3 Fonctions numériques Transmath 2011 p.50. Objectifs : – Notion de fonction ; déterminer un ensemble de définition, une image, un antécédent – Tracer et exploiter la représentation graphique d’une fonction – Étudier le sens de variation grâce au théorèmes sur l’ordre, à l’étude de f (x0 ) − f (x) ; tableau de variations et extremums – Fonctions affine, carrée et inverse (vues en seconde) – Fonctions racine carrée et valeur absolue √ – Justifier les positions relatives des courbes représentatives de x 7→√x, x 7→ x2 , et x 7→ x – Connaı̂tre les sens de variation des fonctions associées u + k, λu, u et u1 où k et λ sont des réels, et u une fonction connue – Exploiter les propriétés sur le sens de variation des fonctions associées pour déterminer celui de fonctions simples Aperçu historique : Le terme “fonction” est dû à Leibniz (1692, de functio :exécution), un mathématicien allemand qui a contribué à jeter les bases de l’analyse moderne. L’idée de fonction a d’abord été associée à une courbe du plan avant d’être considérée comme une combinaison d’opération sur une variable, ce qui peut être rapproché d’un algorithme. Quelques années plus tard, Jean Bernoulli emploie la notation f x pour désigner une fonction de la variable x : les fonctions telles que nous allons les étudier ici étaient nées. 1. Notions générales vues en seconde sur les fonctions numériques A. Définitions et vocabulaire Définition 3.1 Une fonction numérique f permet d’associer à chaque nombre x d’un ensemble D un autre nombre que l’on note f (x). On note : f : x 7−→ f (x) Le nombre f (x) est appelé image de x par la fonction f . L’image d’un nombre par une fonction numérique est unique. x est appelé antécédent de f (x) par f . Un nombre peut avoir plusieurs antécédents ; il peut aussi ne pas en avoir. Exemple : On définit la fonction f sur R par f (x) = x2 − 5. On a : f: R x 1 −5 5 2 π −→ 7−→ 7−→ 7−→ 7−→ 7−→ R x2 − 5 12 − 5 = −4 (−5)2 − 5 = 20 ( 52 )2 − 5 = 25 4 −5= π 2 − 5 ≈ 4, 87 15 5 4 Dans cet exemple 20 a deux antécédents car l’équation x2 − 5 = 20 a deux solutions : x = 5 et x = −5. Par contre -6 n’a pas d’antécédent car x2 − 5 = −6 n’a pas de solution. (car x2 = −1 n’en a pas.) Définition 3.2 Soit f une fonction numérique. On appelle ensemble de définition de f , et on note généralement Df l’ensemble des nombres pour lesquels f (x) existe. Exemple : 3x + 2 . Le nombre f (x) existe pour tout x 6= 1. En effet si x−1 x = 1, pour calculer f (x), il faudrait diviser par 0 ce qui est impossible. Donc Df = R \ {1}. On considère la fonction f définie par f (x) = B. Représentation graphique Définition 3.3 Soit f une fonction numérique. Pour tout x ∈ Df , on pose y = f (x). À chaque couple (x; y) on peut donc associer un point dans un repère. L’ensemble de ces points est appelé courbe représentative de la fonction f . On la note généralement Cf . C. Résolutions graphiques d’équations et d’inéquations Soit f et g deux fonctions numériques définies sur un intervalle [a; b]. – Résoudre graphiquement l’équation f (x) = g(x) c’est trouver les abscisses des points d’intersections de Cf et Cg . – Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) ≥ g(x), c’est trouver les abscisses des points M (x; f (x)) et N (x; g(x)) tels que M est au dessus de N . Exemple : Sur la figure ci-dessus, on a tracé les représentations graphiques de deux fonctions f et g définies sur [a; b]. L’équation f (x) = g(x) admet trois solutions : S = {x0 ; x1 ; x2 }. La solution de l’inéquation f (x) ≥ g(x) est S = [x0 ; x1 ] ∪ [x2 ; b]. Par exemple, pour x ∈ [x0 ; x1 ], on a bien M (x; f (x)) qui est au dessus de N (x; g(x)). Par contre pour x0 ∈ [x1 ; x2 ], on a M (x0 ; f (x0 )) qui est en dessous de N (x0 ; g(x0 )). D. Variations et extremums Définition 3.4 On dit qu’une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si pour tout a et b de I tels que a < b, on a f (a) < f (b). On dit qu’une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si pour tout a et b de I tels que a < b, on a f (a) > f (b). 