Physique MPSI - Exercices

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apitre
h
C
1
Mécanique 1
Exercice 101
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101 Risque de collision au freinage
1. Une voiture roule à une vitesse constante V0 en ligne droite. Au temps t = 0, le
conducteur aperçoit un obstacle, mais il ne commence à freiner (avec une décélération constante de 7,5 m · s–2) qu’au bout d’un temps ε = 0,6 s. Calculer la distance
parcourue par le véhicule depuis l’instant initial jusqu’à l’arrêt.
Application numérique : V0 = 54 km · h–1, puis V0 = 108 km · h–1.
2. Deux voitures se suivent sur une route droite, à une distance d, et roulent à la
même vitesse constante V0 . À l’instant t = 0, la première voiture commence à freiner
avec une décélération a, la seconde voiture ne commence à freiner qu’au temps
t = ε = 0,6 s avec une décélération b.
Quelle condition doit satisfaire d pour que la seconde voiture s’arrête en arrière de la
première ?
Application numérique : V0 = 108 km · h–1, a = 7,5 m · s–2 et b = 6 m · s–2.
La condition trouvée est-elle suffisante pour garantir qu’il n’y aura pas collision entre
les deux voitures (pour des valeurs différentes de V0 , ε, a et b…) ?
Pourquoi cette condition est-elle suffisante avec les données numériques fournies ?
■■ 1. Ce qu’il faut savoir
• Mouvement à accélération constante.
• Équation horaire.
■■ 2. Ce qu’il faut comprendre
• Il est astucieux de résoudre la première question en tenant compte de la deuxième :
on prendra des notations telles qu’il ne soit pas nécessaire de refaire plusieurs fois le
même calcul.
• Pour la deuxième question, il faut prendre en compte les différentes phases du mouvement, avec des conditions initiales pertinentes.
■■ 3. Solution
1. On peut prendre l’origine des abscisses à la position de la voiture à la date t = 0 : elle
parcourt une distance x 1 = V 0 ε avant de freiner – avec une accélération – a
(a constante 0) à partir de la date t1 = ε.
Pour t t1, le mouvement est caractérisé par une vitesse :
V = ẋ = – a ( t – t 1 ) + V 0
1
et une position
x = – -- a ( t – t 1 ) 2 + V 0 ( t – t 1 ) + x 1 (1)
2
compte tenu des conditions initiales ci-dessus.
30 Partie 1 – Physique MPSI
Exercice 101
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V
L’arrêt est obtenu lorsque V = 0, soit t – t 1 = -----0- .
a
En reportant cette valeur dans l’expression de x ( t ) , on obtient la distance d’arrêt D :
V
1 V0 2
D = – --a  ------ + V 0 -----0- + x 1 ;
2  a
a
2
V
D = -----0- + V 0 ε
2a
Application numérique :
V0 = 54 km · h–1 = 15 m · s–1, d’où : D = 24 m.
V0 = 108 km · h–1 = 30 m · s–1, d’où : D = 78 m.
2. L’équation horaire de la première voiture est donnée par la relation (1), en faisant
t1 = 0 et x1 = 0 :
1
x ( t ) = – --at 2 + V 0 t ;
2
V
0
et elle s’arrête à l’abscisse x 2 = x  ------ , soit :
 a
2
V
x 2 = -----0- .
2a
À la date t = 0, la seconde voiture était à l’abscisse – d , et à la date t1 = ε, elle était donc
à l’abscisse x 1 = – d + V 0 ε.
La relation (1) donne alors pour la seconde voiture une position (avec a remplacé par b) :
1
x′ ( t ) = – -- b ( t – t 1 ) 2 + V 0 ( t – t 1 ) + V 0 ε – d ;
2
V
ce qui donne une distance x′2 parcourue jusqu’à l’arrêt (à la date t = t 1 + -----0- ) :
b
2
V
x′2 = -----0- + V 0 ε – d.
2b
La condition demandée correspond à x′2 x 2 (on néglige les dimensions des voitures,
assimilées à des points matériels…), soit :
2
2
V0
V0
------ + V 0 ε – d ------ ;
2a
2b
2
V0 1 1
d ------  -- – -- + V 0 ε
2  b a
Soit, avec les valeurs données : d 33 m.
Cette condition n’est pas suffisante : il suffit d’imaginer une situation telle que b a,
avec d V 0 ε.
Chapitre 1 – Mécanique 1
31
Exercice 102
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La seconde voiture heurte la première avant même le début de son freinage, alors que
la condition trouvée peut être vérifiée !
Mais si b a, la condition trouvée est effectivement suffisante. En effet, la seconde voiture se rapproche alors constamment de la première (la différence des vitesses ẋ′ – ẋ
reste toujours positive ou nulle) : c’est donc lorsqu’elles sont arrêtées que leur distance
d est minimale.
102 Projectile soumis au frottement de l’air
Un projectile M de masse m est lancé dans un plan vertical ( Ox z ) avec une vitesse
initiale V 0 faisant un angle θ avec l’horizontale Ox. Ce référentiel, lié à la surface de
la Terre, sera supposé galiléen, et l’accélération g de la pesanteur constante. Ce projectile est soumis de plus à une force de frottement due à l’air, force que l’on peut
mettre sous la forme F f = – k ⋅ V avec k 0 et V vitesse instantanée du projectile.
m
1. Établir les équations du mouvement : on introduira la constante de temps τ = ---- .
k
Montrer que la trajectoire du projectile admet une asymptote verticale, et que sa
vitesse tend vers une limite V l que l’on précisera.
Exprimer alors les vitesses et position du mobile en fonction de t, τ, θ, V0 et Vl.
2. Calculer le temps t s nécessaire au projectile pour atteindre le sommet S de sa trajectoire, et donner la position de S.
π
Application numérique : θ = --- , V 0 = V l : calculer l’altitude de S, et comparer à
2
l’altitude atteinte lorsqu’on néglige le frottement de l’air.
■■ 1. Ce qu’il faut savoir
Point de cours
• Loi fondamentale de la dynamique.
Outil mathématique
• Résolution d’équation différentielle du premier ordre avec second membre.
■■ 2. Ce qu’il faut comprendre
1. On appliquera la loi fondamentale de la dynamique au projectile M assimilé à un
point matériel. La vitesse limite peut être trouvée directement en cherchant à quelle
condition l’accélération a s’annule. On pourra intégrer l’équation différentielle sous
sa forme vectorielle et projeter les expressions obtenues pour V et OM .
32 Partie 1 – Physique MPSI
Exercice 102
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2. À cause du freinage dû à l’air, la trajectoire étudiée doit se situer « au-dessous » de
la trajectoire parabolique « classique » obtenue en l’absence de frottement.
■■ 3. Solution
1. La loi fondamentale de la dynamique appliquée au point M à un instant t s’écrit
ma = mg – kV . On trouve directement que a = 0 ⇔ V = constante.
Ce qui est réalisé pour mg – kV = 0
m
ou encore en posant τ = ---k
soit
mg
Vl = -------k
Vl = τg
POINT MÉTHODE
dP
En écrivant le principe fondamental sous la forme ------- = ΣF , on obtient directedt
ment une équation différentielle en V :
dV
dP
------- = m -------- = mg – kV
dt
dt
Résolvons maintenant l’équation différentielle
m
dV k
-------- + ----V = g soit en posant τ = ---- :
k
dt m
Vl
dV V
-------- + ----- = ------ .
τ
dt
τ
Résolvons l’équation différentielle vectorielle :
t
– --
V ( t ) = Vl + A e τ .
Le vecteur A est défini par la condition initiale V = V 0 à t = 0 : A = V 0 – Vl
V ( t ) = Vl + ( V 0 – Vl )e
t
– -τ
(1)
En intégrant une nouvelle fois par rapport à t, on obtient :
OM ( t ) = Vl t + ( V 0 – Vl ) ( – τ )e
t
– -τ
+B.
B est défini par la condition initiale OM = 0 à t = 0 :
B = τ ( V 0 – Vl )
t
d’où
– -OM ( t ) = Vl t + τ ( V 0 – Vl )  1 – e τ 


