Travail de maturité 2010 - Gymnase Auguste Piccard
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Travail de maturité 2010 : Le Système d’acquisition et d’analyse Vernier Par Victor Cannilla, 2‐3MS3, Auguste Piccard Sujet de Physique de M. Roger Dayer Document rendu le 8 novembre 2010 1 Résumé du travail de maturité L’objectif principal de mon travail de maturité en physique est de maîtriser le système d’acquisition et d’analyse de données conçu par la marque Américaine Vernier, puis en évaluer les performances, ainsi que les défauts et les limites. Celui‐ci est composé d’une très large variété de capteurs permettant de réaliser des mesures dans les domaines de la physique, la chimie et la biologie. Pour cela, il est nécessaire de disposer d’une interface Vernier, à laquelle seront connectés les capteurs. Les données peuvent ensuite être transférées vers un ordinateur doté du programme nommé « Logger Pro ». Celui‐ci, également conçu par la firme Vernier, permet d’analyser les mesures, notamment au moyen de tableaux, de graphiques et de nombreux outils permettant, entre autres, l’élaboration de modèles mathématiques, une analyse spectrale en série de Fourier et l’intégration numérique des valeurs relevées. J’ai donc réalisé des expériences dans les domaines suivants : ‐la cinématique ‐les frottements dans les fluides ‐l’impulsion ‐les condensateurs ‐l’induction magnétique ‐l’effet Doppler ‐le timbre de différents instruments de musique ‐la spectrométrie Je ne vais donc pas, à l’inverse de beaucoup de camarades, me plonger dans un sujet précis et clairement défini, mais plutôt tester la polyvalence du système Vernier, ainsi que sa dimension pratique et éducative. En effet, il a initialement été conçu afin de permettre à de jeunes étudiants de réaliser, à l’aide d’un système simple mais efficace et doté de capteurs performants, pratiques et précis, une multitude d’expériences très variées. Après la réalisation de ces expériences, il s’est avéré que le système d’acquisition et d’analyse Vernier convient parfaitement, selon moi, à des travaux pratiques d’un niveau gymnasial. Je n’ai bien entendu pas effectué de mesures dans le cadre de biologie ou de chimie mais, en physique, il m’a semblé évident qu’il serait bénéfique aux élèves de gymnase de disposer de ce matériel. 2 Table des matières 1. PRÉSENTATION DU TRAVAIL DE MATURITÉ ........................................... 1 1.1 L’ENTREPRISE VERNIER .................................................................................. 4 1.2 PRÉSENTATION DU SYSTÈME D’ACQUISITION ET D’ANALYSE ................................ 4 1.3 DESCRIPTIONS ET ILLUSTRATIONS DU MATÉRIEL ................................................ 5 1.4 BUT DE CE TRAVAIL DE MATURITÉ ................................................................. 10 2. EXPÉRIENCES ET ANALYSES ................................................................. 11 2.1 DÉTERMINER LA VALEUR DE G ...................................................................... 11 2.2 RÉSISTANCE DE L’AIR ................................................................................... 14 2.3 IMPULSION ET QUANTITÉ DE MOUVEMENT .................................................... 17 2.4 DÉCHARGE D’UN CONDENSATEUR ................................................................. 20 2.5 ANALYSE SUPPLÉMENTAIRE : INDUCTION ....................................................... 25 2.6 L’EFFET DOPPLER ........................................................................................ 28 2.7 INSTRUMENTS ET RICHESSE DE LEUR TIMBRES ................................................ 32 2.8 SPECTRE LUMINEUX .................................................................................... 35 3. REMARQUES ET CONCLUSION ............................................................. 40 3.1 CRITIQUES DU MATÉRIEL VERNIER ................................................................ 40 3.2 CONCLUSION ............................................................................................. 40 4. ANNEXES ......................................................................................... ‐ 42 ‐ 5. RÉFÉRENCES .................................................................................... ‐ 46 ‐ 3 1. Présentation du travail de maturité 1.1 L’entreprise Vernier « Vernier Software & Technology » est une compagnie basée dans la ville de Portland (Oregon, Etats‐Unis) qui produit divers logiciels et équipements de mesures de données. Leur matériel peut être défini comme un système d’acquisition et d’analyse, que l’entreprise est parvenue à rendre aussi bien simple d’utilisation que performant, efficace et précis, afin qu’il puisse être utilisé dans le cadre de l’éducation scientifique. Fondée il y a plus de vingt‐ cinq ans par David Vernier, ex‐enseignant gymnasial de physique, et sa femme Christine, femme d’affaire, l’entreprise portant leur nom compte aujourd’hui une centaine d’employés. Une multitude de leurs capteurs, interfaces et logiciels sont lauréats, et plus de cent vingt‐cinq pays y ont aujourd’hui recours, principalement dans le domaine de l’enseignement. Bien qu’elle ne soit pas encore employée dans tous les gymnases vaudois, l’établissement du Bugnon (place de l’ours à Lausanne) bénéficie déjà de sa gamme variée de produits, qui permet d’utiliser le matériel Vernier en physique, chimie, math et biologie. 1.2 Présentation du système d’acquisition et d’analyse Le système d’acquisition et d’analyse Vernier comporte : ‐une multitude de capteurs à haute précision ; détecteurs de mouvement par émission d’ultrasons, accéléromètres, altimètres, dynamomètres, capteurs de lumière ou de pression sonore, etc. Les données sont recueilles selon une certaine fréquence, qui peut atteindre plusieurs centaines de mesures par seconde, et permettent une analyse détaillée et fiable de différents comportements. ‐différentes interfaces, qui peuvent être autonomes et portatives ou qui nécessitent un branchement à l’ordinateur, qui reçoivent les données collectées par les capteurs (ces derniers peuvent être connectés par câble ou sans fil). Ces interfaces sont donc la connexion entre les capteurs et l’ordinateur, entre l’acquisition et l’analyse. ‐le logiciel Logger Pro, grâce auquel il est possible d’analyser les mesures collectées, et ce dans leurs moindres subtilités. Capable de fournir, entre autres, tableaux de données, graphiques, statistiques, dérivées, intégrales et différents modèles mathématiques de 4 comportement, ce programme a été conçu exclusivement dans le cadre d’une utilisation avec les différents capteurs Vernier, il est donc parfaitement adapté aux besoins de l’expérimentateur. 1.3 Descriptions et illustrations du matériel Cette rubrique comporte une brève présentation des différents capteurs et interfaces auxquels j’ai eu recours durant l’élaboration de mon travail de maturité, ainsi que du logiciel Logger Pro. Les différents capteurs : Le « Motion Detector » : il permet de déterminer les horaires de la distance, de la vitesse et de l’accélération subie par l’objet ciblé. Il utilise pour cela le principe des radars, à savoir émettre des ondes qui vont se réverbérer, puis mesurer le temps qu’elles mettent pour faire l’aller‐retour. Ceci permet de déduire l’horaire de la distance parcourue. Il suffit alors de dériver la courbe pour trouver la vitesse (ou utiliser l’effet Doppler en mesurant le changement de fréquence du signal), et, en dérivant une seconde fois, l’accélération subie est obtenue. Remarque : le « Motion Detector » émet des ultrasons afin de procéder à ses mesures, alors que la plupart des radars utilisent des ondes radios. Le « Wireless Dynamic Sensor System » ‐ ou WDSS – est un capteur très pratique permettant de calculer l’accélération (selon trois axes orthonormés) qu’il subit. Il est également muni d’un altimètre (permet de calculer l’altitude à laquelle il se trouve) ainsi que d’un dynamomètre situé à la base du crochet (capteur de forces). Comme son nom l’indique, il peut être utilisé de façon « wireless », c’est‐à‐dire sans fil, car il peut stocker 5 un grand nombre de données dans sa mémoire interne. Ces mesures peuvent ensuite être transférées sur un ordinateur via connexion Bluetooth, sans passer par le biais d’une interface Vernier, puis bien sûr être analysées. Le fait qu’il puisse être utilisé sans fil est très pratique dans le cadre de mesures d’accélération dans la vie courante, telles qu’en moto, en sautant sur un trampoline, ou encore, plus atypique, sur le grand huit d’un parc d’attractions. En effet, ce genre d’expériences peut s’effectuer en disposant uniquement du WDSS, sans nécessiter de câbles ou d’interfaces. Vernier dispose également, dans sa gamme de produits, d’une veste spécialement conçue afin d’avoir le WDSS sur soi et procéder à des mesures tout en ayant les mains libres. Le « Microphone Vernier » est utilisé dans le but de mesurer la pression sonore en fonction du temps, et permet donc une multitude d’expériences, par exemple basées sur les longueurs d’onde du signal capté. Il ne permet pas d’utilisation sans fil, et nécessite donc d’être connecté à une interface Vernier durant l’acquisition. L’entreprise Vernier dispose également d’un spectrophotomètre, qui permet de dresser, dans l’intervalle de longueurs d’ondes auxquelles le capteur est sensible, le spectre d’un signal lumineux, ainsi que d’en indiquer l’intensité relative. Pour cela, il va