ÉQUATION ET INÉQUATION 4ème
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ÉQUATION ET INÉQUATION 4ème I) Tester une égalité : Rappel : vérifier qu'un nombre est ou non solution d'une équation On considère l’équation : 5x – 22 = 34 – 3x 5 est-il une solution de cette équation ? D'une part : 5x – 22 = 5 x 5 – 22 = 25 – 22 = 3 D'autre part : 34 – 3x = 34 – 3 x 5 = 34 – 15 = 19 5x - 22 ≠ 34 - 3x donc 5 n'est donc pas une solution de l'équation a. D'une part : (x + 2)² = ……………………….. On considère l’équation : (x + 2)² = 4 + x D'autre part : 4 + x = ………………………….. a. - 3 est-il une solution de cette équation ? ………………………………………………………. b. 1 est-il solution de cette équation b. D'une part : (x + 2)² = ……………………….. D'autre part : 4 + x = ………………………….. ………………………………………………………. II. Équations. Définition : Rappel 1 Une équation est une égalité de....................................................(avec une ou plusieurs lettres) appelés les .................................... de l’équation (expressions ...................................du signe « = »), la ou les lettre(s) étant appelées la ou les .................................................... 2 Résoudre une équation signifie ...................... la ou les valeurs de(s) ............................. pour que ...................................................soit vraie Activité 2 p 79 Propriété : On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser ...................... membre d'une égalité par un .................................................................. sans rien changer à l'égalité Exemple : Résolution de 5x – 6 = 4x + 3 1) On ............................. dans chaque membre On va ainsi regrouper les nombres dans un seul membre : 5x – 6 ......... = 4 + 3x .......... 5x = 3x + ......... 2) On ............................. dans chaque membre On va ainsi regrouper l'inconnue dans l’autre membre : 5x ......... = 3x + 10 ......... ......... = ......... 3) On .......................................chaque membre On divise par « le nombre de x » pour n'en avoir plus qu'un: ......... = ......... Phrase réponse obligatoire ......... = ......... ou ..........= ............ La solution de l’équation est ......... TOUT MELANGE Exemple: 5a – 3(2a – 3) = 2a + 8 1) Développer Il faut : Revoir le Chapitre 3 2) Réduire 3) Résoudre comme précédemment 1/3 CAS PARTICULIERS : 1) Equation se ramenant à 0x = 0 Exemple : 2x + 7 – 3 = 2x + 4 ...................... = ...................... ...................... =...................... ...................... = ...................... -------> Tous les nombres sont solutions de l'équation On peut remplacer x par .............................. nombre l'égalité sera ............... donc .............................. conviennent Réponse : .............................................................................................................. 2) Equation se ramenant à 0x = a Exemple : 2x + 5 – 3 = 2x + 4 -------> L'équation n'admet pas de solution ...................... = ...................... ...................... = ...................... ......................= ...................... On peut remplacer x par ...................... nombre l'égalité sera ............... donc .............................. convient Réponse :........................................................................................ III Mise en équation. Quatre (ou cinq )étapes permettent de bien organiser la résolution d'un problème à l'aide d'une équation. 1) Choix .................................................................. En général soit elle vous est indiquée soit vous la trouvez dans la question 2) .............................................du problème 3) Résolution..................................................... 4) Réponse................................................ 5) ............................................recommandée Activité 6 p 80 : Pensez à faire un schéma IV Ordre et comparaisons. 1) Encadrements (exemples) : Rappel : 1. ≤ se lit ................................................ < se lit .............................................. 3,5 ≤ x ≤ 3,6 3,5 et 3,6 3,6 – 3,5 = 0,1 ≥ ................................................ > ................................................ signifie que x est compris entre 3,5 et 3,6 inclus. sont les bornes de l’encadrement 0,1 est l'amplitude de l’encadrement Comparaison : Avec des nombres relatifs pas de problème mais avec des lettres ?? Remarque : Comparer deux nombres revient à étudier le signe leur différence. Ы a – b > 0 » signifie que « ......................... » €« a – b = 0 » signifie que « ......................... » €« a – b < 0 » signifie que « ......................... » Exemple : Comparer 3x et 2x ? Difficile si on ne connait pas la valeur de x Si on fait la différence : On obtient ......................... = ......................... Il suffit alors de connaitre le signe de x : Si x est ......................... alors 3x – 2x ......... soit ............. Si x est ......................... alors 3x – 2x ......... soit ............. 2/3 2) Opérations : a ) Additions et soustractions Démonstration : On considère 2 nombres a et b tels que a < b. On ajoute le même nombre c à a et b , On compare a + c et b + c en étudiant le signe de la différence (a + c) – (b + c) . (a + c) – (b + c) = ...................................... comme a est ............................................................... à b alors a – b est .......................... soit (a + c) – (b + c) ................... c'est à dire (a + c) est ..................................... .......................................................... (à (b + c) Il suffit d'utiliser la même méthode pour la différence Propriété 1: On peut ajouter ou soustraire à .............................. membre d'une inégalité un .................. nombre ........................................... le sens de l'inégalité Exemples : x>3 x+7>3+7 x + 7 > 10 résoudre l'inéquation x + 6 < -7 x + 6....... < -7 .......... x < .......... les solutions de l'inéquation sont ......................................... ...................... à ...................... b ) Multiplications ou divisions i) Par un nombre strictement positif Propriété 2 : On peut multiplier (diviser) .............................membre d'une inégalité par ............................ nombre ...........................................................................................................................le sens de l'inégalité Exemples : a>3 2×a>2× 3 2a > 6 résoudre l'inéquation 3a ≤ -7 1 1 × 3a ≤ × (-7) Le sens de l'inégalité ne change pas 3 3 −7 1a≤ 3 les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à -7/3 ii) Par un nombre strictement négatif Propriété 3 : On peut multiplier (diviser) .............................membre d'une inégalité par ............................ nombre ...........................................................................................................................le sens de l'inégalité Exemples : -x≥3 (-1) × (- x) ≤ (-1) × 3 x ≤ -3 résoudre l'inéquation -3a < -7 1 1 - × a > - × (-7) Ne pas oublier de CHANGER le sens de l'inégalité 3 3 a > 7/3 les solutions de l'inéquation sont tous les nombres ........................................ EXERCICES inéquations 4ème EXERCICE 1 a. Compléter les pointillés : x>6 x>6 x + 1 > ..... x + 7 > ..... x + 1 > ..... x + 7 > ..... b. Compléter les pointillés : x<2 x<2 x + 7 < ..... x + 1 < ..... x + 1 < ..... x + 7 < ..... c. Compléter les pointillés : x ≥ -4 x ≥ -4 x + 1 …….. x + 7 …….. x + 1 …….. x + 7 …….. EXERCICE 3 a. Compléter les pointillés : x>5 x>8 2x > ..... 2x > ..... ½ x > ..... ½ x > ..... b. Compléter les pointillés : x < -4 x < -4 2x …….. 2x …….. ½ x …….. ½ x …….. c. Compléter les pointillés : x ≤ -9 x ≤ -9 2x …….. 2x …….. Exercice 2 x>6 x – 4 > ..... x – 4 > ..... x<2 x – 4 < ..... x – 4 < ..... x ≥ -4 x – 4 …….. Compléter les pointillés par > 0 ou < 0 : a. x > y donc x – y ............. b. x<y donc x – y ............. c. y>x donc x – y ............. d. y<x donc x – y ............. e. x>y donc y – x ............. donc y – x ............. f.y > x x – 4 …….. x > -12 ¾ x > ….. EXERCICE 4 Résoudre ces inéquations : a) x + 3 > 5 b) x - 2 > 6 c) x + 4 < -7 d) – 7 + x < -1 e) 3x > 12 f) 5x < 30 g) 4x > -11 g) ¼ x < 6 ¾ x > ….. x<-4 ¾ x …….. ¾ x …….. Exercice 5 Résoudre ces inéquations : a. 7x + 5 < -3 b. 8x + 3 ≤ 6 c. 7x + 2 > x + 6 d. 5x + 9 < 3 – 4x x ≤ -9 ½ x …….. ¾ x …….. ½ x …….. ¾ x …….. EXERCICE 6 a. Sachant que –2 < x < 3, encadrer les expressions suivantes : x+8 3x 6x – 7 b. Sachant que 1 < 2x – 5 < 3, encadrer x. c. Sachant que -3 < 2 + 5x < 7, encadrer x. EXERCICE 7 (PROBLÈME DE BREVET) La société ALO propose un abonnement téléphonique de 98 F par mois et 1,30 F la minute de communication. La société LAO propose un abonnement téléphonique de 95 F par mois et 1,45 F la minute de communication. On désigne par x le nombre de minutes de communication par mois. 1. Exprimer en fonction de x le montant d’une facture de ALO, puis le montant d’une facture de LAO. 2. Pour quelles durées de communications mensuelles a-t-on intérêt à choisir ALO ?
