Chute libre avec frottement Vitesse limite de chute

Au tableau
Chute libre avec frottement
•
On peut toujours choisir un référentiel Oxyz (avec z vertical) tel quel les
conditions initiales s’écrivent:
0 v 0x r
r
v0
bv
y
x 0 = 0 v 0 = 0 z
0 v 0z x
O
mg
•
Application de la loi de Newton dans chacune des directions x, y, z:
m˙x˙ = b˙x
x(t) = v0x (1et/)
m˙y˙ = b˙y
y(t) = 0
avec = m
b
m˙z˙ = b˙z mg z(t) = g t + (v0z + g) (1et/)
•
Vitesse limite de chute (t >> ):
vz(t) g = mg/b
OS, 08 novembre 2005
41
Vitesse limite de chute
• Après un temps de chute long (t >> m/b):
–
–
–
–
vitesse v = constante
accélération a = 0
force F = ma = mg bv = 0
vitesse v = g m/b
• Deux masses différentes avec b constant:
z
g
y
bv
O
x
mg
v = constante
– la plus grande masse
• atteint sa vitesse limite plus tard
• atteint une vitesse limite plus grande
• Deux masses égales dans milieux visqueux avec b différents:
– dans le milieu le plus visqueux
• vitesse limite atteinte plus vite
• vitesse limite plus faible
OS, 08 novembre 2005
démo
42
Oscillateurs harmoniques
• Modèle valable, en première approximation, pour tout
phénomène oscillatoire ou vibratoire (petits mouvements
périodiques autour d’une position d’équilibre stable)
• Exemples:
–
–
–
–
–
–
–
masse pendue à un ressort
démo
pendule simple, pendule de torsion
démo
résonateurs à quartz (montres)
circuits électriques RLC
vibrations (corde de guitare, aile d’avion, pudding, …)
oscillations du champ électromagnétique (lumière …)
etc ...
démo
Note: un système physique avec un mouvement périodique est notre meilleure horloge
on mesure le temps en comptant le nombre de périodes
OS, 08 novembre 2005
43
Modélisation de la force d’un ressort
• La force exercée par un ressort est proportionnelle à son
déplacement (élongation ou compression) par rapport à sa
position de repos
démo
• Force de rappel
Ressort
au repos
Ressort allongé
par un poids
F = k x
Loi de Hooke
Position
de repos
x
F = mg
Masse m
à l’équilibre
mg
OS, 08 novembre 2005
k = constante élastique
du ressort
Note: ce modèle n’est
valable que pour les
petits allongements
44
Oscillateur harmonique à une dimension
(cas idéal, sans frottement)
m
k
F
x
O
Origine O de l’axe x définie
comme la position d’équilibre
(position où F=0)
•
•
Loi de Hooke: F = kx
2ème loi de Newton: F = ma
m˙x˙ = kx
équation différentielle
But: connaissant k, m et les conditions initiales (x0 et v0 à t=0),
déterminer x(t) pour tout t > 0
OS, 08 novembre 2005
45
Résolution numérique
• Pour fixer les idées:
– m = 1 kg, k = 1 N/m = 1 kg/s2,
– Conditions initiales: x(0) = 1 m, v(0) = 0 m/s
– a(0) = F(0)/m = k x(0)/m = 1 m/s2
• Récurrence:
– Accroissement de v entre t et t+t:
v = a(t) t car a(t) = dv(t)/dt
v(t+t) = v(t) + a(t) t
– Accroissement de x entre t et t+t:
x = v(t) t car v(t) = dx(t)/dt
x(t+t) = x(t) + v(t) t
•
Algorithme pour ordinateur :
M=1
K=1
T=0
X=1
V=0
DT=0.001
1 F=K*X
A=F/M
V=V+A*DT
X=X+V*DT
T=T+DT
PRINT *,T,X,A,V
GOTO 1
On choisit t très petit (t = 0.001 s dans notre
exemple), et on itère un grand nombre de fois
OS, 08 novembre 2005
46
«Output» de l’ordinateur …
A
-1.000
-0.877
-0.540
-0.070
0.417
0.801
0.990
0.936
0.653
0.210
-0.284
-0.709
-0.960
-0.976
-0.754
-0.346
0.146
0.602
0.911
0.997
0.839
0.475
-0.005
-0.484
-0.844
-0.998
-0.907
-0.595
-0.136
0.355
0.760
0.979
0.958
0.702
0.275
-0.220
-0.661
-0.940
-0.989
-0.796
-0.408
… duquel on fait les graphes suivants:
position x(t)
1
a [m/s2]
V
0.000
-0.479
-0.841
-0.997
-0.909
-0.598
-0.141
0.351
0.757
0.978
0.959
0.706
0.279
-0.215
-0.657
-0.938
-0.989
-0.798
-0.412
0.075
0.544
0.880
1.000
0.875
0.537
0.066
-0.420
-0.804
-0.991
-0.935
-0.650
-0.206
0.288
0.712
0.961
0.976
0.751
0.342
-0.150
-0.606
-0.913
v [m/s]
X
1.000
0.877
0.540
0.070
-0.417
-0.801
-0.990
-0.936
-0.653
-0.210
0.284
0.709
0.960
0.976
0.754
0.346
-0.146
-0.602
-0.911
-0.997
-0.839
-0.475
0.005
0.484
0.844
0.998
0.907
0.595
0.136
-0.355
-0.760
-0.979
-0.958
-0.702
-0.275
0.220
0.661
0.940
0.989
0.796
0.408
x [m]
T
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.5
10.0
10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
14.5
15.0
15.5
16.0
16.5
17.0
17.5
18.0
18.5
19.0
19.5
20.0
vitesse v(t)
1
acceleration a(t)
1
0
0
0
-1
-1
-1
0
10
20
t [s]
0
NB: a=dv/dt =0 v est max (ou min)
10
20
t [s]
0
10
20
t [s]
On reconnaît le cosinus !