agir en deux étapes : premièrement, il est nécessaire de « décomposer » la lumière (action d’un spectromètre). En effet, le spectrophotomètre Vernier est muni de ce qu’on appelle un « réseau de diffraction optique », qui est composé de nombreuses fentes parallèles extrêmement fines (plusieurs centaines par millimètre). Celles‐ci vont séparer la lumière, en quelque sorte de la même manière qu’un prisme. Les rayons lumineux qui viennent d’être « triés » sont ensuite dirigés vers un capteur qui va mesurer l’intensité respective de chaque longueur d’onde émise. Des graphiques illustrant le spectre lumineux décomposé du signal peuvent ensuite être dressés sur Logger Pro, ce capteur très performant est donc idéal pour une multitude d’expérience en spectrométrie. Le Voltmètre Vernier permet, au moyen de ses deux « crochets » rouge et noir, de déterminer une tension 6 électrique. Il faut pour cela les agripper au circuit (le voltmètre peut donc être utilisé dans de nombreux montages différents, sans que la connexion soit un problème : même si aucun port n’est prévu pour un voltmètre, il suffit de pincer un conducteur à l’aide des crochets !). La fiche blanche doit ensuite être branchée dans la prise d’une interface ; la différence de potentiel entre les deux attaches (soit la tension électrique de l’une à l’autre) sera ainsi déterminée. Les différentes interfaces : L’interface LabPro a été celle qui m’a le plus servi durant l’élaboration de mon travail de maturité. Simple et efficace, elle possède quatre ports analogiques et deux digitaux pour y connecter, au maximum, six capteurs différents. Si, durant une acquisition effectuée par son biais, elle est connectée à un ordinateur et que le logiciel Logger Pro est ouvert, un tableau des données (ou plus, selon le nombre et le type de capteur) recueillies sera effectué instantanément, ainsi que les graphiques illustrant le phénomène mesuré. Néanmoins, il n’est pas nécessaire que LabPro soit branchée à un ordinateur durant l’expérience ; en effet, l’interface a été spécialement conçue dans le but d’être portative (dimensions d’environ 25 x 10 x 3 cm) et utilisable n’importe où, indépendamment d’une quelconque source d’alimentation. Bien entendu, sa batterie doit avoir été préalablement rechargée. LabPro est évidemment munie d’une mémoire interne relativement performante, permettant le sotckage de nombreuses données qui pourront ensuite être exportées vers un ordinateur doté de Logger Pro, afin d’en effectuer l’analyse. 7 LabQuest est, sur de nombreux points, une interface équivalente à LabPro ; également munie de six ports (quatre analogiques et deux digitaux) pour les capteurs, elle est elle aussi capable de stocker les mesures indépendamment d’un ordinateur. Par contre, elle dispose d’un écran, ainsi que des fonctionnalités de base pour effectuer une analyse (tableaux, graphiques, statistiques, divers modèles mathématiques…) et peut donc se révéler très pratique dans le cas où l’on ne dispose pas du logiciel Logger Pro, comme dans le cadre de mesures dans un parc d’attraction. En effet, cela permet d’observer les données recueillies sur le moment, et de savoir si elles sont de bonne qualité. Très pratique et maniable (dimensions d’environ 17 x 10 x 3 cm), son utilisation a été remarquablement bien programmée et rend l’analyse avec cette interface relativement simple. En revanche, en laboratoire, il est préférable de s’équiper directement d’un ordinateur et du logiciel Logger Pro (bien plus puissant), et, dans ce cas, LabQuest n’est guère plus utile que LabPro. Le logiciel Logger Pro : Ce programme représente presque à lui tout seul l’analyse du système. Exclusivement conçu pour fonctionner avec les mesures relevées par les capteurs de la marque Vernier, il est, de ce fait, particulièrement bien adapté aux expérimentateurs de ce matériel. En effet, étant donné qu’il a été imaginé spécialement pour l’analyse scientifique, il est largement plus performant dans ce domaine qu’un tableur classique comme Excel. En plus des tableaux et des graphiques, Logger Pro permet d’adapter des modèles mathématiques variés (des polynomiales aux logarithmiques, en passant, entre autres, par les gaussiennes et les trigonométriques), de déterminer la dérivée ou l’intégrale d’une fonction, ainsi que les extremums locaux, et tout cela quel que soit l’intervalle que l’on veuille analyser dans le graphe. L’algorithme de la transformée rapide de Fourier (en anglais Fast Fourier Transform, ou FFT) est disponible dans Logger Pro sous la forme d’un nouveau graphique (amplitude du signal selon sa fréquence) qu’il est possible d’ajouter, et peut se révéler être un précieux atout dans le cadre d’une expérience traitant des ondes (qu’elles soient sonores ou électromagnétiques). Il est également possible d’entrer manuellement de nouvelles 8 colonnes de données dans les tableaux, ainsi que de les incorporer dans des graphiques. Ces derniers sont facilement personnalisables, il est simple de modifier leur mise en page et leur présentation, ou d’effectuer des zooms très précis. De plus, à partir de Logger Pro, il est possible de contrôler tous les paramètres des interfaces et des capteurs reliés, sans fil ou non, à l’ordinateur ; calibrage, remise à zéro des valeurs des capteurs, changements d’unités… Ce logiciel est donc la pierre angulaire de mon travail de maturité, sans quoi je n’aurais pu effectuer les analyses de mes expériences. Captures d’écran de Logger Pro 3 : Horaire de la position d’un ballon qui rebondit selon x (horizontal) et y (vertical). Ce graphique est tiré du site de Vernier http://www.vernier.com/choosecountry.html?path=/ (voir rubrique 5 : références) Capture d’écran d’un graphique représentant la tension électrique en fonction du temps (voir section 2.4). Remarque : présence d’une intégrale ainsi que d’un ajustement mathématique correspondant à une exponentielle naturelle. 9 1.4 But de ce travail de maturité Le propos de ce travail de maturité est, dans le cadre d’expériences diverses en physique, d’utiliser, dompter et mettre à l’épreuve le matériel d’acquisition et d’analyse Vernier. Je me dois donc d’imaginer différentes expériences possibles, de les réaliser, d’en tirer une analyse convaincante et éclairante, et, grâce à tout cela, de vérifier des modèles mathématiques adaptés aux phénomènes étudiés. Une multitude de domaines est donc envisageable ; il est possible de faire travaux en laboratoire, tels que le balancement d’un pendule et le déplacement d’un objet sur un plan incliné, aussi bien que des mesures à l’air libre, comme l’effet Doppler découlant d’un véhicule en mouvement, ou l’accélération subie par un amateur de sensations fortes sur un grand huit. Mon document écrit sera composé de la présentation de quelques analyses d’expériences que j’aurai réalisées, avec, à chaque fois, la présentation de la démarche employée ainsi qu’une brève conclusion intermédiaire. Les raisons qui m’ont poussé à choisir ce travail de maturité sont les suivantes : bien sûr, l’intérêt et la curiosité que j’éprouve pour la science, et plus particulièrement pour la physique, ont joué un rôle déterminant, et il serait impossible de se lancer dans ce projet sans éprouver cela. Ensuite, le principe de tester et d’utiliser moi‐même un dispositif inconnu, sur qui personne ne pourrait me renseigner ou m’aider (à part, bien sûr, mon professeur de physique et de TM, Roger Dayer), me semblait particulièrement intéressant et original, à l’inverse de la majorité des autres sujets de travaux de maturité proposés. Ce fut donc un choix dont je savais qu’il pouvait se révéler contraignant, mais que j’assume pleinement, car, heureusement, la perspective de ce défi m’inspire bien plus qu’elle ne m’effraie. 10 2. Expériences et analyses 2.1 Déterminer la valeur de g La lettre g correspond, en physique, à l’accélération (en mètre par seconde au carré) que subit un corps à la surface terrestre à cause de la gravité. Cette valeur peut être déterminée par calcul, à partir de la loi de la gravitation, qui stipule que la force que deux objets exercent l’un sur l’autre est: F = G 𝐦∗𝐦! 