Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S1 2010-2011 Exercice 1 : a) Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 108. b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement compris entre 10 et 15 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 3×PGCD(x ;y) = 108. /4 Exercice 2 : Nombres de Mersenne /6 11 a) Le nombre 2 – 1 est-il premier ? b) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, comment la somme : S = 1 + 2p + 22p + 23p + … + 2(q-1)p peut-elle encore s'écrire ? c) En déduire que 2pq  1 [2p – 1]. d) Démontrer que 2pq – 1 est divisible par les deux nombres 2p – 1 et 2q – 1. e) En déduire (par contraposition) que si le nombre 2n – 1 est premier alors n est lui-même premier. f) La réciproque est-elle vraie ? Justifier la réponse. Les nombres premiers de la forme 2n – 1 sont appelés nombres premiers de Mersenne. Spécialité Terminale S IE5 PPCM – PGCD – Nombres premiers S2 2010-2011 Exercice 1 : a) Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 72. b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement compris entre 30 et 40 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 4×PGCD(x ;y) = 72. /4 Exercice 2 : Nombres de Mersenne /6 p Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N = 2 – 1, avec p entier naturel. a) Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1 + a + ….+ an-1. b) Montrer que, par contraposition que, si an – 1 est un nombre premier, alors a = 2. c) Montrer, que si n est composé, alors 2n – 1 est composé. Indication : on pourra en supposant que n est composé, écrire n = l×m et simplifier la somme 1 + 2m + 22m + …. + 2(l-1)m d) En déduire une condition nécessaire pour que 2n – 1 soit premier e) Montrer que cette condition n’est pas suffisante en fournissant un contre-exemple. f) Donner la liste des 4 premiers nombres de Mersenne premiers. 1 Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers CORRECTION S1 2010-2011 Exercice 1 : /4 g) Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 108. h) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement compris entre 10 et 15 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 3×PGCD(x ;y) = 108. a) Les diviseurs positifs de 108 sont : 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 12 - 18 - 27 - 36 - 54 – 108. b) On pose p = PPCM(x ;y) et g = PGCD(x ;y) g divise p ; donc il existe k entier tel que p = gk On a donc g(k – 3) = 108 Donc g est un diviseur de 108 compris entre 10 et 15 : donc g = 12 108 On en déduit k = + 3 = 12 puis que p = 12×12 = 144 12 Si PGCD(x ;y) = 12 alors il existe x’ et y’ entiers premiers entre eux (avec x’ ≤ y’) tels que x=12x’ et y=12y’. On a donc xy = 144x’y’ = pg = 12×144 D’où : x’y’ = 12 On a donc (x’ ;y’) ∈ {(1 ;12) ;(3 ;4) } (2 ;6) ne convient pas car 2 et 6 ne sont pas premiers entre eux. Si x’ = 1 et y’ = 12 alors x = 12 et y = 144 Si x’ = 3 et y’ = 4 alors x = 36 et y = 48 Les couples (x ;y) cherchés sont donc (12 ;144) et (36 ;48) Exercice 2 : Nombres de Mersenne a) Le nombre 211 – 1 est-il premier ? b) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, comment la somme : S = 1 + 2p + 22p + 23p + … + 2(q-1)p peut-elle encore s'écrire ? c) En déduire que 2pq  1 [2p – 1]. d) Démontrer que 2pq – 1 est divisible par les deux nombres 2p – 1 et 2q – 1. e) En déduire que si le nombre 2n – 1 est premier alors n est lui-même premier. f) La réciproque est-elle vraie ? Justifier la réponse. Les nombres premiers de la forme 2n – 1 sont appelés nombres premiers de Mersenne. /6 a) 211 – 1 = 2047 = 23×89 n’est pas un nombre premier. b) On reconnait la somme des q premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2p. 2pq - 1 Donc S = p 2 -1 pq c) On a 2 – 1 = S×(2p – 1) avec S étant un nombre entier. Donc 2p – 1 divise 2pq – 1. Donc 2pq  1 [2p – 1] d) On a déjà montré dans la question précédente que 2p – 1 divise 2pq – 1. En considérant S’ = 1 + 2q + 