16 Remarque : Graphiquement, une fonction est croissante si sa courbe monte lorsqu’on se déplace de la gauche vers la droite ; Et une fonction est décroissante si sa courbe descend lorsqu’on se déplace de la gauche vers la droite. Fonction strictement croissante : Fonction strictement décroissante : Pour tous les réels a et b de I tels que a < b, on a f (a) > f (b). La courbe Cf descend lorsqu’on se déplace vers la droite. Pour tous les réels a et b de I tels que a < b, on a f (a) < f (b). La courbe Cf monte lorsqu’on se déplace vers la droite. Méthodes d’étude des variations vues en seconde : – Par lecture graphique, lorsque la fonction est définie par un graphique – Par le calcul, lorsque l’on dispose de l’expression de f (x). Pour deux valeurs x ≤ x0 de Df , grâce aux théorèmes sur l’ordre ou en étudiant le signe de f (x0 ) − f (x), on compare f (x) et f (x0 ) pour appliquer la caractérisation ci-dessus. Définition 3.5 Soient f une fonction définie sur un intervalle I ⊂ R, et a ∈ I. On dit que f (a) est le minimum de f sur I si pour tout x ∈ I, f (a) ≤ f (x). On dit que f (a) est le maximum de f sur I si pour tout x ∈ I, f (a) ≥ f (x). 17 2. Fonctions usuelles vues en seconde A. Fonctions affines Une fonction définie sur R est dite affine s’il existe deux réels m et p tels que pour tout x ∈ R, on a : f (x) = mx + p. – Si m > 0, la fonction est croissante sur R – Si m < 0, la fonction est décroissante sur R – Si m = 0, la fonction est constante sur R La représentation graphique d’une fonction affine dans un repère est la droite d’équation y = mx + p.C’est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, passant par le point de coordonnées (0; p) et de coefficient directeur m. B. Fonction carré La fonction carré est définie sur R par x 7−→ x2 . Ses variations sont les suivantes : – elle est décroissante sur ] − ∞; 0[ – elle est croissante sur ]0; +∞[ On obtient le tableau de variations : x −∞ +∞ 0 f (x) 0 Sa représentation graphique est une parabole de sommet l’origine du repère. Éléments de symétrie : Pour tout réel s, on a : (−x)2 = x2 , donc f (−x) = f (x). On dit que la fonction f est paire, et sa représentation graphique est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. 18 C. Fonction inverse La fonction inverse est définie sur R∗ par f (x) = x1 . – elle est décroissante sur R∗− – elle est décroissante sur R∗+ également Attention, elle n’est pas décroissante sur R∗. On obtient le tableau de variations : x −∞ 0 +∞ f (x) Sa représentation graphique est une hyperbole. 1 Éléments de symétrie : Pour tout réel x 6= 0 on a : ( −x )= 1 − x , donc f (−x) = −f (x). On dit que la fonction f est impaire, et sa représentation graphique est alors symétrique par rapport à l’origine. 