𝐝² Où G (à ne surtout pas confondre avec g !) est la constante gravitationnelle, identique dans tout l’univers, m et m’ sont les masses respectives des deux corps, et d la distance qui sépare leurs centres de gravité. Chacun de nous est soumis à l’attraction exercée par notre planète, et, en supposant que la seule force que l’on subisse soit celle de la gravité due à notre astre (cas d’une chute libre si l’on omet la résistance de l’air), on peut déduire g. Cependant, il faut pour cela déterminer la distance entre le centre de gravité de la Terre et le nôtre, qui ne sera pas identique selon l’altitude à laquelle on se trouve. De plus, notre planète n’est pas parfaitement sphérique, mais légèrement aplatie aux deux pôles, ce qui fait que l’attraction que nous subissons va diminuer (de manière imperceptible par notre corps) si nous nous rapprochons de l’Equateur. En Suisse, nous utilisons communément g=9.81 m/s². Le but de cette expérience est d’estimer la constante g locale en espérant se rapprocher au maximum de 9.81 m/s², afin d’évaluer la précision du système Vernier. Le matériel nécessaire à l’exécution de cette expérience est le suivant : un rail incliné et la valeur de l’angle qu’il forme avec l’horizontale, un charriot adapté pour rouler sur le rail en subissant un minimum de frottements, et, afin de déterminer l’horaire du charriot, le « Motion Detector » (détecteur de mouvement, voir section 1.3 pour plus de détails). Comme le montre le schéma ci‐dessous, le charriot est lâché du haut du rail, le parcourt, et le « Motion Detector », placé au sommet du rail et dont l’émetteur/récepteur à ultrasons est dirigé parallèlement à ce dernier, relève les horaires de la vitesse et de la position. x 11 Afin de calculer g, il faut se baser sur la seconde loi de Newton : ∑Ϝ = 𝑚𝑎 Où Ϝ et 𝑎 sont des vecteurs respectivement de forces et d’accélération, et où m est la masse du charriot. En plaçant un axe x parallèlement au plan incliné et en projetant les vecteurs de forces et d’accélération dessus, on obtient, selon x : ∑Fx = m*g*sin θ = m*a Où θ = angle décrivant l’inclinaison du plan par rapport à l’horizontale. De cette relation, on peut simplifier et déduire : 𝐠 = 𝐚 𝐬𝐢𝐧 𝛉 Etant donné que nous connaissons θ, il ne reste qu’à utiliser l’horaire afin de déterminer une moyenne de a durant la descente du charriot sur le plan, ce qui est une tâche aisée grâce Logger Pro. En effet, il suffit d’appliquer un modèle quadratique au graphique de l’horaire de la distance pour obtenir un ajustement du deuxième degré, soit du type : x = C + B*t + A*t² (remarques : A, B et C sont donnés par Logger Pro une fois l’ajustement effectué ; a ≠ A). Cette parabole devrait être plus ou moins superposée à la parabole du graphe décrite par les données, qui devraient correspondre à un mouvement rectiligne 𝟏 uniformément accéléré, dont la formule est la suivante : x = x₀ + v₀*t + a*t². Puisque les 𝟐 𝟏 paraboles se superposent pratiquement, on déduit que : A = a, et c’est précisément de a 𝟐 dont on avait besoin pour calculer g (on peut également obtenir a avec le graphique de l’horaire de la vitesse, en utilisant un ajustement linéaire du type v = b + m*t, qui devrait presque être égal au modèle théorique du MRUA : v = v₀ + a*t. On aurait alors : m = a). Appliquons maintenant ces concepts théoriques aux séries de données ; nous en avons réalisé une avec θ=5,5°, et une autre avec θ=10°. Commençons par le cas de l’inclinaison de 5°, dont le graphe est présenté ci‐contre. On ! obtient: A = a = 0.4383 ! a = 0.8766 m/s² en moyenne durant la descente du charriot. On peut donc en déduire : g = ! !"# !.!° = !.!"## !.!"# g = 9.22 m/s² 12 En utilisant l’horaire de la vitesse, on obtient: g = !.!""# !.!"# = 9.24 m/s². Les deux résultats sont presque identiques, mais, malheureusement, ils indiquent une valeur relativement éloignée de 9.81 m/s². Cela est probablement dû à la mesure de l’angle, qui, à un demi‐ degré près, n’est pas très précise. En effet, j’ai calculé l’incertitude absolue avec, comme seule source d’erreur, ce demi‐degré de θ, et la marge est d’environ ± 0.912 m/s², ce qui justifie donc l’écart entre notre valeur de g et celle de référence. Voici maintenant le graphique (horaire de la position) réalisé avec le plan à 10° : ! On obtient, grâce à l’ajustement quadratique : A = a = 0.8315 a = 1.663 m/s². D’où : g = !! !"# !" = !.!!" !.!" ! = 9.78 m/s² (ou alors 9.75 m/s² en utilisant l’ajustement linéaire du graphique de l’horaire de la vitesse). En tenant compte de l’incertitude absolue de ± 0.912 m/s² calculée quelques lignes auparavant, il est évident que ces valeurs sont tout‐à‐ fait plausibles et même relativement proches de la constante de référence. Ces derniers résultats sont très convaincants, et la précision de g obtenue à l’aide de cette expérience suggère que notre mesure de l’angle θ était certainement plus rigoureuse que celle à 5.5°. Cependant, dans le cadre de ces séries de mesures, il est difficile d’évaluer la précision du matériel Vernier (essentiellement, dans cette expérience, du « Motion Detector »), car la principale source d’erreur est la valeur mesurée de l’angle, et non pas la qualité de l’horaire établi. Il convient néanmoins de souligner la richesse des mesures (20 par seconde, ce qui est pourtant très peu élevé en comparaison à la fréquence maximale des données que peut relever le capteur), ainsi que l’adaptation quasiment parfaite des modèles mathématiques sur les différents horaires. 13 2.2 Résistance de l’air Les thèmes de cette expérience sont les frottements dans les fluides, plus précisément, dans notre cas, dans l’air ; en effet, il s’agit de déterminer si les frottements dus à l’air de notre salle de classe sont visqueux (régime laminaire) ou si leur viscosité est négligeable (régime turbulent). Pour y parvenir, il faut lâcher un objet doté d’une faible masse volumique et constitué d’une forme propice à subir des forces de frottement se rapprochant ‐jusqu’à atteindre‐ la force de gravité (nous avons donc effectué l’expérience avec des filtres à café faits de papier et de forme adéquate ‐sortes de moules à tartelettes ou de petits parachutes à l’envers, voir schéma‐). Durant la chute, les forces de frottement dirigées verticalement, vers le haut, vont progressivement augmenter, jusqu’à compenser entièrement la gravité, et l’objet « flottera » dans l’air. La somme des forces agissant sur le papier sera alors nulle, donc son accélération aussi (seconde loi de Newton) ; la vitesse du filtre aura alors atteint son maximum et restera stable jusqu’à ce qu’il touche le sol. C’est cette vitesse limite qui est indispensable pour déterminer le type de frottements agissants dans notre salle de classe : si ces derniers sont laminaires, la force qui en résulte sera proportionnelle à la vitesse limite de l’objet (et dans le sens opposé). S’ils sont turbulents, alors la force de frottements sera proportionnelle au carré de la vitesse. On peut donc dire (en normes) : Ff = a*v ou Ff = b*v² où a et b sont des constantes. De plus, comme expliqué précédemment, dès lors que le filtre a atteint sa vitesse maximale, on peut déduire que mg = Ff, d’où (toujours en normes): Ff = mg = a*v ou Ff = mg = b*v² Etant donné que g, a et b sont des constantes, on peut donc finalement dire que m est proportionnel à v si le régime est laminaire, et proportionnel à v² s’il est turbulent. Comme le montre le schéma ci‐dessus, j’ai lâché des filtres à café faits de papier, mesuré leur vitesse durant la chute grâce au « Motion Detector » (voir section 1.3) et établi 14 l’horaire de leur vitesse. Après avoir fait l’expérience avec un filtre, il a fallu répéter l’opération avec deux, puis trois, jusqu’à cinq d’entre eux (emboîtés les uns dans les autres), en positionnant le détecteur en mode « track » (subtilités du « Motion Detector » ; le mode « normal» est sensé être plus adapté pour mesurer l’horaire d’un humain ou d’un gros objet éloigné, alors que le mode « track » est plutôt destiné à quelque chose d’une dizaine de centimètres et relativement proche). Nous disposons donc d’une série de cinq horaires ; commençons avec la série en mode « track ». Grâce à Logger Pro, j’ai établi un tableau avec trois colonnes : la première comporte la masse totale lâchée à chaque fois (en d’autres termes, pour le premier lâché, une fois la masse du filtre, pour le deuxième, deux fois la masse d’un filtre, etc.), la seconde indique la vitesse limite atteinte par la masse durant sa chute, et la troisième est simplement le carré de cet vitesse limite (tableau ci‐contre) . Etant donné que, pour une masse qui subit des frottements dans un fluide à régime laminaire, la vitesse limite atteinte par l’objet est proportionnelle à sa masse, et que dans un régime turbulent, c’est le carré de la vitesse limite qui est proportionnel à la masse qui chute, il suffit de dresser deux graphiques (tous deux avec la masse comme variable, mais une fois avec la vitesse sur l’axe des ordonnées, une fois avec la vitesse au carré). Le graphique dont l’ajustement linéaire possède le meilleur coefficient de corrélation (plus proche possible de 1) et qui sera le plus proche de passer par l’origine révélera si le régime est turbulent ou laminaire. Voici maintenant le tableau ainsi que le graphique avec la vitesse en fonction de la masse qui chute: 15 Comme on peut le constater, le modèle linéaire (droite noire) n’est pas très adapté à la fonction de la vitesse (courbe violette). En effet, bien que le coefficient de corrélation ne soit guère éloigné de 1 – il s’élève à 0.986 – la droite devrait passer par l’origine. De plus, la ! fonction violette semble plus correspondre à un modèle du type y = 𝑥 qu’à une droite. J’ai donc modélisé la courbe avec une fonction de ce type (en orange, voir graphe), et il se trouve qu’elle paraît fort adaptée. Cela laisse entendre que l’air de la classe subirait un régime turbulent, ce qu’il reste à confirmer avec le second graphique que voici : Affirmer que la vitesse au carré d’un objet qui chute est proportionnelle à sa masse semble maintenant fortement convaincant. La droite de régression est presque superposée à la fonction bleue, et coupe l’axe Ox à forte proximité de l’origine. De plus, le coefficient de corrélation indique presque la parfaite superposition, car il est de 0.999 ! Il est désormais évident que l’air de notre salle de classe exerce des frottements de régime turbulent, dont la viscosité est donc négligeable, à un objet qui y chute. 