fiche révisions vacances 4e-3e

Fiche de révisions obligatoires pour la rentrée en 3ème.
Apporter cette fiche aux premiers cours de maths de septembre.
LES FRACTIONS
•
Exemple
Fractions égales
21 7 × 3 3
=
=
56 7 × 8 8
k ×a a
=
k ×b b
On ne change pas une fraction si on multiplie ou on divise
le numérateur et le dénominateur par le même nombre.
Fraction
IRREDUCTIBLE
• Addition ou Soustraction
Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d’abord les réduire
au même dénominateur.
Ensuite, on applique les règles
•
5 2 15 4 15 − 4 11
− =
=
=
14 21 42 42
42
42
a b a+b
+ =
d d
d
a b a−b
− =
d d
d
On réduit au même
dénominateur
Multiplication ; Division
a
Il n’y a pas besoin de réduire au même dénominateur !!
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs
entre eux.
b
a
Diviser, c’est multiplier par l’inverse
b
×
÷
c
d
c
d
=
=
ac
−2
bd
7
a
b
×
d
c
=
ad
bc
3
7
×
÷
3
4
11
28
×
=
−2
5
3
7
×
=
2 × 3× 2
7× 2 × 2 ×5
28
11
=
3× 7 × 4
7 × 11
=
=
3
35
12
11
LES PUISSANCES
Soit x un nombre quelconque et n un nombre entier positif :
définition :
Cas particuliers
x n = x × x × ........ × x
n facteurs
x =x
1
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
( −5)
3
= ( −5) × ( −5 ) × ( −5) = −125
61 = 6
x =1
0
Sauf pour x = 0
170 = 1
1
1
1
=
=
24 2 × 2 × 2 × 2 16
1
1
1
−3
=
=−
( −5) =
3
−
5
×
−
5
×
−
5
125
(
)
(
)
(
)
( −5)
2 −4 =
Cas où l’exposant est négatif : x − n est l’inverse de x n
x−n =
1
xn
Règles à savoir :
xn × xm = xn+m
On ajoute les
exposants
43 × 45 = 43+ 5 = 48
xn
= x n−m
m
x
On soustrait
les exposants
53
= 53−7 = 5−4
7
5
(x )
On multiplie
les exposants
n m
= x n×m
Puissances de 10
105 = 10 ×10 × 10 ×10 ×10 = 100000
1
1
=
= 0, 001
3
10 1000
100 = 1
10-3 =
(7 )
2 −3
= 7 2×( −3) = 7 −6
Ecriture scientifique d’un nombre
5 zéros après le 1
C’est lorsque le nombre est écrit sous
a × 10
la forme :
où 1 ≤ a < 10 et n est un nombre
entier quelconque.
n
3 chiffres après la virgule
3 ( x + 4 ) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12
Calcul littéral
•
•
×
Distributivité :
×
5 ( 2 x − 3) = 5 × 2 x − 5 × 3 = 10 x − 15
k ( a + b ) = ka + kb
( a + 3)( 2a + 5) = a × 2a + a × 5 + 3 × 2a + 3 × 5
( a + 3)( 2a + 5) = 2a 2 + 5a + 6a + 15
( a + 3)( 2a + 5) = 2a 2 + 11a + 15
Double distributivité :
×
×
c + d ) = ac + ad + bc + bd
( a + b )(
×
( 2a − 7 )( 3a + 5) = 2a × 3a + 2a × 5 − 7 × 3a − 7 × 5
( 2a − 7 )( 3a + 5) = 6a 2 + 10a − 21a − 35
×
a, b, c, d et k sont n’importe quels nombres (positifs ou négatifs !) ( 2a − 7 )( 3a + 5 ) = 6a 2 − 11a − 35
Théorème de PYTHAGORE
•
Théorème direct : « Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la
somme des 2 autres côtés au carré ».
C
Autrement dit :
A
Si ABC est un triangle
rectangle en B,
alors :
AC2 = AB2 + BC 2
B
à calculer la longueur d’un des côtés du triangle rectangle (quand on connaît les 2 autres)
A quoi ça sert ?
Le triangle . est rectangle en , donc d’après la propriété de Pythagore,
Comment on rédige ?
on a :
2 = 2 + 2
soit 2 = •
donc =
donc
etc (les calculs)..
= unités
...
Réciproque du théorème de Pythagore : « Si dans un triangle, le carré d’un côté est
égal à la somme des 2 autres côtés au carré, alors ce triangle est rectangle »
Autrement dit :
Si dans un triangle ABC on a AC 2 = AB 2 + BC2 , alors le triangle ABC est forcément rectangle (en B)
A quoi ça sert ?
Comment on rédige ?
à prouver qu’un triangle est rectangle (quand on connaît les longueurs des 3 côtés)
Calculons d’une part 2
(carré du côté le plus long)
Calculons d’autre part 2 + 2
Dans le triangle , on a
(somme des deux autres carrés)
... + ... = ...2 , donc d’après la réciproque du
2
2
théorème de Pythagore, est un triangle rectangle en .
ATTENTION :Si on trouve deux résultats différents, on écrit :
Dans le triangle ,
...2 + ...2 ≠ ...2 ,
ne peut être un triangle rectangle en ,
sinon l’égalité serait vérifiée.
Donc n’est pas un triangle rectangle.