22q + 23q + … + 2(p-1)q somme des q premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2q, on obtient : 2pq – 1 = S’×(2q – 1) (S’ est un entier) 2 Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers CORRECTION S1 2010-2011 Donc 2q – 1 divise aussi 2pq – 1. e) Montrons que si n est composé alors 2n – 1 est aussi composé. Si n est composé alors il existe deux entiers p et q tels que n = pq avec p ≥2 et q ≥ 2. On a montré dans la question précédente que 2p – 1 et 2q – 1 sont deux diviseurs de 2n – 1 différents de 1 et de 2n – 1. Donc 2n – 1 est composé. Par contraposition, on en déduit que si 2n – 1 est premier alors n est premier. f) La réciproque est fausse car 211 – 1 est composé alors que 11 est premier. 3 Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers CORRECTION S2 2010-2011 Exercice 1 : a) Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 72. b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement compris entre 30 et 40 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 4×PGCD(x ;y) = 72. /4 a) Les diviseurs positifs de 72 sont : 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 9 - 12 - 18 - 24 - 36 – 72. b) On pose p = PPCM(x ;y) et g = PGCD(x ;y) g divise p ; donc il existe k entier tel que p = gk On a donc g(k – 4) = 108 Donc g est un diviseur de 72 compris entre 30 et 40 : donc g = 36 72 + 4 = 6 puis que p = 36×6 = 216 On en déduit k = 36 Si PGCD(x ;y) = 36 alors il existe x’ et y’ entiers premiers entre eux (avec x’ ≤y’) tels que x = 36x’ et y = 36y’. On a donc xy = 36²x’y’ = pg = 36×216 D’où : x’y’ = 6 On a donc (x’ ;y’) ∈ {(1 ;6) ;(2 ;3) } Si x’ = 1 et y’ = 6 alors x = 36 et y = 216 Si x’ = 2 et y’ = 3 alors x = 72 et y = 108 Les couples (x ;y) cherchés sont donc (36 ;216) et (72 ;108) Exercice 2 : Nombres de Mersenne /4 p Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N = 2 – 1, avec p entier naturel. a) Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1 + a + ….+ an-1. b) Soit a un entier naturel différent de 1 Montrer que, par contraposition que, si an – 1 est un nombre premier, alors a = 2. c) Montrer, que si n est composé, alors 2n – 1 est composé. Indication : on pourra en supposant que n est composé, écrire n = l×m et simplifier la somme 1 + 2m + 22m + …. + 2(l-1)m d) En déduire une condition nécessaire pour que 2n – 1 soit premier e) Montrer que cette condition n’est pas suffisante en fournissant un contre-exemple. f) Donner la liste des 4 premiers nombres de Mersenne premiers. a) On reconnait la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison a. an – 1 On a donc : 1 + a + ….+ an-1 = pour a ≠ 1. a-1 b) Montrons que si a est différent de 1 et de 2 alors pour n ≥ 2 an – 1 est composé. Si a ≠ 2, alors an – 1 = (a – 1)×( 1 + a + ….+ an-1) Si a ≠ 2 alors a – 1 ≠ 1 et a – 1 ≠ an – 1 (car n ≠ 1) Donc a – 1 divise an – 1 Et par suite, an – 1 est composé. Par contraposition, on déduit que si an – 1 est premier alors a= 2. c) Si n est composé ; il existe deux entiers l et m tels que n = l×m (avec n ≠ m et m > 1). 4 Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers CORRECTION S2 2010-2011 1 + 2m + 22m + …. + 2(l-1)m est la somme des l premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2m. 2ml – 1 m 2m (l-1)m On a donc 1 + 2 + 2 + …. + 2 = m 2 -1 n m On en déduit que : 2 – 1 = (2 - 1)×( 1 + 2m + 22m + …. + 2(l-1)m) Donc 2m – 1 est un diviseur de 2n – 1 différent de 1 et de 2n – 1. Donc 2n – 1 est composé. d) Par contraposition de la propriété de la question précédente, on obtient la condition nécessaire suivante : 2n – 1 est premier si n est premier. e) 11 est premier et pourtant 211 – 1 = 2047 = 23×89 n’est pas premier. La condition précédente n’est pas suffisante. f) Pour n = 2, 22 – 1 = 3 est premier Pour n = 3, 23 – 1 = 7 est premier Pour n = 5, 25 – 1 = 31 est premier Pour n = 7, 27 – 1 = 127 est premier (Pour n = 13, 213 – 1 = 8191 est premier) 5