Prégroupes de mots et problème des mots

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
J ULIAN P ETRESCO
Prégroupes de mots et problème des mots
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 21, no 2 (1967-1968), exp. no 17,
p. 1-11
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1967-1968__21_2_A8_0>
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Séminaire DUBREIL-PISOT
17-01
(Algèbre
et Théorie des nombres)
21e année,
n° 17
1967/68,
29 avril et 6 mai 1968
PRÉGROUPES
PROBLÈME
DE MOTS ET
DES MOTS
par Julian PETRESCO
1.
Prégroupes.
On considère
prégroupe
(l)
un
P(E)
et l’ensemble
E
ensemble
des
parties
de
E .
E
est
un
si :
Deux
applications f :
distinguées. Si a y b eE y
A y B ~ E et a)=={2014 y ~}
E xE
P(E) sont
b) y a20145>b==g(ay b) . Si
et
2014>
note :
on
,
A03C9B =
(au)b) .
U
E xE
g :
Enfin :
2014>
.
a~A, b~B
(2)
a’
(3.)
(3?)
e
a ~ a’ 2014>b .
==>
a2014
(b-c) c;(a2014b)-2014c ;
a~
(b->c) ~(a~b)
-~c ;
(3~) (a-~>b)-’cc(a~c) 2014~b .
(a u). a~ (D ... ~ a ) est expression comportant
une
03C9i
e
{~ , ~}
de manière
et les
n
éléments
en
particulier
arbitraire ;
a y a2 ,
Des notations analogues sont utilisées pour
(2 t )
a é
(3~)
( 3~)
O+>
-->
(a- b)
-+
(3j)
( 3j)
l* -*
PROPOSITION 10 1
~
b ,
a ->
a ->
(b +- C)
(b - c)
(valable
~1 °2
pour
°
°
b
# jlÉ
G
(& -> C)
( a +- c )
z
B, 1
~°n
I
~n
=>
... y
dans cet
1
signes
ordre, associés
E
à la place des
(a
->
i
a OE
a
n -
->
b .
-
b .
b)
cE-
a, é
1
b .
E).
~~" ~ ~
° °
’1 ~l
E . 0n
a:
(valable
PROPOSITION 1. 2
A. E ).
pour
(a~ a~ ...~- a~, ~ (a~~- a~~- ~. ~ a~ sa
(valable
PROPOSITION 1.3
E
est
prégroupe
A.
pour
s
~-a ~.-...~a,i .
E ).
unitai re si :
On note :
PROPOSITION 1.4. - Si
E
est
unitaire,
a ~
b
est
une
relation
d’ordre ;
bab.
F
E
(6)
est
sous-prégroupe
a , b E F
de
E
si :
===>
sous-prégroupes est sous-prégroupe. Si X c E ,
sous-prégroupes contenant X est le sous-prégroupe engen-
L’intersection d’une famille de
l ’intersection
dré par
(X)
des
X.
Sillon considère
l~j~m-1 ;
l~i~n-1 ;
... ,
A
"
~!m
(u.!p
=
(jû.O
On convient que
(
=
0)" y
Enfin :
... y
A
on
~ A ...
(jo.l
=
écrit
1 ~
A =A~
w.n
o)!l
o).n
A B ==A .
....
Par
....
...
...
exemple :
Si
==o) y
de sorte que, par
03C9i 03C9i 03C9i
PROPOSITION 1.5. -
(X)
--
PROPOSITION 1.6. -
a E
’bX
et
A - A ,
exemple, A
i
X
X~ X~ .
-
c~.
Prégroupes
2.
G
Soient
(ri)
suite ;
s3.
r2 r2
de valeur
fini
J
Si
R
de
(on
noté
i ;
0n note
...
r =
n
S I
n
=
R ~ S
R ~ S
S,
relation
une
... ,
S
{a03B1} 03B1~I
r. 1
d’équivalence.