16 2.3 Impulsion et quantité de mouvement L’impulsion apparaît lorsqu’une force est appliquée à un objet ; on définit alors l’impulsion comme le produit de cette force multiplié par le temps durant lequel elle est appliquée. Mais très souvent, pendant que la force agit, elle varie. Il faudrait donc prendre, durant le temps d’application, une multitude de forces instantanées (la durée d’application tend vers zéro) et la multiplier par cette durée qui tend vers zéro, puis répéter l’opération une infinité de fois : cette opération est nommée l’intégrale de la force sur le temps d’application (une somme d’éléments infiniment petits). L’impulsion peut également être définie dans le cadre de ce que l’on nomme la quantité de mouvement. Cette dernière est calculable à n’importe quel instant pour n’importe quel objet de masse m et se déplaçant à vitesse v, et de la manière qui suit : Quantité de mouvement = p = mv En faisant abstraction de la relativité ‐ nous resterons dans la physique dite classique ‐ la masse d’un objet reste constante au cours du temps. De plus, si cet objet n’est pas accéléré (qu’il ne subit aucune force résultante), sa vitesse ne variera point ; c’est le principe de l’inertie. Il s’en suit donc que la quantité de mouvement d’un objet qui ne subit pas de force reste constante. Cependant, si une force est appliquée à un objet, il est démontrable que la différence de quantité de mouvement 𝛥𝑝 (𝑝 finale moins 𝑝 initiale) est égale à l’impulsion correspondant à la force appliquée. On obtient alors : I = Δp Finalement, en se référant à l’explication du début du point 2.3, on peut écrire : I= !" F !" t dt = Δp J’ai réalisé une intéressante expérience dont le but est de vérifier cette formule ; il s’agissait de laisser rouler le long d’un rail un charriot sur lequel était fixé un WDSS qui jouait le rôle de dynamomètre (voir section 1.3), jusqu’à ce qu’un fil préalablement attaché au capteur de force du WDSS se tende ; une force variable s’est alors s’exercée sur le charriot et fit changer le sens de sa vitesse. De plus, un « Motion Detector » était disposé en face du rail, de manière à établir l’horaire de la position et de la vitesse du charriot qui se déplaçait. 17 Voici le schéma qui illustre l’expérience réalisée. (Remarque : la légende indique que la corde est élastique, mais celle utilisée pour cette expérience était fortement rigide. De plus, le détecteur de force est ici placé après le rail, alors que, comme expliqué plu haut, je l’avais fixé sur le charriot) Désormais, nous avons toutes les informations à disposition pour calculer l’impulsion de deux manières : grâce aux données captées par le WDSS et au logiciel Logger Pro, faire l’intégrale de la force en fonction du temps est un jeu d’enfant. De plus, la masse du charriot étant connue et l’horaire de sa vitesse ayant été établi par le « Motion Detector », il est aisé de calculer la quantité de mouvement du charriot avant et après que la force ait été appliquée. Le point intéressant de cette expérience est de comparer les deux différentes valeurs de l’impulsion ainsi obtenues. Commençons par calculer la valeur de I à partir de la masse et de l’horaire du charriot relevé par le « Motion Detector ». Comme le montre le graphe représentant l’horaire de la vitesse, celle‐ci est stable jusqu’à environ deux secondes, puis l’objet subit la force exercée par le fil : la vitesse change brutalement de sens. Il s’agit maintenant de relever les données juste avant et juste après cette accélération ; on obtient v₁ = ‐0.461 m/s et v₂ = 0.344 m/s (comme les calculs à venir seront effectués en normes, on ne tiendra évidemment pas 18 compte du signe négatif de v₁). Ayant pris soin de relever la masse de l’objet en déplacement (en l’occurrence celle du charriot avec le WDSS posé dessus et une vis placée afin de les maintenir ensemble) qui est de 0.714 kg, il ne reste plus qu’à effectuer : I = Δp = p!"#$% ‐ p!"!#!$% = mv! ‐ mv! On obtient donc, en normes et en tenant compte du sens des vitesses : I = mv₂ + mv₁ = m (v₂ + v₁) = 0.714 (0.344 + 0.461) = 0.575 N*s Comparons maintenant cette valeur à celle obtenue grâce à Logger Pro, en effectuant l’intégrale de la force sur le temps. La capture d’écran ci‐dessous illustre le graphe qui exprime la force captée par le WDSS au fil des secondes. Bien sûr, durant la quasi‐totalité de l’expérience, aucune force n’a été relevée. Cependant, au moment ou le fil s’est tendu, la force de tension est apparue sous cette forme : J’ai simplement utilisé la fonction « intégrale » de Logger Pro afin de déterminer l’aire sous la courbe orange, et, de la même manière, l’impulsion déduite d’une manière différente. La valeur obtenue est : I = !" F !" t dt = 0.548 N*s Afin d’évaluer la précision et la similitude entre ces résultats, j’ai calculé l’erreur relative entre les deux valeurs. Le résultat est de 4.8% de différence entre les deux valeurs, ce qui est loin d’être décevant. Malgré tout, le doute subsiste : d’où provient donc cet écart qui s’élève à 0.027 N*s? Il est possible que les capteurs n’aient pas été intégralement fiables, c’est pourquoi j’ai calculé les incertitudes absolues à partir de l’imprécision fournie par Vernier, et on obtient ±0.0411 N*s pour le WDSS et ±0.0114 N*s pour le Motion Detector. Rien que le WDSS serait donc assez imprécis pour justifier l’écart entre les deux valeurs de I, et il est fortement probable qu’il en soit la cause principale. 19 2.4 Décharge d’un condensateur Les expériences présentées jusqu’à présent étant toutes relatives à la mécanique, je vais maintenant analyser une série de mesure traitant exclusivement d’électricité, plus particulièrement de condensateurs. Ces derniers sont composés de deux conducteurs isolés l’un de l’autre (armatures), portant chacun une charge de même grandeur mais de signe opposé. De ce fait, une différence de potentiel électrique (une tension U) va apparaître entre eux. La polyvalence du matériel Vernier permettant des acquisitions de mesures de tensions électriques au cours du temps, j’ai réalisé une expérience dont l’analyse physique ainsi que l’utilisation des outils de Logger Pro sont relativement riches. Il s’agit de connecter un condensateur et une résistance en série dans un circuit alimenté par un générateur, puis d’observer de quelle façon, au moyen d’un interrupteur, le condensateur va se charger et se décharger. Il m’a premièrement fallu réaliser le montage suivant : L’objet indiqué par un C sur le schéma est un condensateur, dont la valeur de la capacité est fournie par le constructeur. Cependant, ce dernier affirme qu’une erreur relative de 10% est plausible, je vais donc tenter de déterminer précisément la capacité lors de l’analyse. Les deux objets légendés « black » et « red » sont les deux branchements du voltmètre Vernier, ils mesurent la différence de potentiel qui s’applique sur la portion du circuit comprise entre eux : il s’agit donc, dans cette expérience, de la tension entre les deux armatures du condensateur. Pour que cette expérience soit menée à bien, il est également nécessaire de brancher, en série, une résistance R de plusieurs milliers d’Ohms dans lequel devra passer le courant avant d’arriver au condensateur ; cette résistance jouera le rôle de dissipateur d’énergie lors du déplacement des charges dans le circuit, l’intensité du courant y sera donc limitée. L’interrupteur, quant à lui, permet de fermer ou d’ouvrir le circuit ; lorsque le courant circule (interrupteur positionné en 32, voir schéma), le condensateur va se charger et une tension va apparaître à ses bornes puis croître jusqu’à une valeur maximale. Lorsqu’il est coupé (interrupteur en 34), le courant va se mettre à circuler en sens opposé dans le circuit. Le condensateur va donc se décharger, c’est‐à‐dire faire transiter ses charges dans la résistance : la tension entre les armatures va progressivement chuter, jusqu’à atteindre 0. 20 C’est précisément à ces variations au cours du temps de la tension aux bornes du condensateur que je vais m’intéresser au cours de cette expérience. Afin d’obtenir les valeurs nécessaires, il suffit d’utiliser le voltmètre Vernier relié à l’interface LabPro, elle‐ même connectée à un ordinateur muni de Logger Pro, de lancer l’acquisition, et de manipuler l’interrupteur afin de collecter des données croissantes puis décroissantes de la tension. Il est ensuite aisé d’en tirer un graphique illustrant la différence de potentiel entre les armatures en fonction du temps, que j’ai ensuite traité de deux manières différentes, totalement distinguables. Il m’a donc semblé plus compréhensible de partager l’analyse ci‐ dessous en deux étapes isolées l’une de l’autre, dont les objectifs et les marches à suivre sont totalement dissociables, et dont la qualité des résultats ne sera pas forcément identique. Commençons par nous demander quel est le modèle adapté à la progression et à la diminution de la tension existant entre les armatures du condensateur. En observant le graphe ci‐dessous, on s’aperçoit immédiatement que la différence de potentiel ne varie pas, aussi bien durant la recharge que durant la décharge, de façon proportionnelle au temps. Un modèle linéaire n’est donc envisageable dans aucun des deux cas. Intéressons‐nous premièrement à la chute de la tension ; comme le montre le graphe, à l’instant t=0, la tension est stable et vaut environ 5,7 Volts, le circuit est donc fermé. Après quelques secondes, j’ai actionné l’interrupteur : le courant ne circule donc plus dans le même sens et la charge du condensateur décroît tant que le courant traverse la résistance. Il s’en suit donc une décroissance de la tension entre les bornes, observable très nettement sur le graphique. L’apparence de la courbe au