3. Fonction racine carrée A. Étude de la fonction racine carrée Définition 3.6 La fonction racine carrée est la fonction définie sur [0; +∞[ qui à tout réel positif x associe sa racine carrée. √ f : x 7→ x Propriété 3.1 La fonction racine carrée est croissante sur [0; +∞[. √ Démonstration Notons f : x 7−→ x. Soient a, b ∈ /R tels que 0 ≤ a < b. Montrons que f (a) < f (b). On va étudier le signe de f (b) − f (a) : √ √ b − a pour étudier le signe, on essaie de factoriser √ √ √ √ √ √ ( b − a)( b + a) √ = cette expression existe car b + a > 0 √ ( b + a) √ 2 √ ( b) − ( a)2 √ = √ b+ a b−a = √ √ b+ a √ √ Or a < b, donc b − a > 0. De plus, b + a > 0 comme somme de termes strictement positifs. Donc f (b) − f (a) > 0. Finalement, pour tous a, b ∈ R tels que 0 ≤ a < b, on a f (a) < f (b) donc la fonction racine carrée est croissante sur R+ . f (b) − f (a) = 19 Représentation graphique : B. Positions relatives des courbes représentatives de x 7→ x2 , x 7→ x, x 7→ √ x Propriété 3.2 Soient : C1 la courbe représentative de la fonction carré x 7→ x2 , C2 la courbe représentative de la fonction identité x 7→ x, √ et C3 la courbe représentative de la fonction racine carrée x 7→ x. Alors : – Sur ]0; 1[, √ la courbe C1 est en-dessous de C2 , qui est en-dessous de C3 (i.e. pour 0 < x < 1, on a x2 < x < x) √ – Sur ]1; +∞[, la courbe C1 est au dessus de C2 , qui est au dessus de C3 (i.e. pour x > 1, on a x < x < x2 ) – Ces trois courbes ont les points O(0; 0) et A(1; 1) en commun. Démonstration Soit x ∈]0; 1[. On a 0 < x < 1. En multipliant cette inégalité par x > 0, il vient : 0 < x2 < x. Donc sur cet intervalle, C1 est en-dessous de C2 . √ √ √ √ De plus, la fonction racine carrée est croissante sur R+ donc 0 < x2 < x ⇒ 0 < x2 < x ⇒ x < x, donc C2 est en-dessous de C3 . De même, soit x > 1. On a 1 < x, et en multipliant chaque membre par x > 0, on obtient x < x2 , donc C1 est au dessus de C2 . √ En utilisant √ la croissance de√la fonction racine carrée, il vient que x < x, donc C2 est au dessus de C3 . Enfin, on a 0 = 0 = 02 , et 1 = 1 = 12 , d’où le dernier point de la propriété. 20 Propriété 3.3 Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de la fonction racine carrée et de la fonction carrée sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. Démonstration Soient x et y deux√réels positifs, C3 la courbe d’équation y = x, C2 la courbe d’équation y = x2 . Il vient : M (x; y)√∈ C3 ⇔y= x ⇔ y2 = x ⇔ M 0 (y; x) ∈ C1 . 4. Valeur absolue A. Notion de valeur absolue Définition 3.7 Soient x un nombre réel, et M le point d’abscisse x de la droite réelle d’origine O. La valeur absolue de x est la distance OM . On note : OM = |x|. Exemples : En utilisant la définition 3.7, déterminons : | − 5, 4| ; |7, 2| ; | − 1| ; |0|. On place sur un axe gradué d’origine O les points A(−5, 4) ; B(7, 2) ; C(−1). On a alors : | − 5, 4| = OA = 5, 4; |7, 2| = OB = 7, 2; | − 1| = OC = 1; |0| = OO = 0; Remarque : Pour tout réel x, on a | − x| = |x|. Propriété 3.4 Soit x un nombre réel. – Si x ≥ 0, alors |x| = x – Si x ≤ 0, alors |x| = −x Démonstration : – Si x ≥ 0, alors OM = xM − xO = x − 0 = x – Si x ≤ 0, alors OM = xO − xM = 0 − x = −x 21 B. Fonction valeur absolue Définition 3.8 La fonction valeur absolue est la fonction qui à un réel x associe sa valeur absolue : f : x 7→ |x| En utilisant la propriété 3.4, on obtient les variations et la représentation graphique de cette fonction. Tableau de variations : x −∞ 0 +∞ f (x) 0 représentation graphique : Il s’agit de la réunion de deux demi-droites : la fonction valeur absolue est affine par morceaux. Pour tout réel x on a f (−x) = | − x| = |x| = f (x), donc f est paire, et sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Propriété 3.5 Soient x, y ∈ R. (i) |x| ≥ 0 (ii) | − x| = |x| (iii) |x| = |y| ⇔ (x = y ou x = −y) (iv) |x.y| = |x|.