R)
z
R
sm~
r,
i
03B1i E I 9 ~i
est dit
ou encore
r r
est dit
r,
j
de
R
est dite
A-
défini par
est le mot dêa
A-mot
Si
S
R , notée
est majeur
n +
1
A-mots
R ;
en
particulier
segments
de
R
avec
s :
de
R . Un sous-mot
(r.i , r.)
j
X(R) ; (jlÉ , 1) est
si x(S)
a§ x(R) .
si l’on
l’ensemble des
A-mots
r .
segment
S
l’ensemble des
...
de valeur
o . Un cosegment
sont les
G ;
a
n.
s . -
avec
cosegment
dans
{1 , - 1}
E
a
1
est la longueur de
S
E
le couple ( ri) , r)
r...
i+i
,
est
ensemble indexé d’éléments
un
--
rEG,
... ,
obtenus par insertion de
Si
=
note
(r.J- , r.)
j
écrit
x(i)
avec
r ,
rj) ;
R -
rn
= ~ s1. y
1 ç j ,
A
groupe, et
...,
~
est
de mots.
un
=
l
a
S
Si * ...
z
-- S - S ,
S
ou
le mot
on
note
%-£ £b
obtenus par
expulsion
d’un
S
segment =
de
si de tels
R ;
segments n’existent pas,
R~~S-~ ~
L’ensemble des
est
un
prégroupe
A-mots
R~
éléments de
après
r.
R
R ~ S
y dans
circulaire si
en
est
S
~~ ~>
1ensemble des
R ;
comme
(J’unité
unitaire
S ~
On note
avec -
égalité,
muni des
1)
lequel
est
dans
=
à
segment
un
A-mots obtenus par
n
opérations
de
~-
R .
permutations
circulaires des
particulier
U~’~ ~~~
S0
est le mot de
Ra Si
X
est
ensemble de
un
X
commençant
de sorte que
par le
premier élément
R;
A-mots,
X
S
de
X
est
est circulaire.
PROPOSITION 2 c ~ o
30 Mots segmentés.
Soit
on
p’
un
ensemble de sous-mots
considère le segment
de
S. On note
appartient à
que, noté
On
un
t r.Zp
~
appelle
manière que :
11
p
l’ensemble des
So
E
p’
unique,
,
non
R . Si
vides
S’ ~
ri
r....
ri
,
p
r ) R , et l’on dit que S’est le support
lp
S ~ R
supportés
noté (r.)
i p, ,
par les
donc
au
S t
R . Tout
support d’un
SEp
ri
E
uni-
,
de
S
E
le
segment
r,
de
R
R
est
segmente
(r) ~
(1k)
=>
e S
une
segmentation
Si
X
est
S =p;
si pour tout
(ri)03C1 ~ Sk ,
==>
ri ~ Sk
ou
pour tout
ou
est
un
segmenté
ensemble de
dans
A-mots et si
couple
S , S
6p
dit que le sous-mot
dans
R
segmente
est
p*
par
c
X ,
on
dit que
X .
PROPOSITION 3.1. -
ILu
est
R,.
S’
U
=
==>
est
R~o
g,~
segmenté
On
p’0 .
20142014201420142014201420142014201420142014
et que la segmentation
permis,
2014
est induite par
p
p
R,..
PROPOSITION 3.2. - Soient
partenant à
R«--S
induite par
PROPOSITION
p*
R
S
segmentes par
est segmenté par p’ ucr’ . Si
dans S , l’élément R-
3.3. -J~
p’=
et
est l’ensemble des mots
p’ et o’ . Tout
S
est
est
él,ément,
segment permis
un
segmente
ap-
et
par p’-cr’.
(R) , l~q~p ,
R
~=-=>
X
R)
de
S ~S .
avec
o’
est
===> (r~)
===> (l°) S1 ~ S2 ~ 1
R
p
==> (r~)~
~ s
~=> (l) r~
(ou
p’
par
segm.entés
dans
est
segmenté
pax
p’
,
X .