Vérification analytique de la solution:
• On pose: x(t) = cos(0t)
x(0)=1 • v(t) = dx/dt = 0 sin(0t) v(0)=0 • a(t) = dv/dt = 02 cos(0t)
• Comme a(t) = k/m x(t), on doit avoir
0 =
k
m
Pulsation propre de
l’oscillateur libre
= 1 s1 dans notre exemple
OS, 08 novembre 2005
47
0
cos(0t)
0
10
20
t [s]
x0=1 m, v0=1.5 m/s
2
-2
20
t [s]
20
t [s]
x0=1 m, v0=−1.5 m/s
-2
10
10
cos(0t)
-2
2
0
0
sin(0t)
0
0
x0=−1 m, v0=0 m/s
2
0
-2
x [m]
-2
x [m]
T
0
x [m]
0
x0=0 m, v0=1 m/s
2
x [m]
x0=1 m, v0=0 m/s
2
x [m]
x [m]
Solution générale et dépendance par rapport aux conditions initiales
0
10
20
t [s]
x0=0 m, v0=0 m/s
2
(au repos)
0
T
10
Période
T = 2
0
Fréquence
-2
20
t [s]
Note:
l’amplitude et la
phase des oscillations
(mais pas 0)
dépendent des
conditions initiales.
0
10
20
t [s]
=1 = 0
T 2
Solution générale de x˙˙ + 0 2 x = 0 :
x(t) = A cos(0t) + B sin(0t) ou bien x(t) = C sin(0t + D)
Deux constantes d’intégration à déterminer par les conditions initiales:
A = x0 et B = v0 /0, ou bien C2 = x02 + (v0 /0)2 et tg(D) = 0 x0/v0
OS, 08 novembre 2005
48
démo
pendule
de torsion
Oscillateur harmonique amorti
• En pratique, tout oscillateur s’amortit à cause des frottements
m
k F
•
•
Algorithme pour ordinateur:
M=1
x
Modèle:
K=1
B=0.25
O
T=0
X=1
– on ajoute une force de frottement proportionnelle
V=0
à la vitesse: Ffrot= bv
DT=0.001
1
F=K*XB*V
(signe «»: la force s’oppose au mouvement)
A=F/M
V=V+A*DT
– coefficient de frottement b = 0.25 kg/s
X=X+V*DT
T=T+DT
PRINT *,T,X,A,V
Deuxième loi de Newton: F+Ffrot = ma
GOTO 1
m˙x˙ = kx b˙x
Ffrot
équation différentielle plus compliquée,
mais toujours facile à résoudre numériquement
OS, 08 novembre 2005
49
Oscillateur harmonique amorti
0
-1
pas amorti
10
b=1 kg/s
1
0
< 0
amortissement
sous-critique
-1
0
20
t [s]
Comportement
oscillatoire
OS, 08 novembre 2005
10
b=0.1 kg/s
1
b=0.25 kg/s
1
0
0
-1
-1
20
t [s]
0
x [m]
x [m]
0
x [m]
b=0 kg/s
1
avec = b et 0 = k
2m
m
10
20
t [s]
b=2 kg/s
1
0
= 0
amortissement
critique
-1
0
10
20
t [s]
Cas où l’amortissement
est le plus rapide
0
x [m]
x [m]
x [m]
˙x˙ + 2˙x + 20 x = 0
10
20
t [s]
b=8 kg/s
1
0
> 0
amortissement
sur-critique
-1
0
10
20
t [s]
Plus de comportement
oscillatoire
50
Solution oscillateur harmonique amorti
˙x˙ + 2˙x + 20 x = 0
avec = b et 0 = k
2m
m
• < 0 (cas sous-critique ou non amorti):
x(t) = et [A cos(1t) + B sin(1t)]
avec 1 = 20 2 < 0
• = 0 (cas critique):
x(t) = et [A + B t ]
• > 0 (cas sur-critique):
x(t) = et [A exp(2t) + B exp(2t) ]
avec 2 = 2 20
OS, 08 novembre 2005
A et B sont les constantes d’intégration,
à déterminer par les conditions initiales
51
Oscillateur forcé
•
•
En pratique tout oscillateur s’amortit; mais on peut
« entretenir» les oscillations à l’aide d’une force extérieure
Exemples:
démos: pendule excité par un ressort
– Balançoire poussée par un enfant
oscillateur forcé amorti par un fluide
– Voiture (avec suspension) passant sur des bosses
– Atome (électron lié) recevant un rayonnement électromagnétique
–
Pendule de l’Exploratorium à San Fancisco (USA)
OS, 08 novembre 2005
52
Oscillateur harmonique forcé
• Modèle:
k F
m
Fext(t)
x
O
Ffrot
– on ajoute une force périodique:
Fext = f sin(t)
– amplitude f = 1 N, pulsation = 0.2 s1
• Deuxième loi de newton: F+Ffrot+Fext=ma
m˙x˙ = kx b˙x +Fext(t)
Algorithme pour ordinateur:
M=1
K=1
B=0.25
F=1
W=0.2
T=0
X=1
V=0
DT=0.001
1 F=K*XB*V+F*SIN(W*T)
A=F/M
V=V+A*DT
X=X+V*DT
T=T+DT
PRINT *,T,X,A,V
GOTO 1
équation différentielle encore plus compliquée,
mais toujours facile à résoudre numériquement
OS, 08 novembre 2005
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