|y|, et pour y 6= 0, | xy | = √ (v) x2 = |x| |x| |y| Démonstration ces propriétés se démontrent à partir de la définition 3.7, en raisonnant au cas par cas selon les signes de x et de y. 5. Opérations sur les fonctions A. Égalité Définition 3.9 Deux fonctions f et g sont dites égales ssi : – elles ont le même ensemble de définition – pour tout x de cet ensemble, on a f (x) = g(x) Dans ce cas, leurs courbes représentatives sont confondues. Les fonctions que l’on considère ont souvent des ensembles de définition différents ; dans ce cas, on travaille sur l’intersection D = Df ∩ Dg des deux ensembles de définition, c’est-à-dire sur la partie D de R où les fonctions sont toutes les deux définies. On dit que l’on “restreint” les fonctions à D. 22 B. Opérations simples Définition 3.10 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque. La fonction f + k est la fonction qui à x ∈ I associe f (x) + k. Exemple : Dans cet exemple, f (x) = x2 et k = −3 : la fonction x2 − 3 a le même sens de variation que la fonction carré, et la courbe représentative de la fonction x2 − 3 est obtenue à partir de celle de la fonction carré par une translation de vecteur −3~j (décalage de 3 unités vers le bas). Propriété 3.6 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque. La fonction f + k a le même sens de variation que la fonction f sur I. Démonstration Supposons par exemple que f est croissante sur un intervalle J ⊂ I. Alors pour tous a, b ∈ J tels que a < b, on a f (a) < f (b), donc f (a) + k < f (b) + k, et la fonction f + k est elle aussi croissante sur J. On raisonne de même sur les intervalles où f est décroissante pour montrer que f + k l’est aussi. Propriété 3.7 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque. La courbe représentative de la fonction f + k se déduit de celle de f par translation de vecteur k~j. Démonstration Soit Cf la courbe représentative de f . Soient x ∈ I et M (x; y) le point de Cf d’abscisse x. f + k est la fonction définie par : x 7−→ (f + k)(x) = f (x) + k. Soit M 0 le point de coordonnées M 0 (x; f (x) + k). M 0 est le point de la courbe représentative de f + k qui a pour abscisse x. On a : M (x; y) ∈ Cf ⇔ y = f (x) ⇔ y + k = f (x) + k ⇔ (f + k)(x) = y + k ⇔ (f + k)(x) − y = k −−−→0 ⇔ M M = k~j Donc la courbe représentative de la fonction f + k est bien la translatée de Cf par le vecteur k~j. Remarque : Plus généralement, on peut définir la somme de deux fonctions f et g sur un intervalle où elles sont toutes les deux définies par :(f + g) : x 7−→ f (x) + g(x). 23 Définition 3.11 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque. La fonction kf est la fonction qui à x ∈ I associe k × f (x). Exemple : Dans cet exemple, sur l’ensemble de définition de u, la fonction g est définie par g(x) = 0, 5 × u(x), et la fonction f par g(x) = −1, 5 × u(x). Les fonctions u et g ont même sens de variation, mais u et f ont des sens de variation contraires. De plus, la multiplication par un réel de valeur absolue inférieure à 1 “aplatit” la courbe, alors que la multiplication par un réel de valeur absolue supérieure à 1 augmente les amplitudes de ses variations. Propriété 3.8 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque. Alors : – si k > 0, les fonctions f et kf ont le même sens de variation sur I – si k < 0, les fonctions f et kf ont des sens de variation contraires sur I (si k = 0, kf est constante égale à 0 sur I). Démonstration Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque. Considérons un intervalle J ⊂ I sur lequel f soit croissante. Soient a, b ∈ J tels que a < b. f est croissante sur J, donc f (a) < f (b). – si k > 0, alors