IE2_2011

PEIP Polytech Paris-Sud
2010-2011
Interrogation écrite de Mécanique n°2
Jeudi 31 Mars 2011. Durée 1h30
Les documents et les calculatrices sont interdits.
Les exercices sont tous indépendants.
Une sanction de -1pt pourra être appliquée pour la présentation générale de la copie.
N’oubliez pas de décrire vos calculs avec des phrases et d’encadrer le résultat final.
Questions de cours :
1) Ecrire le Principe Fondamental de la Dynamique dans un référentiel non-galiléen
2) Enoncer le théorème du moment cinétique en précisant les hypothèses.
3) Ecrire les lois de composition des vitesses et des accélérations pour un point matériel
en rotation autour d’un axe fixe avec une vitesse angulaire  constante. Exprimer la
vitesse d’entraînement et les accélérations d’entraînement et de Coriolis en fonction
du vecteur rotation. Tracer schématiquement l’orientation de chacun de ces vecteurs.
Exercice 1 : Avion soumis à une turbulence
On considère un avion qui vole à une altitude de croisière z0=5000m (selon la direction uz)
avec une vitesse v0=800 km/h selon la direction ux mesurée dans le référentiel R(O,ux , uy , uz)
fixe au sol qui est supposé galiléen. Pour servir le petit déjeuner, les hôtesses utilisent un
chariot de masse m qu’elles déplacent dans le couloir de l’avion. Le chariot est en général
arrêté dans le couloir, et il bouge difficilement à cause des forces de frottements solide
caractérisées par les coefficients us=0.5 et ud=0.25. Brusquement, à l’instant t=0, l’avion est
pris dans une turbulence qui dure t=4 secondes. Bien que l’avion reste toujours nivelé
(horizontal dans le référentiel R), la vitesse de l’avion au niveau du sol est passée de 800 km/h
à v1=728 km/h et son altitude est tombée à z1=4960m. Durant toute la durée de la turbulence,





on suppose que l’avion subit une accélération a  a x u x  a z u z   x gu x   z gu z qui est
supposée constante. Ici, g=10m/s2 représente l’accélération de la pesanteur et x,z sont des
nombres sont dimensions qui permettent d’exprimer l’accélération en unités de g
On considérera les forces de frottements statiques et dynamiques définies par :
|fstatique. Max.| = us N
et
avec N la norme de la réaction du sol de l’avion.
|fdynamique| = ud N
Les parties I, II et III sont indépendantes.
Partie I : Mouvement de l’avion pendant la turbulence dans le référentiel R
On se place à un instant t tel que 0<t<4s. On rappelle que l’accélération de l’avion est
constante dans cet intervalle de temps,
1) Donner les coordonnées du vecteur vitesse durant cet intervalle de temps. En déduire
l’expression de ax puis de x. Effectuer l’application numérique.
2) Donner les coordonnées du vecteur position de l’avion. En déduire l’expression de az
et de z en fonction de la hauteur perdue (z0-z1). Effectuer l’application numérique.
3) En utilisant les valeurs numériques obtenues pour x et z, en déduire que



l’accélération d’entrainement s’écrit : ae   g / 2 u x  g / 2 u z .
Partie II : Mouvement du chariot pendant la turbulence traité dans le référentiel R’
On veut décrire le mouvement du chariot dans le couloir de l’avion pendant la turbulence
(0<t<4s). Pour cela, on considère un référentiel R’(A, ux, uy, uz) fixe par rapport à l’avion tels
que les vecteurs unitaires de ce référentiel sont identiques aux vecteurs unitaires du référentiel
R (seule l’origine du référentiel change).
4) Indiquer sur un schéma l’ensemble des forces (y compris les forces d’inertie) que subit
le chariot.
5) En considérant seulement la direction uz:
a. Calculer la composante du poids, P, et de la force d'inertie, fez, qui agissent sur
le chariot en projection selon uz. Ces composantes seront exprimées en
fonction de mg, x et z, .
b. En déduire la valeur de la réaction normale N. En effectuant l’application
numérique, déterminer si le chariot reste collé au sol. En déduire la valeur de
l’accélération du chariot selon z dans R’ : az’.
6) En considérant seulement la direction ux:
a. Calculer la composante de la force d'inertie, fex, agissant sur le chariot en
projection selon ux. Cette composante sera exprimée en fonction de mg, x et
z, .
b. Le chariot se déplace-t-il dans le couloir de l’avion ?
c. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, déterminer la valeur de
la composante de l’accélération du chariot selon x dans R’ : ax’=x’ g.
Déterminer numériquement x’.
7) A partir des questions 5 et 6, montrer que la vitesse du chariot dans R’ est :


v ' 3 / 8 g t u x .
Partie III : Mouvement du chariot pendant la turbulence traité dans le référentiel R :
8) En utilisant la loi de composition des accélérations, déterminer les composantes de



l’accélération ac  acxu x  acz u z du chariot dans le référentiel R en fonction de g. (On
remplacera les coefficients x,z ou x,z’ par leurs valeurs numériques).
9) En utilisant la loi de composition des vitesses, déterminer les composantes du vecteur



vitesse vc  vcx u x  vcz u z du chariot (pour 0<t<4s) dans le référentiel R en fonction de
v0, g et t. (On remplacera les coefficients x,z ou x,z’ par leurs valeurs numériques).
Exercice 2: L’enfant et le ballon
On considère un enfant qui veut lancer son ballon de masse m attaché par un fil qu’il tient
dans la main. L’enfant tourne sur lui-même à une vitesse angulaire ω constante pour pouvoir
lancer le ballon le plus loin possible. La distance entre A et O est constante (bras et fil tendus)
et notée l, et OA fait un angle α avec un plan horizontal. A chaque instant, le bras de l’enfant
(et le fil) sont dans le plan défini par les vecteurs u et uz représentés sur le schéma suivant.
On note u, le vecteur unitaire tel que (u, u, uz) forme une base orthonormée directe.
uz

w
w
O
u
α
l
A


1) Exprimer le vecteur position, OA , la vitesse, v et l’accélération, a , de la masse m
dans le repère (O, u, u, uz).
2) Faire un schéma vu de dessus et de côté et y représenter les forces appliquées sur la
masse m.
3) A l’aide du principe fondamental de la dynamique, déterminer la tension du fil en
fonction de m, l et ω2 et montrer que sin(α)=g/l ω2.
4) Exprimer le moment, par rapport à O, de chaque force appliquée au point A (centre de
masse de la balle) (voir schéma).
5) Exprimer le moment cinétique par rapport au point O.
6) Vérifier le théorème du moment cinétique.
7) A l’instant t=0, l’enfant lâche la balle, comment varie le moment cinétique de l’enfant
par rapport à O en supposant l’absence de tout frottement ? Quelle est ensuite la
trajectoire du ballon ? La représenter schématiquement.