fiche 1 - ambition

LFA/TerminaleS
Spécialitémaths
MmeMAINGUY
PGCD – théorèmes fondamentaux de l’arithmétique
Fiche d’exercices n°1
Exercice 1
Lesquestionssuivantessontindépendantes.
(
)
1) a/Déterminerlesdiviseursde 60 et 105 .Endéduire pgcd 60 ;105 .
b/Mêmequestionavec 385 et 84 .
2) Calculeràlamainlepgcddesnombressuivantsavecl’algorithmed’Euclideetvérifieràlacalculatrice:
a/ 1636 et 1128 b/ 1386 et 1180 c/ −6292 et 5852 (
)
3) Déterminer pgcd 3500 ; 200 .
Exercice 2
(
)
(
)
ºTrouvertouslescouplesd’entiersnaturels x ; y telsque xy = 5292 et pgcd x ; y = 6 .
Exercice 3
(
)
1) Trouvertouslescouplesd’entiersnaturels x ; y telsque x + y = 20 et x et y premiersentreeux.
⎪⎧ x + y = 180
2) Endéduiretouslescouples x ; y telsque: ⎨
⎪⎩ pgcd x ; y = 9
(
)
(
)
Exercice 4
(
) et b = n + 1 .
Soit n unentiernaturel, a = n 3n + 1
(
)(
)
1) Trouverlesentiers x , y , z telsque: a = n + 1 nx + y + z .
(
)
2) Onpose d = pgcd a ; b .Montrerque d divise2.Endéduirelavaleurde d enfonctionde n .
Exercice 5
1) Àl’aided’untableaudecongruence,prouverque5divise n2 sietseulementsi5divise n .
2) Soit n unentiernaturel, a = n3 + 5 et b = n2 .
(
(
)
)
Montrerque pgcd a ; b = pgcd n2 ; 5 .
(
)
3) Endéduirelavaleurde pgcd a ; b