moment de la décharge m’ayant fait penser à une fonction exponentielle ayant subi une symétrie selon un axe vertical, j’ai tenté de lui adapter, grâce à 21 Logger Pro, une fonction exponentielle naturelle, qui a parfaitement concordé avec la courbe initiale. Comme le démontre le graphe, lorsque la tension s’est approchée de zéro, j’ai réenclenché l’interrupteur ; le courant a repris son sens de parcours initial, des charges se sont à nouveau emmagasinées dans les deux armatures et la différence de potentiel entre ces dernières s’est donc progressivement accrue, suivant la courbe observable ci‐dessus (augmentation de la tension très rapide au début, puis de plus en plus faible, jusqu’atteindre une valeur limite). Il s’est avéré qu’un modèle exponentiel naturel inversé s’y superposait parfaitement ; on peut donc supposer qu’il s’agit de la fonction mathématique parfaitement adaptée à ce phénomène. J’ai ensuite désiré comparé les équations de ces modèles de Logger Pro à celles qui décrivent habituellement la décharge et la recharge d’un condensateur dans ce type de montage, à savoir, respectivement : !! !! U(t) = U₀*𝑒 !! et U(t) = U₀*[ 1 ‐ 𝑒 !" ] Comme on peut le constater, dans les deux cas, que le nombre e soit négatif ou pas, il !! est élevé à la puissance où R et C sont respectivement la résistance insérée dans le circuit !" et la capacité du condensateur, et où t est la variable temporelle. Comparons maintenant ces équations à celles des modèles de Logger Pro (voir, dans le graphique, les deux encadrés décrivant les courbes) : U(t) = A’*𝑒 !!!! + B’ et U(t) = A’*[ 1 ‐ 𝑒 !!!! ] + B’ (Remarque : j’ai quelque peu modifié l’équation telle qu’elle apparaît dans Logger Pro, et ce dans l’unique but de faciliter la compréhension du lecteur ainsi que la comparaison des deux paires d’équations.) Comme on peut le distinguer, dans chaque équation, trois nouveaux paramètres sont apparus : il s’agit de A’, B’ et C’ (leurs valeurs numériques sont indiquées dans les encadrés du graphique). Attention : il est primordial de comprendre que ces trois lettres ont été choisies pour la simple raison qu’elles apparaissent au début de l’alphabet ; il ne faut en aucun cas confondre ce C’ avec la capacité C du condensateur, c’est pourquoi j’ai pris la liberté d’écrire A’, B’ et C’ au lieu de simplement A, B et C. On peut maintenant établir des parallèles entre les deux équations physiques démontrées et les deux fonctions modélisées établies par Logger Pro. On s’aperçoit que : ‐ A’ = U₀ ‐ B’ représente soit U(∞), soit U(0) ‐ (‐C’t) est l’exposant qui correspond à !! !" ; on peut donc en déduire : !! ! ! !" !" !" (‐C’t) = C’ = , = C = capacité du condensateur 22 Cette dernière relation permet donc de déduire la capacité C. Dans les deux encadrés du graphique, C’ = 0.82 𝑠 !! . L valeur de R que j’ai mesurée à l’aide d’un multimètre étant de 1 21’820 Ω, on obtient : 𝐶 = 𝑅𝐶, = 55.86 μF. Il est maintenant intéressant de comparer cette valeur déduite de l’expérience et celle que fournit le concepteur, qui est de seulement 47 μF. On constate une énorme imprécision : en effet, l’erreur relative est de plus de 17% ! Les données relevées par le voltmètre Vernier sont‐elles fausses ? Ou est‐ce la valeur indiquée par le fabriquant qui est fortement imprécise ? Je pencherais évidemment pour la seconde hypothèse, c’est pourquoi j’ai mesuré en laboratoire la capacité du condensateur ; il s’avère que la valeur indiquée par le multimètre est de 54.9 μF. Cela confirme que la précision de la valeur du fabriquant est dérisoire ; je me servirai donc, afin d’effectuer les calculs dans la seconde partie de l’analyse, de celle que j’ai moi‐même obtenue. La seconde partie de l’analyse, plus légère que la première, a pour but de déterminer la charge maximale que peut emmagasiner une des armatures du condensateur, soit la charge qui, au cours de cette expérience, s’écoule à travers la résistance. Pour ce faire, imaginons qu’à l’instant a, le condensateur est complètement chargé, et qu’on enclenche l’interrupteur. Les armatures du condensateur vont alors progressivement se décharger (étant donné que les charges dont identiques sur chacune d’elles ‐mais de signe opposé‐ il est possible d’effectuer les calculs en ne tenant compte que de celle contenant la charge positive). A l’instant b, le condensateur sera totalement déchargé. On peut exprimer la charge maximale Q contenue dans les armatures comme étant la somme des petites quantités de charges qui s’échappent durant tous les intervalles de temps infiniment courts compris entre a et b, soit : Q = ! 𝑑𝑞 ! !" ! !" ! En tenant compte des relations I = dq = I*dt, et de U = RI I = , on déduit que : Q = ! ! !! ! ! 𝑑𝑞 = ! 𝐼 𝑑𝑡 = ! 𝑑𝑡 = ! 𝑈 𝑑𝑡 ! ! ! 23 Etant donné que l’on dispose du graphe de U en fonction de t sur Logger Pro (voir capture d’écran ci‐ contre), il suffit d’en effectuer l’intégrale en utilisant, comme bornes, le début et la fin de la période durant laquelle se décharge le condensateur (ce sont ici les instants a et b évoqués plus haut), puis de diviser la valeur numérique obtenue par la résistance. On a donc : Q = ! !.!" 𝑈 𝑑𝑡 = = 3.22*10!! C ! ! !"#!$ ! Afin d’estimer la précision de cette valeur, il faudrait trouver un autre moyen de calculer la capacité dans le but d’établir une comparaison. Je vais pour cela me baser sur la relation suivante : Q = C*U Etant donné que l’on cherche la charge Q contenues dans les armatures lorsque la tension entre ces dernière est maximale, il faut bien entendu considérer, dans le calcul, la valeur limite qu’atteint U lorsque le circuit est fermé, c’est‐à‐dire 5.75 V. Quant à la capacité du condensateur, comme mentionné précédemment, je me suis basé sur la valeur obtenue par calcul quelques paragraphes plus haut. On obtient alors : Q = C*U = 55.86*10!! *5.75 = 3.21*10!! C La proximité des deux résultats est frappante : 0.31% d’écart seulement ! Cependant, au cours de la double analyse qui vient d’être présentée, je pense que la diversité des concepts physiques et mathématiques développés (courants et tensions électriques, condensateurs, modèles mathématiques, intégrales…) est considérable, et importe bien plus que la détermination exacte d’une valeur numérique (même si la précision de celle‐ci est souvent révélatrice de la rigueur employée lors de l’expérience). De plus, tout cela a été accessible au moyen d’un simple voltmètre et de Logger Pro, ce qui démontre une fois encore la dimension pratique et éducative du système Vernier. 24 2.5 Analyse supplémentaire : Induction L’apparition de cette analyse dans mon travail de maturité n’était initialement pas prévue, étant donné qu’elle était à effectuer « manuellement » par tous les élèves de la classe d’option physique de Monsieur Dayer. En effet, ce n’est qu’après avoir réalisé, en séance de travaux pratiques, une expérience sur l’induction électromagnétique, qu’il s’est révélé que la résolution demandée à toute la classe pouvait être exécutée aisément grâce à Logger Pro. L’expérience consistait à relever la tension induite qui apparaissait aux bornes d’une bobine sous l’effet d’un aimant en rotation, placé de manière à ce que ses extrémités frôlent, à chaque demi‐tour accompli, une des extrémités de la bobine. Selon la loi de Faraday, un circuit électrique sur lequel s’exerce un flux magnétique qui varie au cours du temps verra apparaître une tension U = − !" !" . Etant donné que, dans notre cas, la différence de flux varie périodiquement, c’est bien sûr aussi le cas de la tension induite, dont voici le graphe en fonction du temps : Nous ne disposons pas de la graduation, mais cela importe peu ; le but de cette expérience est de reconstituer le graphique du flux Φ en fonction du temps, sans qu’une échelle soit forcément respectée. Ce sont donc uniquement la démarche de l’analyse et la forme de la courbe finale qui nous intéressent, contrairement à une série de valeurs numériques. La démarche est simple : étant donné que la tension induite à un moment précis s’obtient en dérivant le flux en ce même instant, alors le flux s’obtient en appliquant l’opération inverse à la tension ; l’intégrale. Pour mieux concevoir cela, prenons n’importe quel point de la courbe ci‐dessus, puis un second, dont l’abscisse doit impérativement être à peine plus élevée. Etant donné que l’écart, soit le Δt entre eux, est peu élevé, la portion de la courbe comprise entre les deux points peut être considérée comme un segment rectiligne 25 et, à fortiori, la forme décrite par les deux points et leur abscisse respective peut être considérée comme un trapèze rectangle, dont l’aire serait : A = !!! ∗! ! = !₁!!