kf (a) < kf (b), donc la fonction kf est croissante sur J – si k < 0, alors kf (a) < kf (b), donc la fonction kf est décroissante sur J On étudierait de même le sens de variation de kf sur les sous-intervalles de I sur lesquels f est décroissante. Propriété 3.9 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle I et k un réel quelconque. La courbe représentative de kf se déduit de celle de f en multipliant par k l’ordonnée de chaque point de Cf . Démonstration M 0 (x; y 0 ) ∈ Ckf ⇔ (y 0 = kf (x)), or le point M (x; f (x)) est par construction un point de Cf . Remarque : Plus généralement, on peut définir le produit de deux fonctions f et g sur un intervalle où elles sont toutes les deux définies par :(f × g) : x 7−→ f (x) × g(x). 24 C. Composition avec la fonction inverse Définition 3.12 Soient I un intervalle de R, et u une fonction définie sur I et qui ne s’annule pas sur I. 1 est appelée fonction inverse de u. On note f = u1 . La fonction définie sur I par f : x ∈ I 7→ u(x) exemple : Soit u : x ∈ R 7→ u(x) = 3 − x. La fonction inverse de u est définie sur tout intervalle I ⊂ R − {3}, et s’écrit 1 f = u1 : x ∈ I 7→ 3−x . Ainsi, si la fonction u s’annule en certains points, il suffit de restreindre l’étude à un intervalle sur lequel elle ne s’annule pas. Propriété 3.10 Soient I un intervalle de R, et u une fonction définie sur I,ne s’annulant pas sur I et de signe constant sur I. Alors la fonction u1 a un sens de variation contraire à celui de u sur I. Démonstration Soient I un intervalle de R, et u définie sur I,ne s’annulant pas sur I et de signe constant sur I. Supposons par exemple que u est croissante sur un intervalle J ⊂ I. Pour tous a, b ∈ J tels que a 6 b, comme la fonction u est croissante on a : u(a) 6 u(b) ; comme la fonction 1 1 > u(b) (qui sont bien définis car u ne s’annule pas), et donc la fonction u1 inverse est décroissante, on a : u(a) est décroissante sur J, contrairement à la fonction u. On traite de même le cas des intervalles où u est décroissante. exemple : On donne ci-dessous le tableau de variation d’une fonction u définie sur [−3; 5]. Après vous être assuré(e) que u ne s’annule pas et est de signe constant sur l’intervalle [−3; 5], complétez le tableau de variations de la fonction u1 . x −3 −1 4 0 3 5 5 u 3 2 1 1 u D. Composition avec la fonction racine carrée Définition 3.13 Soient I un intervalle de R, et u une fonction définie sur I et positive sur I (i.e. pour tout x ∈ I, u(x) > 0. p √ La fonction définie sur I par f : x ∈ I 7→ u(x) est appelée fonction racine carrée de u. On note f = u. exemple : Soit u : x ∈ R 7→ u(x) = 3 − x. La fonction racine carrée sur tout intervalle I ⊂] − ∞; +3], car √ √ de u est définie pour x ∈] − ∞; +3], on a 3 − x > 0. Elle s’écrit f = u : x ∈ I 7→ 3 − x. Ainsi, si la fonction u est négative en certains points, il suffit de restreindre l’étude à un intervalle sur lequel elle ne s’annule pas. Propriété 3.11 Soient I un intervalle de R, et u une fonction définie sur I,positive sur I. √ Alors la fonction u a même sens de variation que u sur I. Démonstration Soient I un intervalle de R, et u définie sur I,positive sur I. Supposons par exemple que u est croissante sur un intervalle J ⊂ I. Pour tous a, b ∈ J tels que a 6 b, comme la fonction u est croissante on a : u(a) 6 u(b) ; comme la fonction p p racine carr ée est croissante, on a : u(a) 6 u(b) (qui sont bien définis car u est positive), et donc la √ fonction u est croissante sur J, comme la fonction u. On traite de même le cas des intervalles où u est décroissante. 25