X Maths PC 2009 — Corrigé

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X Maths PC 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Nicolas Weiss (Docteur en mathématiques) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Ce sujet traite de l’ensemble Mn+ des matrices inversibles de Mn (R) dont tous les
déterminants extraits en position symétrique sont strictement positifs. En particulier,
on établit le théorème suivant :
Pour toute matrice P ∈ Mn+ , il existe un vecteur X, dont tous les
coefficients sont strictement positifs, tel que les coefficients de PX
soient eux aussi tous strictement positifs.
Le sujet est constitué de quatre parties, qui sont indépendantes à l’exception de
la dernière question du sujet. Les questions étant très liées les unes aux autres au
sein de chaque partie, il faut les traiter dans l’ordre.
• La première partie établit quelques résultats simples sur Mn+ ; en particulier,
on démontre le théorème ci-dessus dans le cas n = 2. Elle permet de se familiariser avec les matrices de Mn+ et avec la manipulation des vecteurs à coefficients
positifs ou strictement positifs.
• La deuxième partie est totalement déconnectée du reste du sujet et permet
de tester ses connaissances sur les séries entières et les fonctions à plusieurs
variables.
• La troisième partie démontre que pour toute matrice P de Mn+ , il n’existe
aucun vecteur X non nul à coefficients positifs tel que les coefficients de PX
soient négatifs.
• Enfin, dans la dernière partie, on démontre le théorème annoncé en étudiant les
équations du type MX = DX d’inconnues D et X, où D est une matrice diagonale à coefficients diagonaux dans {−1, 1} et X un vecteur ; M est une matrice
orthogonale donnée. En particulier, on montre que ces équations admettent
toujours une solution pour laquelle le vecteur X est à coefficients strictement
positifs.
C’est un sujet de difficulté moyenne pour l’École Polytechnique. Comme souvent,
il ne fait appel qu’à très peu de théorèmes du cours. Cependant, il nécessite d’être à
l’aise en algèbre linéaire et dans la manipulation des matrices, tout particulièrement
dans l’usage des matrices par bloc. Toutes les questions sont faisables ; la difficulté
est essentiellement de toutes les traiter, ou du moins le plus possible, dans le temps
imparti.
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Indications
t
t
1.a Comparer (M(Σ) ) et ( M)(Σ) .
1.c Utiliser les résultats des questions 1.a et 1.b.
2 Exprimer les coefficients de DX en fonction de ceux de X et des éléments
diagonaux de D. Choisir ensuite convenablement les coefficients de la matrice D.
3.a Exprimer les conditions M ∈ Mn+ , X ≻ 0 et 0 < MX sous forme d’inégalités sur
des réels.
3.b Raisonner par l’absurde et reprendre les calculs de la question 3.a pour obtenir
M 6∈ Mn+ .
t
3.c Chercher X sous la forme ( 1, y). Dans le cas b < 0, utiliser le fait que M
appartient à Mn+ .
4 Utiliser la règle de d’Alembert.
5.a Montrer que u et v admettent des dérivées partielles en déterminant les limites
des taux d’accroissement.
5.b Comparer Re ζ et |ζ|.
6.a Quel est le rapport entre les solutions d’un système linéaire et les déterminants ?
6.b Que vaut PC ?
6.c Utiliser la question 6.b.
6.d Que vaut le j-ième coefficient de Y ?
6.e Utiliser la question 6.d.
6.f Utiliser les questions 6.d et 6.e.
7 Interpréter géométriquement la propriété (Pn ).
8 Calculer explicitement t X2 X1 − t X2 DX1 .
Pour la deuxième question, commencer par montrer que D1 D2 = In .
t
9.a Que peut-on dire du signe de U U ?
9.b Utiliser les relations obtenues à la question précédente pour montrer que U et V
sont nuls. En déduire que W est orthogonale. Que vaut alors M ?
10 Calculer t M1 M1 et t M −2M − 2 avec les relations obtenues à la question 9.a.
t
t
t
11.a Calculer M2 M1 . Quelle est la taille de la matrice X2 V ? et de V X1 ?
11.b Utiliser la question précédente.
11.c Que vaut D1 D2 ?
11.d Quelle autre décomposition de M aurait-on pu considérer ?
′
12.a Calculer de deux façons différentes le produit t X t M MX.
t
13.a Calculer de deux façons différentes X NX, où X est un vecteur propre.
Que sait-on de λ si N − λIn n’est pas inversible ? et réciproquement ?
13.b Il existe plusieurs caractérisations des matrices orthogonales.
13.c Calculer la matrice NY en faisant apparaître la matrice M.
14 Se servir du résultat de la question 13.c et « découper » le vecteur obtenu de
taille 2n en deux vecteurs de taille n. Que vérifient ces deux vecteurs ?
15 Utiliser la question précédente et le résultat de la troisième partie.
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Première partie
1.a Commençons par remarquer que pour toute matrice A ∈ Mn et pour toute
partie Σ ⊆ [[ 1 ; n ]], on a
t
t
( A)(Σ) = ( A(Σ) )
t
En effet, si A ∈ Mn et Σ ⊆ [[ 1 ; n ]], la matrice ( A)(Σ) est la sous-matrice obtenue en
t
supprimant la i-ème ligne et la i-ème colonne de A pour tout i ∈ Σ, ie la transposée
de la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ème colonne et la i-ème ligne de A
pour tout i ∈ Σ. On en déduit l’égalité ( t A)(Σ) = t ( A(Σ) ).
t
Soit M ∈ Mn+ . Montrons que M ∈ Mn+ . Fixons donc Σ ⊆ [[ 1 ; n ]] et mont
trons que le déterminant de ( M)(Σ) est strictement positif. On vient de voir que
( t M)(Σ) = t ( M(Σ) ). Comme le déterminant d’une matrice est égal au déterminant
t
de la transposée et que M est dans Mn+ , on obtient det( M)(Σ) > 0. Ceci étant vrai
pour tout sous-ensemble Σ de [[ 1 ; n ]], on conclut que
t
M ∈ Mn+
L’énoncé n’est pas parfaitement clair sur la définition des matrices de Mn+ .
En effet, s’il précise que dans le cas Σ = ∅, on pose M(∅) = M, que se passet-il si Σ = [[ 1 ; n ]] ? La matrice M([[ 1 ; n ]]) est la matrice sans ligne ni colonne.
Que vaut son déterminant ? Nous passerons donc sur ce détail dans tout ce
corrigé.
1.b Soient M ∈ Mn , D ∈ Dn et Σ ⊆ [[ 1 ; n ]]. Les matrices M(Σ) , D(Σ) et (MD)(Σ)
sont des matrices carrées de taille n − Card Σ.
e 1, . . . , C
e n ) les colonnes obtenues en
Notons (C1 , . . . , Cn ) les colonnes de M et (C
supprimant les coefficients d’indice i de toutes les colonnes de M pour tout i ∈ Σ.
e k pour k ∈ [[ 1 ; n ]] et k 6∈ Σ.
Les colonnes de M(Σ) sont alors les C
Notons maintenant (d1 , . . . , dn ) les coefficients diagonaux de D. La matrice D(Σ)
est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les dk pour k ∈ [[ 1 ; n ]]
et k 6∈ Σ. Calculons le produit MD avec ces notations :
 