(2)
Chapitre 1 – Mécanique 1
33
Exercice 102
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z
d’où en projection sur ( u x , u z ), avec
Vl = – Vl u z (Vl est un module…) :
V
– kV
t
 V = V cos θe – -τ0
 x
V
t
 V = – V + ( V sin θ + V )e – -τl
0
l
 z
V0
mg
θ
x
O
On retrouve bien sûr que pour t → ∞
V → Vl
t

– - x = τV 0 cos θ  1 – e τ 

OM 
t
 z = – V t + τ ( V sin θ + V )  1 – e – -τ- 
l
0
l 



Lorsque t → ∞ ,
verticale.
x → x lim = τ V 0 cos θ ce qui correspond bien à une asymptote
z
2
2
4
6
8
10
12
x
0
–2
–4
–6
2. Le sommet S de la trajectoire est déterminé par V z = 0, ce qui correspond à une
date ts telle que : 0 = – V l + ( V 0 sin θ + V l )e
soit :
34 Partie 1 – Physique MPSI
ts
– --τ
V0
t s = τ ln 1 + ------ sin θ
Vl
Exercice 103
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et, en reportant :




1
x s = τV 0 cos θ  1 – ---------------------------
V0


1 + ------ sin θ

Vl
V0
Vl
-
z s = – τV l ln  1 + ------ sin θ + τ ( V 0 sin θ + V l ) ⋅  1 – ----------------------------


Vl
V 0 sin θ + V l 
V0
z s = τV 0 sin θ – τV l ln  1 + ------ sin θ


Vl
π
si θ = --- et V 0 = +V l , il vient :
2
xs = 0
z s = τV l – τV l ln 2 = τV l ( 1 – ln 2 )
.
En l’absence de tout frottement de l’air, le mouvement sur l’axe Oz devient :
ż˙ = – g
ż = – g t + V 0 , d’où
et
V
t s′ = -----0g
1
z = – -- g t 2 + V 0 t
2
2
V0
z s′ = z ( t s′ ) = ------ .
2g
Pour comparer les altitudes de S et S′, exprimons zs en fonction de V0 et g :
2
V0
V V
 V = V et τ = m
---- = -----l = -----0- : z s = ------ ( 1 – ln 2 )
0
 l

g
g
g
k
d’où :
z
----s- = 2 ( 1 – ln 2 ) # 0,6.
z s′
z s z s′ : le résultat est bien cohérent ; en présence de frottement le point matériel
monte moins haut.
103 Deux mouvements sur la même trajectoire
A. Un mobile M décrit une hélice circulaire d’axe Oz, son mouvement étant défini en
coordonnées cylindriques ( r, θ, z ) par les équations :
r = R
θ = ωt
θ
z = H ⋅  1 – ------

2π
Chapitre 1 – Mécanique 1
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