4. Mots réduits.
On note
1.6,
R
R ~
E
A -
A0
SA03C9i0
R i
l’ensemble des
est
une
rel ation
d’équivalence, notée,;:;:.
et circulairement rédui t si
PROPOSITION 4.1. -
R
réduit
a£ â E . D’après
A-mots de ia forme
==>
R
R0 ~ A0
de
=
R
la
proposition
est réduit si
_..._._.
R0 .
longueur minimum dans
sa
classe
w,
Toute classe
de
contient
un
mot réduit
unique, noté
~
R* ,
et
appelé
le réduit
R .
PROPOSITION
c~.~’
+-
4.2. ~- A0
0
~
R ~ S
~>
R
E
w. l .~
Sg0
~i
0
S’~1
-
~...
>
R
E
Os
Ainsi~
R
R
e
R
u’y’ y
y’
de
R);
une
diaprés
donc
On dit que
~A~ .
la
proposition 3.3y
est réduit par
R
R
est
(ou
y’
segmenté
est
y
réduction n’est pas unique. On appelle reste de
une
par
réduction
suivant
R
y ~ le
~
sous-mot
R
~
Systèmes
5
On note
S’
U
==
et l’on
l’ensemble des
A
si
A
(i).
trement dit si
A
=
A03C9i0 ,
Parmi les réduits des
exemple
~0
=
U
R
R .
ou
= X03C9iA ;
R
On note
=
R0 ,
R
il
(qui
existe de
dépend
ne
X
et si
(ou
proposition 4.2,
la
on
1 )~
X
y
de
R.
X
est
un
est
un
A =
si
R. )~
au-
A...
cycliquement réduit,
pas du choix de
sys-
par ~ ,
est relié
est libre
diaprés
encore,
A-mots de
A
valeur
est relie par
A
~ A0 .
A)
(de
A-mots unitaires
A-mots, XA = X ~ X-1
terne de relateurs de
X
pour toute réduction
=R
~
de relateurs.
ensemble de
par
R
a
S’ey’
soit
et
~0
.
ReX
PROPOSITION 5.1. Dans la
suite,
on
relié par
A
peut
ensemble circulaire de
X
===>
A
donc supposer que
X
==
X
9Fo
,
c’est-à-dire que
X
est
un
A-mots circulairement réduits.
X~=
PROPOSITION 5.2. -
X*0 .
relié par
S
=>
R
X." y
ce
~=> S~ReX~ .
6. Mots propres.
étant relié par
A
proposition 3.3y
que le
par
6
la
R
que
couple
peut supposer que
du paragraphe 3. Si
et
X ,
on
considère
qui
revient à
dire, diaprés
la
On suppose que R est réduit
segmenté par
ri r e y’ et, en permuttant au besoin i et j , on
= 1
n
ou
diaprés la formule (l~)
p
c
a
réduction induite par
R
e
est
(rj p (r )
est la
PROPOSITION 6. 1. -
R
est
(r.)
(r~)~ ,
segmentation induite par
y
dans
segmenté
par
(r. ~ r..)
p’
et réduit
dans
p
y
on
(r.)
note
==
(r. r. )
~ ~2
R ~ R .
y
Parmi les
S’
e
Le
X
et les
A
S’
supports
couple
p’
~
c
x
S’
u
R
r.
X
=
u
X"
X
e
u
u
A0 ,
X"~ .
on
distingue
les
A0-supports
est dit propre si les trois relations suivantes sont incom’
patibles :
R
est propre si tous les
PROPOSITION 6.2.de réduction
R
couples
propre
ey’
r_ r
R
r.
sont propres.
2014 J
Pour toute réduction
===>
(ri)03C1’
est tel que
(rj)03C1’
et
de R ~
y
un
couple
sont des
.20142014(r.) ~~1 .
supports
~’
-
Xy
On considère maintenant dans
les classes
-.
n
X~A ,
X~A
=====>
d’équivalence
suivant
(~).
PROPOSITION 6.3. -
R
de
longueur minimum dans
sa
classe
n
R
pro-
pre.
De la
V R
Rpr
B
e
X~A
tout mot de
sorte,
.==> R~
a une
présentation propre,
R ~
propre ~ X~A:
Rpr .