 d

0
1

 
..
MD = C1 · · · Cn  × 
 = d1 C1 · · · dn Cn 
.
0
dn
En effectuant le produit M(Σ) D(Σ) de la même manière, on constate que les coe k pour k ∈ [[ 1 ; n ]] et k 6∈ Σ. Ce sont les mêmes colonnes de M(Σ) D(Σ) sont les dk C
lonnes que si l’on supprime les i-ème lignes et i-ème colonnes de MD pour tout i ∈ Σ.
Conclusion :
M(Σ) D(Σ) = (MD)(Σ)
Il est important de savoir interpréter le produit de deux matrices carrées en
fonction des lignes et colonnes de celles-ci. En particulier, étant donné deux
matrices carrées A et B de taille n, si on note (C1 , . . . , Cn ) les colonnes de B,
alors le produit AB vaut

 

AB = A × C1
· · · Cn  = AC1
· · · ACn 
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De plus, si on note (E1 , . . . , En ) la base canonique de Rn , on obtient pour
tout i ∈ [[ 1 ; n ]]


BEi = C1
· · · Cn  × E i = Ci
Ce sont ces deux résultats qui permettent d’obtenir l’égalité précédente.
1.c Soient M ∈ Mn+ et D ∈ Dn . Fixons Σ ⊆ [[ 1 ; n ]] et montrons que le déterminant
de (DMD)(Σ) est strictement positif. En appliquant le résultat de la question 1.b aux
matrices DM ∈ Mn et D ∈ Dn , on obtient l’égalité
((DM)D)(Σ) = (DM)(Σ) D(Σ)
Montrons maintenant que (DM)(Σ) = D(Σ) M(Σ) en utilisant la transposée pour
se ramener au résultat de la question 1.b. On a établi à la question 1.a l’identité
t
t
( A(Σ) ) = ( A)(Σ) pour toute matrice A ∈ Mn . On en déduit
t
t
t
t
t
((DM)(Σ) ) = ( ( DM))(Σ) = ( M D)(Σ) = ( M D)(Σ)
Le résultat de la question 1.b donne alors
t
((DM)(Σ) ) = ( t M)(Σ) D(Σ)
t
t
t
(DM)(Σ) = ( D(Σ) ) (( M)(Σ) )
soit
t
Comme D est diagonale, D(Σ) l’est aussi et ( D(Σ) ) = D(Σ) . De plus, d’après le
t t
résultat de la question 1.a, (( M)(Σ) ) = M(Σ) . Il vient
(DM)(Σ) = D(Σ) M(Σ)
et finalement
(DMD)(Σ) = D(Σ) M(Σ) D(Σ)
Comme le déterminant d’un produit de matrices carrées est égal au produit de
leurs déterminants,
det((DMD)(Σ) ) = det(D(Σ) M(Σ) D(Σ) )
= det D(Σ) det M(Σ) det D(Σ)
det((DMD)(Σ) ) = det M(Σ) (det D(Σ) )2
Comme D(Σ) est une matrice diagonale à coefficients diagonaux dans l’ensemble
{−1; 1}, son déterminant est non nul. De plus, comme M ∈ Mn+ , le déterminant de
M(Σ) est strictement positif. On en déduit l’inégalité
det((DMD)(Σ) ) > 0
Conclusion :
DMD ∈ Mn+
Pour montrer que det((DMD)(Σ) ) > 0, on peut aussi dire que le déterminant
de D(Σ) vaut 1 ou −1, ce qui entraîne
det((DMD)(Σ) ) = det M(Σ) (det D(Σ) )2 = det M(Σ) > 0
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