Correction des exercices sur la conservation de l`énergie

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Exercice 1: pendule simple:
1. La somme Ec + Epp se conserve:
Le système {bille S} est soumis à 2 forces extérieures:
•
•
Son poids .
La tension du fil
.
Comme les frottements sont négligés, il n’y a pas de perte d’énergie sous forme thermique. Toute l’énergie
potentiel de pesanteur se transforme en énergie cinétique et vis-versa. .
La somme Ec + Ep se conserve donc.
A l'instant initial (instant 1)
Energie cinétique:
Ec1 = 1/2.m.V12.
Energie potentielle de pesanteur:
Ep1 = m.g.h1
avec h1=L.(1-cos(θ1)), d'où:
Ep1 = m.g.L.(1-cos(θ1))
Somme Ec + Epp
Ec1 + Ep1 = 1/2.m.V12 + m.g.L.(1-cos(q1))
2. Angle maximum de remontée:
A l'instant final (instant 2)
Énergie cinétique:
Ec2 = 0.
Energie potentielle de pesanteur:
Ep2 = m.g.h2
avec h2=L.(1-cos(θm)), d'où:
Ep2 = m.g.L.(1-cos(θm))
Somme Ec + Epp
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Ec2 + Ep2 = m.g.L.(1-cos(θm))
La somme Ec + Ep se conserve, donc:
1/2.m.V12 + m.g.L.(1-cos(θ1)) = m.g.L.(1-cos(θm))
1/2.V12 + g.L - g.L.cos(θ1) = g.L - g.L.cos(θm)
V12 -2.g.L.cos(θ1) = -2.g.L.cos(θm)
2.g.L.cos(θ1) - V12
cos(θm)
=
2.g.L
2 x 9,81 x 0,80 x cos(30) - 1,52
cos(θm)
=
2 x 9,81 x 0,80
cos(θm) = 0,72
θm = 44°.
Mouvement ultérieur du pendule:
La somme Ec + Ep se conserve. Le pendule ne perd pas d'énergie et le pendule va osciller indéfiniment entre
les angles +qm et -qm.
3. Vitesse V1':
A l'instant initial:
Énergie cinétique: Ec1 = 1/2.m.V1'2.
Énergie potentielle: Ep1 = m.g.L.(1-cos(θ1))
On en déduit: Ec1 + Ep1 = 1/2.m.V1' 2 + m.g.L.(1-cos(θ1))
Énergie mécanique finale:
Énergie cinétique: 1/2.m.V22.
Énergie potentielle: Ep2 = 2.m.g.L (le pendule est à la verticale).
On en déduit: Ec2 + Epp2 = 1/2.m.V22 + 2.m.g.L
La somme Ec + Ep se conserve, donc:
Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2
1/2.m.V1' 2 + m.g.L.(1-cos(θ1)) = 1/2.m.V22 + 2.m.g.L
V1'2 + 2.g.L.(1-cos(θ1)) = V22 + 4.g.L
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V1'2 + 2.g.L. - 2.g.L.cos(θ1) = V22 + 4.g.L
V1'2 = V22 + 2.g.L + 2.g.L.cos(θ1))
V1'2 = V22 + 2.g.L.(1 + cos(θ1))
V1'2 = 5,02 + 2 x 9,81 x 0,80.(1 + cos(30))
V1'2 = 54,3m2.s-2
V1' = 7,4m.s-1.
Exercice 2: tir d'un projectile:
1. Coordonnées du vecteur vitesse initiale:
2. Expression de l'altitude Zs du sommet S
la trajectoire:
de
Le système {pierre} n'est soumis qu'à son poids
La somme Ec + Epp (énergie cinétique + énergie
potentielle de pesanteur) se conserve car les
frottements sont négligés.
Au point O:
Énergie cinétique: Ec(O) = 1/2.m.Vo2.
Énergie potentielle: Epp(O) = 0.
D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vo2.
Il est immédiat que:
Vo2.(1-cos2(α))
.
Au point S (sommet de la trajectoire):
Énergie cinétique: Ec(S) = 1/2.m.Vs2.