₂ ∗!" ! Cette aire pourrait être négative, ce qui est contradictoire et même impossible. Si l’on voulait être rigoureux, la formule ci‐dessus serait égale non pas à l’aire comprise sous la courbe mais à l’intégrale de U(t) avec, en tant que bornes, les deux abscisses initialement choisies. L’aire serait alors la valeur absolue de cette intégrale qui est la valeur calculée du flux magnétique traversant la bobine (Δφ = ϕ! − ϕ! = ϕ! si ϕ! = 0). On peut donc obtenir toute une série de valeurs des intégrales de la tension induite en fonction du temps, et donc reconstituer un graphique ϕ(t) à partir de celui de U(t). Etant donné que l’on ne dispose pas de graduation, il faut arbitrairement en établir une pour chaque axe du graphe initial afin de pouvoir calculer avec des valeurs numériques. Les valeurs de ϕ(t) seront donc relatives, c’est‐à‐dire cohérentes entre elles ; comme énoncé plus haut, ce ne sont point les valeurs numériques qui nous intéressent, mais uniquement la forme, l’aspect, le comportement de la courbe, ainsi que la démarche qu’il faut faire pour l’obtenir. Mes camarades de classe se sont vus contraints d’effectuer ces intégrales manuellement, valeur par valeur, et de placer ces données numériques dans Excel pour finalement effectuer le graphe de ϕ(t). C’est ici qu’intervient le logiciel Logger Pro ; comme précédemment expliqué, le programme est capable d’effectuer l’intégrale d’une fonction à partir de deux bornes définies, mais il est aussi possible d’y effectuer le travail que mes camarades ont à faire à la main, c’est‐à‐dire de calculer, pour un maximum de points du graphe, des intégrales dont les bornes sont très proches (donc une valeur de Δt tendant vers 0). Cela permet d’obtenir, au lieu d’une seule valeur du flux total, une série de nombres qui se répète périodiquement, que l’on peut ensuite, sur Logger Pro, placer dans un système de coordonnées afin de représenter la fonction ϕ(t). Bien entendu, avant d’effectuer cette analyse, il faut transférer le fichier sur le Logger Pro, et ce grâce à une option du programme qui permet, à partir d’une image représentant un graphique, de retrouver et enregistrer dans un tableau toutes les valeurs désirées. Il suffit en effet, à partir de l’image désirée, de placer une origine afin que Logger Pro puisse constituer un système d’axes orthonormé en deux dimensions. Il est ensuite possible de définir une échelle autre que celle attribuée par défaut par le programme, mais les valeurs numériques ne sont pas fondamentales dans cette expérience, comme précédemment expliqué. On clique ensuite sur tous les points de la courbe dont on désire voir apparaître les coordonnées dans le programme ; toutes ces données seront automatiquement recueillies et disposées dans un tableau. Il est ensuite aisé de reconstituer 26 le graphe de U(t) sur Logger Pro, et voici donc le résultat obtenu à partir de la capture d’écran présentée quelques paragraphes au‐dessus : A partir de ces valeurs, on détermine une nouvelle colonne calculée au moyen d’un outil qui effectue les intégrales dont les bornes sont infiniment proches, comme décrit ci‐dessus. On obtient donc les valeurs arbitraires du flux magnétique. Finalement, il suffit de créer un graphique dont l’axe des abscisses représente le temps et celui des ordonnées les valeurs fraichement obtenues du flux magnétique, et on obtient ainsi le graphique recherché : 27 Il ne faut pas se fier aux valeurs indiquées par les échelles que le logiciel a choisi par défaut, toutes ces valeurs du flux et du temps sont totalement arbitraires, c’est pourquoi je n’ai même pas défini d’unités. Cependant, le comportement du flux qui croît et décroît au cours d’une période est parfaitement observable, et c’était le but de cette expérience. Ceci démontre encore une fois la polyvalence de Logger Pro : même si les mesures ont été faites à partir d’un autre système d’acquisition et d’autres capteurs, il est possible de « transmettre » les données au programme, et d’en réaliser aisément une analyse relativement complexe, impossible à partir d’autres tableurs tels qu’Excel. 2.6 L’effet Doppler Exposé pour la première fois au grand public en 1842 par Christian Andreas Doppler (1803‐1853), l’effet Doppler apparaît lorsqu’un émetteur d’ondes (acoustiques ou sonores) est en mouvement par rapport à un récepteur (NB : peu importe lequel des deux se déplace). Il survient alors que la longueur d’onde relevée par le récepteur ne sera pas identique à celle qui a été initialement émise. Pour le comprendre, imaginons une voiture qui se déplace sur une route. La distance du moteur au conducteur ne varie en principe pas, ou de manière infime, au cours du temps. Par contre, pour un piéton situé sur le bord de la route, le véhicule va progressivement se rapprocher de lui, atteindre son niveau, puis s’en éloigner. Les images ci‐dessous illustrent bien le fait que, lorsque l’automobile s’approche du piéton, celui va percevoir le bruit du moteur avec une longueur d’onde réduite, puis, lorsqu’elle a dépassé son niveau et s’en écarte, la longueur d’onde perçue est supérieure à celle émise. Véhicule à l’arrêt ; les ondes sont concentriques et la fréquence ne varie pas. Cette fois‐ci, le véhicule est en cours de déplacement. La longueur d’onde que perçoit un auditeur situé devant la voiture est plus courte que si le récepteur se trouve derrière le véhicule en mouvement. Une courte longueur d’onde est perçue plus aigue qu’une longue, c’est pourquoi, lorsqu’une voiture nous passe rapidement 28 à côté, on entend une sorte de NIIIIIIIIAAAAAOOOOWWWWW (si vous n’avez jamais remarqué cela, regardez une course de formule 1 !). Il est possible, en étudiant ce décalage effectué à cause de l’effet Doppler, de déduire la vitesse de l’émetteur relativement au récepteur. Ceci a notamment été utilisé afin de déterminer la vitesse d’éloignement d’autres galaxies par rapport à notre planète – due à l’expansion de l’univers ‐ et a donc servi à mettre les physiciens sur la piste du Big Bang. Dans le cadre d’un test des équations de l’effet Doppler lors de mon travail de maturité, ce n’est pas la vitesse des étoiles que j’ai souhaité étudier mais celle de mon scooter. Le but est de relever les valeurs des longueurs d’ondes captées lors de mon déplacement dessus, puis, par le biais des modèles mathématiques, de les analyser afin de vérifier ces formules. Il m’a pour cela fallu placer le « Microphone Vernier » relié à l’interface LabQuest (voir section 1.3) au milieu d’une route longue de soixante mètres, et les parcourir à vitesse constante. Le compteur de vitesse de mon véhicule étant relativement imprécis (environ ± 2 km/h), il ne m’a donc servi qu’à m’assurer que je roulais à vitesse constante. Pour connaître la valeur de cette dernière, j’ai demandé à mon frère de chronométrer la durée qu’il m’a fallu pour parcourir les soixante mètres, et le résultat fut de 5.86 s. J’en ai donc déduit la vitesse de mon scooter : vs = 60/5.86 ≈ 10.24 m/s Cependant, un problème se pose. En effet, les deux équations de l’effet Doppler ne permettent pas de calculer les fréquences quand le scooter s’approche et quand il s’éloigne et de les comparer aux valeurs recueillies, car elle comporte une seconde inconnue : f₀, qui est la fréquence originelle des ondes sonores émises par le moteur de mon scooter lorsqu’il roule à 10.24 m/s, ce qui est difficile à mesurer. Il faut donc, à partir des formules de Doppler, effectuer les opérations suivantes : f! = f₀ !! !! ! !! Où f! est la fréquence du véhicule en approche et v! la vitesse du son dans l’air. On a, pour f! , qui est la fréquence du véhicule qui s’éloigne, l’équation suivante : f! = f₀ !! !! ! !! Comme expliqué quelques lignes plus haut, il est impossible de calculer quoi que ce soit avec ces équations sous cette forme, car elles comportent plusieurs inconnues. Cependant, il est possible de déduire f! /f! , qui permettrait de faire tomber f₀ et donnerait, littéralement : f! /f! = !₀!! !! ! !! !! ! !! !₀!! 29 = !! ! !! !! ! !! Nous disposons donc maintenant d’une méthode théorique basée sur les équations de l’effet Doppler afin de calculer f! /f! ; il ne reste plus qu’à comparer cette valeur calculée à celle obtenue à l’aide du microphone Vernier et de Logger Pro. Voici le graphique de la pression sonore au cours du temps, relevé par le micro durant mon déplacement en scooter : Afin de relever la fréquence lors de l’approche de mon scooter ainsi que celle lorsque je m’éloigne, il possible, sur Logger Pro, d’ajouter des histogrammes basés sur la « Transformée rapide de Fourier » (FFT ; ils sont joints ci‐contre), qui permet de passer d’une représentation de la pression sonore en fonction du temps à une représentation de la répartition de l’intensité acoustique en fonction des fréquences. Ces dernières sont alors disposées dans un histogramme, comme ci‐contre. Cela permet donc de savoir quelle était la fréquence prédominante avant que je n’atteigne le micro (f! ) ainsi que f! . Je disposerai enfin de la valeur de f! /f! obtenue grâce au matériel Vernier, et pourrai la comparer à la valeur théorique (cf. page précédente). Comme on peut le voir sur les histogrammes, le f! mesuré vaut 395.02 Hz (barre rouge la plus haute du premier histogramme) et f! = 376.95 Hz. Il ne reste maintenant qu’à effectuer les calculs ! 30 Commençons par la valeur théorique, obtenue grâce aux formules de l’effet Doppler. On a vu, quelques pages précédemment, que : f! /f! = !! ! !! !! ! !! Il faut tout d’abord calculer v! , soit la vitesse du son se propageant dans l’air ce jour‐là. La formule à appliquer dans ce cas‐là est la suivante (tirée directement d’un dossier de Vernier sur l’étude de l’effet Doppler) : v! = 331.45 1 + !! !"#.!"°$ !" = 331.45 1 + !"#.!"°$ = 345.12 m/s Avec T! comme valeur de la température au moment de l’expérience, exprimée en degrés Celsius, et qui était de 23°C. On a donc : f! /f! = !! ! !! !! ! !! !"#.!" ! !".!" = !"#.!" ! !".!" = 1.061 Finalement, avec les valeurs relevées grâce au FFT : f! /f! = !"#.!" !"#.!" = 1.048 Ces résultats sont remarquablement proches ; en effet, si on en calcule l’erreur relative, on obtient uniquement 1.32%, ce qui veut dire que les mesures effectuées par le microphone étaient vraiment très précises. Un tel niveau d’exactitude est réellement satisfaisant, cette expérience fut donc une réussite. Il ne faut pas non plus oublier de citer l’efficacité de Logger Pro, dont les histogrammes FFT furent une aide indispensable. 