiers Exemple 1 a = 871 est-il √ ? √ premier On calcule a = 871 ≈ 29, 51 Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 29,51 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 On cherche si 871 se divise par un de ces nombres C’est le cas : 871 se divise par 13 car 871 = 13 × 67 Donc 871 n’est pas premier Exemple 2 b √= 307 est-il premier ? 307 ≈ 17, 52 Nombres premiers inférieurs à 17,52 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 307 n’est divisible par aucun de ces nombres Donc : 307 est premier Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Crible d’Eratosthène Eratosthène : astronome, géographe, philosophe et mathématicien grec de l’Antiquité (276 av. n.è. - 194 av. n.è.) Célèbre pour avoir trouvé une méthode permettant de mesurer la circonférence de la Terre Il a élaboré une méthode (un crible) permettant de trouver, par exemple, tous les nombres premiers entre 1 et 100. 21/52 Divisibilité – Division euclidienne 22/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Crible d’Eratosthène On commence par écrire tous les nombres entre 1 et 100 dans un tableau : 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Divisibilité – Division euclidienne 23/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Crible d’Eratosthène On élimine (nombres dans les cases sur fond grisé) : • 1 qui n’est pas premier • tous les multiples de 2 (nombres pairs) strictement supérieurs à 2 • tous les multiples de 3 strictement supérieurs à 3 • tous les multiples de 5 strictement supérieurs à 5 (nombres qui se terminent par 0 ou 5) • tous les multiples de 7 strictement supérieurs à 7 √ On a 100 = 10, donc on peut s’arrêter là. Les nombres restants sont premiers, sinon ils auraient un diviseur premier plus petit que 10. Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Crible d’Eratosthène Inconvénient de cette méthode Long et fasitidieux, donc envisageable que sur de petits nombres ... Mieux vaut implémenter un algorithme. Mais même dans ce cas, on ne peut pas choisir des nombres trop grands. 24/52 Divisibilité – Division euclidienne 25/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Divisibilité – Division euclidienne Exemple La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ? Nombres premiers Crible d’Eratosthène Théorème fondamental Déterminer les diviseurs d’un nombre PGCD Trouver les diviseurs Utiliser la calculatrice Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers Emploi de l’algorithme d’Euclide Nombres premiers entre eux Congruences - entiers modulo n Compatibilité des congruences avec les opérations Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Le théorème fondamental de l’arithmétique Théorème Nous admettrons le théorème suivant : Tout nombre entier positif strictement plus grand que 1 s’écrit de manière unique sous la forme d’un produit de nombres premiers. Exemple La décomposition est à peu près évidente pour de petits nombres : 6=2×3 → 6 est le produit de 2 et 3 qui sont premiers 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 → 12 est le produit de 2 ; 2 et 3 qui sont premiers 26/52 Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Le théorème fondamental de l’arithmétique Méthode Soit un n un nombre entier. On cherche à diviser n par tous les nombres premiers, en les prenant dans l’ordre croissant. On divise par chaque nombre premier, tant que c’est possible ; on passe ensuite au nombre premier suivant. 27/52 Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Le théorème fondamental de l’arithmétique Exemple Décomposer 9828 en produit de facteurs premiers : 9828 2 9828 se divise par 2 ; le quotient est 4914 4914 2 4914 est encore divisible par 2 ; le quotient est 2457. On ne peut plus diviser par 2 ; on essaie de diviser par 3 : 2457 3 2457 est divisible par 3 ; quotient : 819 819 3 819 est divisible par 3 ; quotient : 273 273 3 273 est divisible par 3 ; quotient : 91 . On ne peut plus diviser par 3 ; on essaie 7 : 91 7 91 est divisible par 7 ; quotient : 13 13 13 13 n’est divisible que par 13 ; quotient : 1 STOP ! On obtient la décomposition en multipliant tous les nombres premiers qui figurent à droite du trait vertical : 9828 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 × 13= 22 × 33 × 7 × 13 28/52 Divisibilité – Division euclidienne 29/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Déterminer les diviseurs d’un nombre On peut utiliser la décomposition précédente pour obtenir tous les diviseurs d’un nombre Exemple : 4116 = 22 × 3 × 73 Utilisons un arbre ! Divisibilité – Division euclidienne 30/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Déterminer les diviseurs d’un nombre Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Déterminer les diviseurs d’un nombre Conseil : commencer l’arbre par le nombre premier qui a la plus grande puissance. La lecture et les calculs sur l’arbre se font de gauche à droite. On met d’abord les puissances de 7 : 70 , 71 , 72 , 73 puis les puissances de 2 de 0 à 2 puis les puissances de 3 de 0 à 1. Les diviseurs s’obtiennent en multipliant les nombres obtenus de la racine de l’arbre jusqu’à la dernière feuille en suivant les branches. Par exemple pour obtenir 84 on a fait : 71 × 22 × 31 . Remarque : il y a autant de diviseurs que de branches de l’arbre soit : 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs. Propriété Si la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre N s’écrit : N = p1α1 × p2α2 × p3α3 × . . . × pkαk , le nombre de diviseurs est égal à : (α1 + 1)(α2 + 1)(α3 + 1) . . . (αk + 1). 