~
A~
On note
X -~
X~
B
e
?==>
=
1
A
~===~
étant relie par
Décider si
B
X
que :
(proposition 4.2)
P ~
R~ ~ S~
l’ensemble des mots propres de
Problème des mots :
Décider si
R~ S X~
sens
u).
===>
=====>
==>
ce
On a :
~
=>
en
~A ~o
X~
(proposition 5.2)
(proposition 6.3) .
e
X" .
et
B
un
A-mot réduit :
est le réduit
R
e
X"~ .
7. Résidu. Mots simples.
p
est le
Rq ~ R03B3 ~
degré
R
de
est dit
R , noté
03B3-résidu
6(R) .
de
Si
p
Le
est
une
03B3-résidu
réduction
R
n
R
L
R , le
est simple
sous-mot
est
plément
ples ;
R , R et R (ce qui implique qu’il est, soit segment,
Q
Y
segment des trois). R est 03B3-simple si tous les 03B3-résidus
de
cosegment
de
simple s’il
il est
Soient
soit
com-
’
U
et
U
les
Q
premier élément
ainsi que
de
U ;
at~
est
pour toute réduction
03B3-simple
segments supportés
par
V
G
Q
tel que
V
V
q
q
R
n
àq .
R
y .
dans
et
R
Y
q
sont sim-
R ;
q
le
r,
1
On considère
définis par
p’
Or.
PROPOSITION 7.1. -
PROPOSITION 7.2. -
S,
R
T
segmentés
sont
propre
S ,
==>
Rq1
par
T
R
q
UT’ .
propres.
Il s’ensuit que :
de sorte que, si
pour
une
M
est l’ensemble
certaine réduction
comprenant
y , deux
X
u
,
et les
y-résidus simples majeurs,
R
~
on
a
la
ayant,
proposi-
tion suivante :
PROPOSITION 7.3. - Un mot
mitif)
est
R
M
e
de
degré
minimum
(qu f on appellera
simple~ n’ayant que des
On remarque que
R ~ M
a
de toute
façon un y-résidu simple majeur qui
--
(X
ment de
Un mot
est
u
X)-support.
simple
régulier,
X~ ~~
pri-
R
e
(X
M
u
est
singulier. Le système
est ser-
de relateurs
X
si :
==
M
~==>
(X
=
M
T===>
(X
u
ne
contient pas de mots primitifs
ne
contient pas de mots
singuliers
(prop. 7.3) ;
(prop. 7.3).
Relateurs progressifs et réguliers.
8.
R
e
X~prA
est
R
X~~
X(R") 03BB(Rq) ,
si
progressif
q
1
X
P ;
est
progressif,
si :
Tout
~
est
progressif
Tout
====>
R
(x
e
u
X"~)~’~
est
progressif
(proposition 6.2).
PROPOSITION 8.1. -
Algorithme
A
et
progressif
de Dehn. - Soient
X
~
R.
X
B
B~-
R
avec
détermine les couples
B
«--
Si
R
X
(R ~ B )
~(B ) ~ X(B ) ~ etc.
avec
est
cet
progressif,
tif).
R
B
~
est
X. y
est
un
R .
donc
B
comporte
un
élément de
=
un
système
suppose
et
p’
e
R
de
S.
T.
J
~
(R. ~ B,) tels
~.X(B ) . Pour chaque
X(B)
tels que
négatif),
soit
l’algorithme
de relateurs de
soit ré-
B
que
(R ~ B ) ~
couple
soit réduit d’un élément de
B
en ce
B
sens
que pour
B
est
certain
un
(l’algorithme
1
==
relatif à
pour toute réduction
03B3-résidu
S.
X
est
posi-
et alors
positif,
1 .
simple~
On
est
mot de Dehn si
résidus simples de
mot de
réduite
algorithme est fini,
soit Bn (l’ algorithme
n :
A-mot
un
détermine les couples
u
duit d’un élément de
on
X(S~) ~ X(T~) ~ X(R~) .