31 2.7 Instruments et richesse de leur timbres Chacun d’entre nous sait ce qu’est une note de musique, en détail ou superficiellement selon l’intérêt que l’on y porte. Il s’avère que, pour différencier deux sons entre eux, on en examine les quatre caractéristiques suivantes : ‐la durée : elle définit le laps de temps durant lequel la note est jouée. ‐l’intensité : la note peut être émise de manière forte ou plutôt faible. Les musiciens qualifient les différentes intensités en parlant de nuances ; subjectivement, il s’agit du volume sonore produit par l’instrument. ‐la hauteur : elle se réfère à la différence entre un son aigu et un son grave. Selon une approche scientifique, la hauteur d’une note correspond à la fréquence (en hertz) de l’onde sonore émise par l’instrument, autrement dit le nombre de fois que, chaque seconde, le son vibre dans l’air. ‐le timbre : il est propre à chaque instrument, c’est ce qui fait que l’on percevra de manière différente une note de même durée, intensité et hauteur selon l’instrument qui l’émet. Le timbre dépend de plusieurs causes relativement complexes, mais, pour simplifier, on ne considérera que son principal facteur, qui est l’amplitude des harmoniques de la note jouée. Il est possible de relever ces derniers en mesurant la pression sonore en fonction du temps à proximité d’un instrument et de disposer les valeurs dans un graphique ; on observera alors des « pics » caractéristiques de la fréquence sonore, autrement dit de la hauteur de la note émise. En observant les graphes de certains instruments, comme ceux du piano, on s’aperçoit qu’ils comportent des pics bien lisses, alors que sur d’autres graphes, de nombreuses irrégularités viennent parcourir la courbe (sortes de petits pics sur les pics). Ces espèces d’imperfections sont les harmoniques, et moins le son d’un instrument en comporte, plus il est pur. La fonction première de cette expérience est d’observer, puis de déterminer, de manière qualitative, quels instruments émettent un son plus harmonique que d’autres. Etant difficile de se baser sur les graphes de la pression sonore en fonction du temps pour définir si un son est plus harmonique qu’un autre, j’ai eu recours, comme lors de l’expérience de la section 2.6 sur l’effet Doppler, à l’outil nommé FFT (Fast Fourier Transform), qui permet de répartir, dans un histogramme, les différentes fréquences qui composent le son selon leur intensité acoustique respective. Chacun des FFT comportera une fréquence dont l’amplitude est supérieure aux autres : c’est celle qui définit la hauteur de la note. Mais d’autres fréquences seront observables : elles correspondent à celles des harmoniques. Plus le graphe du FFT sera composé de ces fréquences dont l’intensité est moindre que celle de la principale, plus le son de l’instrument sera riche en harmoniques. Il s’agit donc de comparer ces différents histogrammes entre eux, et d’établir quels instruments produisent les sons les plus purs. 32 Il m’a pour cela fallu solliciter la collaboration de talentueux musiciens de ma classe ; chacun d’eux a joué, muni d’un instrument différent, exactement la même hauteur de note, qui s’est avéré être un mi dont la fréquence prédominante est d’environ 41.2 Hz (il n’est pas nécessaire que la durée d’application ainsi que l’intensité sonore de la note soit identique pour chaque instrument). J’ai pu relever, à l’aide du microphone Vernier connecté à l’interface portative LabQuest, la façon dont varie la pression sonore à proximité de chaque instrument. Etant donné que j’ai effectué les mesures pour cinq instruments différents (qui sont la trompette, le violon, la guitare, le violoncelle et le piano), et que j’ai dressé, pour chacun d’eux, un graphique de la pression sonore en fonction du temps et un histogramme FFT, il ne m’a pas semblé judicieux de placer les dix graphes ci‐dessous, et ce dans le but de ne point surcharger cette section. J’ai donc choisi de ne montrer, ci‐dessous, que les FFT respectifs de la guitare, du violoncelle et de la trompette. Les cinq graphes de la pression sonore et les deux FFT manquants sont joints en annexe, les curieux ont donc la possibilité de les consulter. Voici maintenant l’histogramme de la guitare : On distingue aisément la fréquence la plus intense, qui est d’un peu plus de 40 Hz, et d’autres fréquences dont le signal est relativement ample, toutes comprises entre 35 et 45 Hz. A part celles‐ci et les quelques harmoniques dont les fréquences sont inférieures à 12 Hz, le son de la guitare n’en comporte pas beaucoup. Comparons son FFT à celui du violoncelle, également un instrument à cordes, qui figure à la page suivante. 33 Il est évident que le son du violoncelle est beaucoup plus harmonique que celui de la guitare ! En effet, les barres de l’histogramme sont bien plus fines, ce qui témoigne qu’il existe beaucoup plus d’harmoniques différentes. De plus, elles se répartissent sur l’entier de la largeur du FFT, de 0 à 50 Hz. Quelles sont donc les raisons qui font que le son du violoncelle soit beaucoup moins pur que celui de la guitare, dont les ressemblances sont pourtant nombreuses ? Je suis convaincu que cela vient du fait que le guitariste pince (ou gratte) les cordes de son instrument, alors que le violoncelliste les fait vibrer en les frottant avec son archet. Afin conforter cette hypothèse, il suffit d’observer, parmi les documents annexés, le FFT du violon (dont les cordes sont également frottées par un archet) : il contient autant d’harmoniques, voire plus, que le violoncelle ! De plus, à l’instar de celui la guitare, il s’avère que le FFT du piano, dont les cordes sont frappées, comporte très peu de barres représentant les harmoniques. C’est donc le fait de frotter les cordes à l’aide d’un archet qui rend le son si riche en harmoniques. Observons maintenant le FFT d’un instrument à vent, de la famille des cuivres, la trompette : 34 Le son que produit cet instrument est clairement plus pur que celui du violoncelle, mais également plus riche en harmoniques que celui de la guitare. Je ne suis malheureusement pas parvenu à analyser un autre instrument à vent qui aurait pu servir de moyen de comparaison. Les harmoniques sont perçus par l’oreille humaine et définissent le timbre d’un instrument, et en ce qui concerne l’analyse qualitative que je voulais réaliser à ce sujet, je suis plutôt satisfait de la clarté des résultats. 2.8 Spectre lumineux Ce qui est communément appelé lumière est en réalité la seule « variété » d’onde électromagnétique que l’œil humain peut percevoir. Ces ondes peuvent être représentées et classées par ordre de leur longueur respective, on obtient alors ce qu’on appelle un spectre électromagnétique, tel celui‐ci : Comme on peut le constater, les micro‐ondes, les rayons X ou encore les ondes radio sont toutes des ondes électromagnétiques dont la longueur peut aller de moins d’un millième de milliardième de mètre (1 picomètre) à plusieurs centaines de mètres, mais notre œil n’est sensible qu’aux ondes dont la longueur est comprise entre 400 et 800 nanomètres. Dans cet intervalle existent toutes les couleurs que nous pouvons percevoir, et c’est aussi la longueur d’onde qui définit si la lumière que capte notre œil est bleue, verte ou de n’importe quoi d’autre. Lorsque toutes ces longueurs d’ondes sont rassemblées, la lumière résultant du mélange est blanche ; le noir se caractérise, à l’inverse, par une absence de 35 lumière. Chaque source émettant de la lumière de manière différente, il est intéressant de décomposer et représenter un rayonnement dans un spectre d’émission, qui démontre quelles longueurs d’ondes y sont comprises, et quelles raies du spectre composent la lumière que l’on perçoit. Il existe des lampes fonctionnant à la vapeur de certains éléments chimiques, telles des lampes à vapeurs de sodium. Selon la matière employée, on obtiendra une lumière de différente couleur ; le but de cet expérience est de relever, à l’aide du Spectrophotomètre Vernier (voir section 1.3) connecté à Logger Pro via l’interface LabPro, plusieurs spectres d’émission provenant de différentes lampes à vapeurs et de les comparer entre eux. Il suffit donc de placer le capteur en face de la lampe, d’empêcher tout éclairage autre que celui‐ci, et de lancer la collecte de données. Il faut ensuite représenter dans un graphique l’intensité respective des longueurs d’ondes par rapport à l’intensité lumineuse totale. Autrement dit, il faut placer les longueurs d’ondes de la lumière visible sur l’axe des abscisses et indiquer, sur l’axe des ordonnées, leur « intensité relative » dans le signal émis. Le graphique d’une source qui ne produirait que des ondes ayant toutes la même longueur ne sera donc constitué que d’un point dont l’abscisse sera la longueur d’onde et l’ordonnée sera 1, et toutes les autres abscisses auront pour image le nombre 0. Ce comportement n’a cependant, à ma connaissance, jamais été observé avec une simple lampe. J’ai réalisé l’expérience avec deux sources lumineuses différentes : voici le spectre d’émission de la première, une lampe à vapeurs de sodium, dont l’éclairage nous apparaît orange‐jaune et relativement vif : 36 Le spectre du sodium est constitué d’un seul « pic », on peut donc en déduire que la longueur d’onde majoritairement émise est de 590.9 nm, ce qui correspond à une couleur difficilement définissable entre le jaune et l’orange. Comme on peut le supposer à la vue de cette capture d’écran, j’ai tenté de modéliser la courbe avec deux fonctions : la première est la distribution lorenztienne, qui apparait en bleu. Elle ne se superpose pas parfaitement à la courbe rouge, j’ai donc tenté de modéliser, cette fois‐ci, avec une distribution gaussienne (en vert sur le graphe), dont la formule est la suivante (la variable x exprime la fréquence) : f(x) = ! ! 