31/52 Divisibilité – Division euclidienne 32/52 Nombres premiers Théorème fondamental Exercices 10 à 14 PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 33/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Divisibilité – Division euclidienne Exemple La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ? Nombres premiers Crible d’Eratosthène Théorème fondamental Déterminer les diviseurs d’un nombre PGCD Trouver les diviseurs Utiliser la calculatrice Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers Emploi de l’algorithme d’Euclide Nombres premiers entre eux Congruences - entiers modulo n Compatibilité des congruences avec les opérations Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n PGCD (plus grand commun diviseur) Définition Comme son nom l’indique, le PGCD de deux entiers a et b est le plus grand nombre entier qui divise à la fois a et b. On le note : PGCD(a, b) Comment déterminer le PGCD ? Dans les diapositives suivantes, nous allons donner 4 façons différentes de déterminer le PGCD en étudiant un exemple : Prenons par exemple : a = 1636 et b = 1128 34/52 Divisibilité – Division euclidienne 35/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n 1re méthode : trouver les diviseurs Méthode Trouvons les diviseurs de a = 1636 et b = 1128 : D1636 = {1, 2, 4, 409, 818, 1636} D1128 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 47, 94, 141, 188, 282, 376, 564, 1128} Diviseurs communs à a et b : 1 ; 2 ; 4. Le plus grand de ces diviseurs est 4 donc : PGCD(1636; 1128) = 4. Long et fastidieux ! Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n 2e méthode : utiliser la calculatrice Méthode La plupart des modèles de calculatrices scientifiques donnent directement la réponse. Sur Texas Instruments : MenuMATH → NUM → 9 : gcd Puis taper gcd(1636, 1128). Sur Casio : OPTN → NUM → GCD Puis taper GCD(1636, 1128) La calculatrice donne directement la réponse : 4. 36/52 Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n 3e méthode : utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers Règle Le PGCD(a, b) est égal au produit des facteurs premiers communs aux décompositions de a et de b, chacun d’eux étant affectés du plus petit exposant avec lequel il figure dans la décomposition de a et b. Exemple 1636 = 22 × 409 et Facteur commun : 2 Plus petit exposant : 2 Donc PGCD(1636; 1128) = 22 = 4 37/52 1128 = 23 × 3 × 47 Divisibilité – Division euclidienne 38/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n 3e méthode : utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers Autre exemple a = 22 × 35 × 71 × 112 et Facteurs communs : Plus petits exposants (respectivement) : Donc PGCD(a, b) = 21 × 32 × 71 = 126 b = 21 × 32 × 74 × 13 2 1 3 2 7 1 Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n 4e méthode : emploi de l’algorithme d’Euclide Théorème Soient a, b, q, r des entiers relatifs non nuls. Si a = bq + r alors PGCD(a, b) = PGCD(b, r ) (Théorème admis) En pratique • on divise a par b, on trouve un reste r • on divise ensuite b par r , ce qui donne un reste r 0 • on divise ensuite r par r 0 , ce qui donne un reste r 00 • etc. À chaque étape : • le dividende de la division est le diviseur de la division précédente • le diviseur est le reste de la division précédente • Le PGCD est alors le dernier reste non nul obtenu 39/52 Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n 4e méthode : emploi de l’algorithme d’Euclide Exemple : a = 27634 et b = 6551 Etape 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 27634 6551 1430 831 599 232 135 97 38 21 17 4 b 6551 1430 831 599 232 135 97 38 21 17 4 1 Reste 1430 831 599 232 135 97 38 21 17 4 1 0 Dernier reste non nul : PGCD(27634; 6551) = 1 40/52 Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Nombres premiers entre eux Définition On dit que deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD est égal à 1 Remarques Deux nombres premiers sont nécessairement premiers entre eux. Par contre, deux nombres premiers entre eux, ne sont pas forcément des nombres premiers. Exemple 27 634 et 6 551 : on vient de voir précédemment que : PGCD(27634, 6551) = 1 donc 27 634 et 6 551 sont premiers entre eux. Mais 27 634 n’est pas premier et 6 551 est premier. 