===>
c
u
X-1 ,
en
plus que parmi
de
tel
X
que
R
de
T.
J
y :
R’ =E
remplaçant
au
S S
besoin
J
r.
~j
0
R
R
présentations simples
les
longueur maximum, Si
e
...
y
on
S ; S.
un
autre
R* ,
R
par
de
y-
est le premier
note
et alors
PROPOSITION 8.2e ~.
où
Rc
est segmente par ~Rc ~
fl
s
(P~
,
J
P,
de sorte
~
~.
PROPOSITION 8.3. -
R
propre
-......~-r._..
~=>
P,
J
X
régulier
====>
X
progressif .
Rc
,
Rc
,
...’
R° t
qm
propre.
......
PROPOSITION 8.4~ - Un mot non-progressif de
que :
... ,
degré
minimum est
singulier,
de sorte
PROPOSITION 8.5. -
X
régulier
>
X
tel que le
des mots est réso-
problème
lubl e p ar l’ algorithme de Dehn.
9. Mots primitifs.
On suppose maintenant que
R ,
R
comporte
propositions
Sj ~ Ø
nombre de
un
8.2 et
présentations primitives (donc simples) de
minimum. Puisque, d’après les
y-résidus
8.39
les
parmi
P,
E
J
(X
avec
03B4(Pj)
J
P.J ,
résidus simples majeurs, qui, étant donné la forme de
PROPOSITION 9.1. - On a, à
--- avec
U J""
.+1
Sj Uj+1 , Uj+1
Q U.
J
pour
J
un
une
Qj U-1j , U-1j
permutation
S,J
6(R) y
circulaire
a
deux
y-
nécessairement :
sont
s
P.
près :
segments majeurs de
R
sauf
t
peut-être
certain j .
_..w~-.
Si
on
a
PROPOSITION 9.2. -
lier9
P
D’après
X
L’algorithme
de Dehn relatif à
contient deux cosegments majeurs de
les
réguli er
Dehn relatif
Rq ~
P*
est
R
y
qj
positif.
1
j
En
’ ..
m ,
propositions 9.1. et 9.2 :
>
à (Q-11
Pour toute
a
..
Q-1m)*
suite (2)
est
de mots de X
u
l’algorithme
de
négatif.
Si la condition est vérifiée pour tout
de Dehn relatif à B si ô
m
03BD ,
on
peut décider
par l’algorithme
(par
On
et
... ,
(R~
part
Ri
~
X
(C)
V S-1j ,
produit de §
comme
(Cn)
~-
...
conjugués
v
X
de mots de
un
y.-résidus simples
sont
~s
~-)~.
est
un
mot
B
+
(R1
1 ,
X
~
i
n -
R2 ~ R3 ~ R4)s* n’a
maintenant S ,
S~ des
partition
(R1
tel que
~
une
avec
et l’on note
X
==supX(R) .
que
D’autre
R~
(R
simple appartenant à
...
~
majeur).
n
Rq
RX(R-1qi ), R-1q.j , On remarque
(en
ce
~-
sens
..
2014
R.)..
qu’on peut
avec
les véri-
d’essais) :
nombre fini
i
de
S-1j) 03BB(Rqj) , 03BB(Q)
strictement pour
(C4) (R1
n’est pas
i , j , R , x :
considère les conditions finies
II existe
Soient
3
Qj
~Ø ==> j-i+1 03BB(R) ,
J
q
Pour tout
un
Q
X(R ) ,
strictement
(dont
s’écrit
proposition 9. 2,
u
fier par
un
la
V-1i S-1S-1i)
i,
Qi ,
B
a
d’après
où
si
exemple
de
S ~
-
1 ,
et
...
Ri)s*
~
a
trois
Ri)s*
03B3-résidus majeurs (dont
ait trois
03B3-résidus majeurs
03B3-résidus majeurs.
quatre
que des
segments de
03B3-résidus majeurs
R ,
R.
et les conditions :
e
X
u
X"~
pour
tels que
i
=
fS.)
n ).