𝑒 ! !! !!!₀ ! /!!² Où σ désigne l’écart‐type de la distribution. Comme on peut le voir, elle est relativement bien superposée au pic (contenu entre les deux bornes noires), l’ajustement gaussien est donc mieux adapté au spectre d’émission d’une lampe à basse pression que le lorentzien. Voici maintenant le spectre d’émission complet provenant d’une lampe à vapeurs de mercure, dont la couleur est d’un bleu blanc très pâle : Comme on peut le constater, le spectre du mercure comporte deux pics distincts, ainsi qu’un troisième, sur la gauche, dont l’intensité est beaucoup plus faible. La longueur d’onde pour lequel l’émission est la plus intense vaut 550 nm, et le sommet du second pic, légèrement moins ample, se situe à une longueur d’onde de 579.2 nm, ce qui correspond respectivement à une couleur verdâtre assez vive et à du jaune. C’est donc le troisième pic situé entre 400 et 450 nm (couleur violette) qui fait que la lumière de la lampe est bleue et non jaune‐vert. Cependant, il est difficile de le modéliser, en raison de sa forme écrasée. J’ai 37 donc placé un réseau de diffraction devant la lampe, afin de « séparer » la lumière en trois bandes, correspondant chacune à un des pics. Il suffisait ensuite de placer le spectrophotomètre en face de chaque bande afin d’obtenir les trois pics nets et précis qui suivent, de celui de gauche (violet) à celui de droite : 38 Comme on peut le constater, j’ai ajusté les courbes avec un modèle mathématique. Etant donné que le fabriquant n’avait, contrairement à celui de la lampe de sodium, pas indiqué si son produit était à haute ou basse pression, mais qu’il est bien plus puissant que la premier, on peut supposer qu’il s’agit d’une lampe à haute pression. Le modèle qui correspond n’est donc pas une fonction gaussienne mais une distribution lorentzienne, du type : f(x) = !"/!! !" !₀!! ! ! ( )² ! Mis à part pour le pic de gauche, dont la courbe n’est pas parfaitement superposée au modèle mathématique, la distribution lorentzienne est relativement bien adaptée au phénomène observé. Seuls les sommets des pics de droite et du milieu ne concordent pas avec l’ajustement. J’ai peut‐être été négligeant en omettant d’éliminer une source lumineuse autre que la lampe au moment des mesures, ou alors une convolution des fonctions gaussienne et lorentzienne est‐elle nécessaire dans le cas de la lampe à vapeurs de mercure. Quoi qu’il en soit, cette expérience de spectrométrie fut intéressante, car elle m’a permis de me focaliser sur un thème que je n’avais jamais étudié et d’acquérir de nouvelles connaissances. 39 3. Remarques et conclusion 3.1 Critiques du matériel Vernier C’est dans cette section qu’il m’incombe de dresser la liste des qualités et des défauts du matériel mis à ma disposition dans le cadre de ce travail de maturité. Il est évident qu’avoir accès aux capteurs et à tout le système d’acquisition et d’analyse Vernier est une chance pour quelqu’un qui porte de l’intérêt pour la physique, car la précision et la qualité des mesures est tout simplement phénoménale, et offre un foisonnement de possibilités d’expériences. Cependant, il n’a pas toujours été évident de comprendre la marche à suivre des travaux proposés, les divers modes d’emplois des capteurs et interfaces, et les subtilités du logiciel Logger Pro, pour la simple mais parfois contraignante raison que tout était écrit en anglais ! Concernant les inconvénients du système, je les ai trouvés bien anodins en comparaison à ses avantages. Malgré quelques rares et insignifiants problèmes rencontrés avec les capteurs (données erronées avec le « Motion Detector » à cause des réverbérations des ultrasons avec le rail, mauvais calibrage du « WDSS »), il me paraît évident que les limites du système, bien qu’existantes, ne soient pas une embûche ou un souci quelconque pour des expériences de niveau gymnasial, et n’ont en aucun cas perturbé le déroulement de mon travail de maturité. 3.2 Conclusion Je ne me suis pas, à l’inverse de beaucoup de camarades, focalisé sur un thème relativement spécifique et précis, mais plutôt sur l’aspect polyvalent du système, c’est pourquoi il m’a été possible d’enrichir mes connaissances dans de multiples disciplines de la physique (mécanique, électricité, ondes). Réaliser toutes ces expériences et analyses m’a permis, en outre, de parfaire ma compréhension de certains détails qui demeuraient relativement flous (à propos, notamment, des condensateurs et des frottements au sein des fluides), ainsi que de découvrir de nouveaux domaines dans lesquels mon savoir était auparavant extrêmement limité, tels que la spectrométrie ou les harmoniques. De plus, il 40 s’est avéré que, sans vraiment m’en rendre compte, j’ai pu améliorer ma rigueur, mon autonomie, ma maîtrise du matériel de laboratoire et ma vision de la méthode scientifique à employer lors de résolution de travaux pratiques. Sans oublier qu’à force de devoir me plonger dans des textes scientifiques écrits en anglais, ma connaissance de cette langue s’est améliorée ; plus particulièrement, mon aisance à la déchiffrer s’est fortement accrue. Bien qu’il soit évident que l’élaboration de ce travail de maturité m’ait été profondément bénéfique, je serais extrêmement satisfait si, dans un futur proche, il servait d’exemple et de marche à suivre pour d’autres élèves désirant réaliser des expériences analogues aux miennes, et à plus forte raison s’il contribuait à l’utilisation du matériel Vernier lors de travaux pratiques au gymnase Auguste Piccard. Ce fut un plaisir et même un privilège pour moi de disposer d’un matériel si performant et de réaliser toutes sortes d’expériences enrichissantes. Je remercie bien sûr Monsieur Roger Dayer qui a supervisé et encadré, avec patience et pédagogie, ce travail de maturité durant de nombreux mois. N’ayant jamais hésité à donner de son temps pour m’assister au cours d’expériences difficilement réalisables tout seul, il est évident que, sans cette aide, la qualité de mon travail serait bien en deçà de ce que j’ai pu présenter, et qu’il y manquerait de très nombreux éléments. Il va également de soi que ma reconnaissance se porte au gymnase Auguste Piccard pour avoir mis le matériel Vernier à ma disposition. Finalement, je désire exprimer ma gratitude envers mes camarades musiciens ; merci à Lydia Schmutz, qui a joué du piano, de la guitare et du violon, à la violoncelliste Alicia Rieckhoff, et finalement, au virtuose de la trompette Josquin Piguet. 41 4. Annexe Comme explicité en section 2.7 « Instruments et richesse de leur timbre », je joins à ce travail de maturité les graphes des instruments qui ne figurent dans l’analyse, c'est‐à‐dire tous les graphiques de la pression sonore en fonction du temps, ainsi que les FFT du piano et du violon : 42 43 Voici désormais les transformées de Fourier rapides établie en se basant sur les graphes du violon et du piano : 44 45 5. Références Il m’a fallu, afin de réaliser ce travail de maturité, avoir recours à un certain nombre de connaissances théoriques acquises en cours de physique, par exemple à propos de l’impulsion, des frottements dans les fluides ou encore de l’induction. Cependant, il a bien entendu été nécessaire que je complète mes connaissances dans certains domaines, notamment l’effet Doppler et la spectrométrie. Voici donc les références des sources qui m’ont permis de me documenter : • • • • • • • Le livre Physique 3 : ondes, optique et physique moderne, d’Harris Benson, édité par « De Boeck », m’a permis d’en savoir plus au sujet des ondes, et plus particulièrement sur la Transformée Rapide de Fourier (FFT). Le Dictionnaire de physique, de Pascal Febvre, Loic Villain et Richard Taillet, est un ouvrage foisonnant de définitions ayant trait à la physique. Egalement édité par « De Boeck », il contient les descriptions des distributions lorentzienne et gaussienne. Les ouvrages Mécanique et Electricité et Magnétisme, de Vincent de Coulon, contiennent des informations au sujet de la cinématique, des condensateurs, ainsi que de l’induction. Le site internet http://effetdoppler.linkfanel.net m’a fourni de nombreuses informations à propos de l’effet Doppler. Le site officiel de la marque Vernier, http://www.vernier.com, contient une multitude de renseignements concernant la société elle‐même, ainsi que le matériel qu’elle développe, et des descriptions d’expériences réalisable. De plus, les images du matériel Vernier (capteurs et interfaces) de la section 1.3 « Descriptions et illustrations du matériel » sont toutes tirées de ce site. Le livre Physics with Vernier inclut un cd contenant tous les schémas de montages que j’ai joint à mon travail, par exemple pour l’impulsion ou la détermination de g à l’aide du rail incliné. Les notes de cours m’ont permis de me renseigner ou de me rafraîchir la mémoire, notamment à propos de la mécanique (frottements, cinématique, impulsion). 46