Vox = Vo.cos(α)
Énergie potentielle: Epp(S) = m.g.zs.
Voz = Vo.sin(α)
D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vs2 + m.g.zs.
La somme Ec + Epp se conserve, donc:
Ec(O) + Epp(O) = Ec(S) + Epp(S) =
1/2.m.Vo2 = 1/2.m.Vs2 + m.g.zs
Vo2 = Vs2 + 2.g.zs
Or Vs = Vox = Vo.cos(α), d'où:
Vo2 = Vo2.cos2(α) + 2.g.zs
2.g.zs = Vo2.(1 - cos2(α))
zs =
2.g
3. application numérique:
Pour a = 30,0°:
15,02 x (1 - cos2(30,0))
zs
=
2 x 9,81
zs = 2,87 m.
Pour α= 60,0°:
zs = 8,60 m.
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4. Vitesse au point d'impact avec le sol:
Au point O:
Énergie cinétique: Ec(O) = 1/2.m.Vo2.
Énergie potentielle: Epp(O) = 0.
D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vo2.
Au point D:
Énergie cinétique: Ec(D) = 1/2.m.VD2.
Énergie potentielle: Epp(D) = 0.
D'où Ec(D) + Epp(D) = 1/2.m.VD2.
La somme Ec + Epp se conserve, donc:
EmO = EmD
1/2.m.Vo2 = 1/2.m.VD2
Vo2 = VD2
Vo = VD
La vitesse au point D est VD = 15,0m.s-1.
Remarque: Vecteur vitesse au point D: voir schéma (le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point D).
Exercice 3: la boutique de l’homme fort:
1. Référentiel, origine des espaces, origine des énergies:
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2. Distance parcourue par le palet:
Au point A
Énergie cinétique: Ec(A) = 1/2.m.Vo2.
Énergie potentielle: Epp(A) = m.g.yA.
D'où Ec(A) + Epp(A) = 1/2.m.Vo2 + m.g.yA.
Au point B (endroit de l'arrêt)
Énergie cinétique: Ec(B) = 0.
Énergie potentielle: Epp(B) = m.g.yB.
D'où Ec(B) + Epp(B) = m.g.yB.
D'autre part, le palet est soumis à 2 forces extérieures:
•
•
Son poids .
La réaction du support
du plan incliné.
WAB( )=0 car
et la somme Ec + Epp (énergie cinétique + énergie potentielle de pesanteur) se conserve
car toutes les forces extérieures (sauf le poids) effectuent un travail nul.
Ec(A) + Epp(A) = Ec(B) + Epp(B) => 1/2.m.Vo2 + m.g.yA = m.g.yB
=> Vo2 = 2.g.(yB - yA)
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Or yB - yA = L.sin(α), d'où:
Vo2
Vo2 = 2.g.L.sin(α) => L =
2.g.sin(α)
5,002
=> L =
2 x 10 x sin(20)
=> L = 3,73 m.
3. Pourquoi la distance parcourue est-elle inférieure?
Il existe en fait des forces de frottements dont le travail n'est pas nul. la somme Ec + Epp (énergie mécanique)
n'est pas constante.
Soit ΔEm la variation d'énergie mécanique du palet
ΔEm = EmB - EmA =>
=>
=>
=>
=>
ΔEm = EcB + EpB -EcA - EpA
ΔEm = m.g.yB - m.g.yA - 1/2.m.Vo2
ΔEm = m.g.(yB - yA) - 1/2.m.Vo2
ΔEm = m.g.L.sin(a) - 1/2.m.Vo2
ΔEm = m.(g.L.sin(a) - Vo2/2)
Application numérique: ΔEm = 5 x (9,81 x 2,5 x sin(20) - 52/2) => ∆Em = -20,6 J.
Travail des forces de frottements:
Soit
la résultante de forces de frottements. Le travail de
est égal à la variation d'énergie mécanique.
W( ) = ΔEm => W( ) = -20,6 J.
Résultante des forces de frottements:
effectue un travail résistant et W( ) = - f.L, d'où:
- (-20,6)
- W( )
f=
=> f
L
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=
=> f = 8,24N.
2,5
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