distances et angles

Chapitre : Distances et angles
I Thalès
Théorème de Thalès (admis) : On considère un triangle ABC. M est un point de [AB] et N un point de [AC].
AB AC BC
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors on a :
=
=
AM AN MN
A
(MN) // (AB)
1,2 cm
M
1,5 cm
N
4,5 cm
B
C
Question : Calculer AB.
Réponse : J’applique le théorème de Thalès :
M ∈ [AB]
AB AC BC
N ∈ [AC]
donc
=
=
AM AN MN
( MN ) // ( BC )
On a :
AB 6
1,2 × 4,5
=
donc AB =
= 3,6 cm (on utilise la règles de trois pour les équations)
1,1 1,5
1,5
Remarque : on a aussi
AM AN MN
grand
petit
=
=
. Il faut choisir
ou
puis être cohérent.
AB AC BC
petit
grand
II Cosinus
a ) Vocabulaire
B
Considérons un triangle ABC rectangle en A.
[BC] est l’hypoténuse
♀
B
10 cm
[BA] est le côté
adjacent à l’angle ♀
B
60°
A
5 cm
C
Définition : Dans un triangle rectangle, la fraction du côté adjacent à un angle par l’hypoténuse
s’appelle le cosinus de cet angle.
♀
♀
Le cosinus de l’angle B se note cos ( B ).
♀
♀ adjacent à B
On a donc : cos ( B ) =
hypoténuse
Exemples : cos ( ♀
B)=
BA
CA
et cos (♀
C)=
BC
CB
Puisque ♀
C = 60°, on peut écrire cos ( 60 ) =
5
= 0,5
10
Remarque 1 : la calculatrice calcule le cosinus d’un nombre avec la touche cos.
exemples : cos 60 donne 0,5 (si ce n’est pas le cas, c’est qu’il faut mettre les unités d’angle en degré)
cos ( 38 ) ≈ 0,79
Remarque 2 : l’hypoténuse étant le plus grand côté, un cosinus est un nombre toujours plus petit que 1.
b ) Calcul de longueur
On considère la figure suivante :
C
Question : Calcule la longueur AB à 0,01 près.
?
♀ BA
Réponse : Dans le triangle ABC rectangle en A on a : cos ( B ) =
BC
cos ( 50 )
9
1×9
donc
=
donc AB =
≈ 14 cm
1
BA
cos ( 50 )
50°
A
B
9 cm
c ) Calcul de mesure d’angle
Connaissant la valeur du cosinus d’un angle, la calculatrice permet de trouver la mesure de cet angle avec la
touche arccos ou cos − 1 .
exemples : si cos (♀
A ) = 0,5 alors ♀
A = arccos ( 0,5 ) = 60°
arccos ( 0,74 ) ≈ 42°
C
On considère la figure suivante :
Question : Calcule la mesure de l’angle ♀
B arrondie au degré près.
Réponse : Dans le triangle ABC rectangle en A on a :
BA 3
cos ( ♀
B)=
= donc ♀
B = arccos ( 3 : 7 ) ≈ 65 °
BC 7
7 cm
?
A
3 cm
B
O'
Activité : Sur la figure de droite, la petite maison a été agrandie :
On a « zoomé » sur le point A de tel sorte qu’avant l’agrandissement, il
y avait la petite maison et après l’agrandissement, on a obtenu la grande
maison.
a ) Après l’agrandissement, où se retrouve le point P ? Et O ? Et N ?
En quoi ont été agrandi : les segments [MO] et [NA], le triangle AMN ?
P'
B
O
b ) La grande maison est combien de fois plus grande que la petite ?
Trouve 5 fractions de longueur qui valent 3.
M
P
c ) Trouve 3 paires de droites parallèles.
Exercice 1 : Dans chaque cas, calcule la longueur indiquée à 0,1 cm près.
a) A
b)
K
?
B
?
35°
12
C
L
72°
c)
A
Q
52°
24
4,8
Exercice 2 : Complète le tableau suivant avec des nombres arrondis à 0,01 près.
cos(x)
?
R
M
x
N
C
18
S
65
0,15
0,78
2
3
Exercice 3 : ABC tel que : AC = 5 cm et ☺
ACB= 30°. Calcule la distance du point A à la droite (BC).
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle (ne pas oublier ses affaires de géométrie et sa calculatrice)
Exercices du livre : 26 P 230 ; 78 P 236 ; 72 ; 73 P 252
Exercice : a ) ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, AC = 16 cm et BC = 20 cm.
Calcule, au degré près, les mesures des angles du triangle ABC.
b ) F est un point d’un cercle de diamètre [GE] tel que GE = 6 cm et GF = 5 cm.
Prouve que ☺
EGF ≈ 33,6° puis déduis en la distance entre le point F et la droite (GE) à 0,1 cm près.
Résultats des exercices pour préparer le contrôle
26 P 230 ; 78 P 236 ; 72 ; 73 P 252 sont des exercices corrigés P 288
Exercice :
a ) Prouvons que le triangle ABC est rectangle : on a BC² = 20² = 400 et AB² + AC² = 12² + 16² = 40 donc BC² = AB² + AC²
D’où : le triangle ABC est rectangle en A d’après le théorème réciproque de Pythagore.
B
Ainsi : ♀
A = 90°
Dans le triangle ABC est rectangle en A on a :
BA 12
12
• cos ( ♀
B)=
=
donc ♀
B = arccos (
) ≈ 53°
BC 20
20
• ♀
C ≈ 180 – ( 90 + 53 ) ≈ 37°
12
20
A
cos (☺
GFH) =
FH
FH
donc cos ( 56,4 ) ≈
donc FH ≈ 5 × cos ( 56,4 ) ≈2,8 cm
5
FG
La distance du point F à la droite (GE) est donc d’environ 2,8 cm
•
C
16
b ) Le triangle EFG est rectangle en F car F est un point du cercle de diamètre [GE].
Dans le triangle EFG est rectangle en F on a :
GF 5
5
cos ( ♀
G ) =
= donc ♀
G = arccos ( ) ≈ 33,6°
GE 6
6
Dans le triangle FGH est rectangle en H on a :
• ☺
GFH ≈ 180 – ( 90 + 33,6 ) ≈ 56,4°
F
5
G
H
GE = 6
E