41/52 Divisibilité – Division euclidienne 42/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Nombres premiers entre eux Propriété Propriété du PGCD Nous admettrons la propriété suivante : si a, b, k sont des entiers : PGCD(ka, kb) = k × PGCD(a, b) Conséquence Si d = PGCD(a, b) alors il existe deux nombres a0 et b 0 premiers entre eux tels que : a = da0 et b = db 0 En effet : si d est le PGCD(a, b), d est un diviseur de a et de b. Il existe donc deux nombres a0 et b 0 tels que a = da0 et b = db 0 . On a alors : d = PGCD(a, b) = PGCD(da0 , db 0 ) = d × PGCD(a0 , b 0 ) (d’après la propriété précédente). D’où : d = d × PGCD(a0 , b 0 ) donc PGCD(a0 , b 0 ) = 1 et a0 et b 0 sont premiers entre eux. Divisibilité – Division euclidienne 43/52 Nombres premiers Théorème fondamental Exercices 15 à 18 PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 44/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Divisibilité – Division euclidienne Exemple La relation divise Comment trouver tous les diviseurs d’un nombre ? Nombres premiers Crible d’Eratosthène Théorème fondamental Déterminer les diviseurs d’un nombre PGCD Trouver les diviseurs Utiliser la calculatrice Utiliser la décomposition en produit de facteurs premiers Emploi de l’algorithme d’Euclide Nombres premiers entre eux Congruences - entiers modulo n Compatibilité des congruences avec les opérations Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 45/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Congruences - entiers modulo n Définition On dit que deux entiers a et b sont congrus modulo n, si a et b ont le même reste dans la division par n. a et b congrus modulo n se note : a ≡ b (mod n) ou bien b ≡ a (mod n) On rencontre aussi cette notation : a ≡ b [n] ou b ≡ a [n] Exemple 26 ≡ 15 (mod 11) car le reste de la division euclidienne de 26 et 15 par 11 est le même : 4 On peut aussi écrire 26 ≡ 4 (mod 11) ou 26 ≡ −7 (mod 11) Il y a une infinité de possibilités. . . Divisibilité – Division euclidienne 46/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Congruences - entiers modulo n Autre exemple 2 et 14 sont congrus modulo 12 Un dernier exemple Si le 4 du mois est un mardi, le prochain mardi sera le 11, puis le 18, le 25 4, 11, 18 et 25 sont congrus à 4 modulo 7 Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Congruences - entiers modulo n Propriétés • a ≡ b (mod n) équivaut à dire que a–b est un multiple de n • Si r est le reste de la division de a par n alors : a ≡ r (mod n) • n ≡ 0 (mod n) • a ≡ a (mod n) • Si a est un multiple de n alors : a ≡ 0 (mod n) • Transitivité : Si a ≡ b (mod n) et si b ≡ c (mod n) alors : a ≡ c (mod n) 47/52 Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Compatibilité des congruences avec les opérations Soient a, b, c et d des entiers relatifs et p un entier positif. Compatibilité avec l’addition et la soustraction • Si a ≡ b (mod n) alors a + c ≡ b + c (mod n) • Si a ≡ b (mod n) alors a − c ≡ b − c (mod n) Compatibilité avec la multiplication et l’élévation à une puissance • Si a ≡ b (mod n) alors ac ≡ bc (mod n) • Si a ≡ b (mod n) alors ap ≡ b p (mod n) Autres compatibilités • Si a ≡ c (mod n) et b ≡ d (mod n) alors a + b ≡ c + d (mod n) • Si a ≡ c (mod n) et b ≡ d (mod n) alors ab ≡ cd (mod n) 48/52 Divisibilité – Division euclidienne 49/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Compatibilité des congruences avec les opérations Application Trouver le reste d’une division d’un très grand nombre par un entier donné. Par exemple : le reste de la division de 214607 par 3. ,→ Impossible à la calculatrice : 214607 trop grand Essayons avec de petits exposants : 20 = 1 le reste dans la division par 21 = 2 le reste dans la division par 22 = 4 le reste dans la division par 23 = 8 le reste dans la division par 24 = 16 le reste dans la division par etc. 3 3 3 3 3 de de de de de 1 est 1 2 est 2 4 est 1 8 est 2 16 est 1 donc donc donc donc donc : : : : : 20 21 22 23 24 ≡ 1 (mod 3) ≡ 2 (mod 3) ≡ 1 (mod 3) ≡ 2 (mod 3) ≡ 1 (mod 3) Divisibilité – Division euclidienne Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Congruences - entiers modulo n Compatibilité des congruences avec les opérations Maintenant raisonnons : On avait : 22 ≡ 1 (mod 3) Donc : (22 )n ≡ 1n (mod 3) Soit : 22n ≡ 1 (mod 3) D’autre part : 22n × 2 ≡ 1 × 2 (mod 3) Soit : 22n+1 ≡ 2 (mod 3) Donc si l’exposant est pair (égal à 2n) alors, le reste de la division euclidienne de 22n est 1. Si l’exposant est impair (égal à 2n + 1) alors le reste de la division euclidienne de 22n+1 est 2. 14 607 est un nombre impair donc 214607 ≡ 2 (mod 3) et le reste de la division euclidienne de ce nombre par 3 est 2. 50/52 Divisibilité – Division euclidienne 51/52 Nombres premiers Théorème fondamental Exercices 19 à 22 PGCD Congruences - entiers modulo n Divisibilité – Division euclidienne 52/52 Nombres premiers Théorème fondamental PGCD Application à la cryptographie Exercice 3 du sujet de BTS SIO de Métropole 2013 Congruences - entiers modulo n