Chapitre 2 : Arithmétique I Rappel : le calcul numérique 1°) Opposé

Chapitre 2 : Arithmétique
I Rappel : le calcul numérique
1°) Opposé d’un nombre
2°) La règle des signes
A retenir :
- le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
- le produit de deux nombres de signe contraire est un nombre négatif.
- le produit de plusieurs facteurs non nuls est :
o positif s’il comporte un nombre pair de facteurs négatifs ;
o négatif s’il comporte un nombre impair de facteurs négatifs.
- (−𝑥) × 𝑦 = 𝑥 × (−𝑦) = −𝑥𝑦 et (−𝑥) × (−𝑦) = 𝑥𝑦
- Attention ! croire que – 𝑥 est toujours négatif est une erreur. Par exemple, si
𝑥 = −5, alors l’opposé de 𝑥 est positif.
- Le
carré
d’un
nombre
est
toujours
positif
:
4² = (−4)²
2
mais il ne faut pas confondre : −4 ≠ (−4)²
II Rappel : opérations sur les nombres en écriture fractionnaire
1°) La règle des quotients égaux
A retenir :
Quels que soient les nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑘 (𝑏 ≠ 0 et 𝑘 ≠ 0)
𝑘𝑎 𝑎
=
𝑘𝑏 𝑏
𝑎
Le quotient a le même signe que le produit 𝑎 × 𝑏.
𝑏
2°) Addition et soustraction
A retenir :
Avec un même dénominateur 𝑑 (𝑑 ≠ 0)
𝑎 𝑏 𝑎+𝑏
𝑎 𝑏 𝑎−𝑏
+ =
𝑒𝑡
− =
𝑑 𝑑
𝑑
𝑑 𝑑
𝑑
Si les dénominateurs ne sont pas égaux, on doit préalablement réduire les fractions au
même dénominateur à l’aide de la règle des quotients égaux.
3°) Multiplication et division
A retenir :
(𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑑 ≠ 0)
𝑎 𝑐 𝑎×𝑐
× =
𝑏 𝑑 𝑏×𝑑
Cas particulier :
𝑎
𝑎×𝑐
×𝑐 =
𝑏
𝑏
(prendre la fraction d’une quantité, c’est multiplier la quantité par la fraction)
Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse :
𝑎 𝑐
𝑎 𝑑
÷ = ×
𝑏 𝑑
𝑏 𝑐
Cas particulier : l’inverse d’un nombre non nul 𝑥 est
1
𝑥
Attention : il ne faut pas confondre l’opposé d’un nombre relatif et l’inverse d’une
fraction.
Deux nombres opposés ont une somme nulle.
Le produit de deux nombres inverses est égal à 1.
4°) Simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction, on utilise la règle des quotients égaux pour trouver un
numérateur et un dénominateur plus petits (mais qui restent des nombres entiers)
Difficulté : comment trouver le coefficient qui permet de simplifier la fraction à tous
les coups et le plus vite possible ?
exemples :
simplifier les fractions suivantes :
12
15
104
1 356
60
3 051
III le PGCD : Plus Grand Commun Dénominateur
Un peu de français et de logique mathématique : toutes ces affirmations sont
équivalentes :
- « 3 divise 27 »
- « 3 est un diviseur de 27 »
- « 27 est un multiple de 3 »
- « 27 est divisible par 3 »
- « le reste de la division euclidienne de 27 par 3 est nul »
1 356 admet plusieurs diviseurs dont on peut faire la liste :
1 – 1 356
2 – 678
3 – 452
4 – 339
6 – 226
12 – 113
3 051 admet aussi plusieurs diviseurs :
1 – 3 051
3 – 1 017
9 – 339
27 – 113
Parmi les diviseurs de ces 2 nombres, il y en a plusieurs qui sont communs aux 2 : 1,
3, 113 et 339.
339 est le plus grand de tous. On dit que 339 est le PGCD de 1 356 et 3 051.
Définition :
𝑎 et 𝑏 désignent deux nombres entiers strictement positifs.
Le plus grand commun diviseur des nombres 𝑎 et 𝑏 s’appelle le 𝑃𝐺𝐶𝐷 des nombres 𝑎
et 𝑏.
On le note : 𝑃𝐺𝐶𝐷 (𝑎 ; 𝑏)
Propriétés à comprendre pour mieux les utiliser :
- 𝑃𝐺𝐶𝐷 (𝑎 ; 𝑎) = 𝑎
ex : 𝑃𝐺𝐶𝐷 (503 ; 503) = 503
- 𝑃𝐺𝐶𝐷 (𝑥 ; 1) = 1
- 𝑃𝐺𝐶𝐷 (𝑛 ; 𝑝) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑝 ; 𝑛)
- si 𝑥 divise 𝑦, alors 𝑃𝐺𝐶𝐷 (𝑥 ; 𝑦) = 𝑥
Définition :
Si deux nombres a et b admettent 1 comme PGCD, on dit que a et b sont premiers
entre eux.
IV Quatre méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres
1°) Recherche à la main de tous les diviseurs communs
exemple : trouver le PGCD de 145 et 58.
les diviseurs de 145 sont :
1 et 145 et 5 et 29.
les diviseurs de 58 sont :
1 et 58 et 2 et 29.
On repère les diviseurs communs (ici 1 et 29) et on choisit le plus grand d’entre eux :
𝑃𝐺𝐶𝐷 (145 ; 58) = 29
2°) Calcul du PGCD avec l’algorithme d’Euclide
rappel préalable : la division euclidienne.
définition : a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b non nul.
Avec la division euclidienne, on détermine deux autres nombres : q (quotient) et r
(reste) qui sont les seuls nombres qui vérifient : 𝑎 = 𝑏 × 𝑞 + 𝑟 avec 𝑟 < 𝑏
l’algorithme d’Euclide :
Si a et b désignent des nombres entiers non nuls et a>b
𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏 ; 𝑟)
où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
exemple : calculer le PGCD de 546 et 312 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Avantages : c’est la méthode la plus rapide. On peut même utiliser la calculatrice avec
la touche spéciale « division euclidienne ».
3°) L’algorithme des soustractions successives
Un peu moins rapide, parfois beaucoup, beaucoup plus long… l’algorithme des
soustractions successives est parfois plus simple à retenir :
l’algorithme des soustractions successives :
Si a et b désignent des nombres entiers non nuls et a>b
𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏) = 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑏 ; 𝑎 − 𝑏)
4°) la calculatrice
Juste pour vérifier, il existe une fonction PGCD sur les calculatrices scientifiques.
Elle ne peut pas servir à trouver la solution car les exercices exigent toujours des
calculs détaillés, même si cela n’est pas expressément demandé.
A quoi ça sert ? simplifier des fractions, paver des pièces avec des carreaux carrés,
faire des répartitions identiques de différents objets…