Terminale S - spécialité corrigé du devoir maison n˚4 Correction du devoir non surveillé de mathématiques no 4 Exercice 1 : Puisque a ≡ b mod n et c ≡ d mod n, il existe deux entiers q et q ′ tels que a = nq + b et c = nq ′ + d. Ainsi, ac = (nq + b)(nq ′ + d) = n(nqq ′ + qd + q ′ b) + bd et nqq ′ + qd + q ′ b ∈ Z. On a donc, ac ≡ bd mod n. Ainsi, si a ≡ b mod n et c ≡ d mod n alors a × c ≡ b × d mod n. Exercice 2 : 1) (a) Dans le cas où n ∈ N∗ , on sait que si q est un réel différent de 1 alors (n−1)+1 1 + q 1 + q 2 + q 3 + · · · + q n−1 = 1−q1−q . Ainsi, 1 + 81 + 82 + 83 + · · · + 8n−1 = 1−8n 1−8 = 8n −1 7 . (b) Soit un entier naturel n, 23n − 1 = 8n − 1 = 7 1 + 81 + 82 + 83 + · · · + 8n−1 d’après la question précédente. Comme 1 + 81 + 82 + 83 + · · · + 8n−1 ∈ N, on en déduit que 23n − 1 est un multiple de 7. (c) On a 23n+1 − 2 = 2 × 23n − 2 = 2 23n − 1 donc 23n+1 − 2 est multiple de 7 puisque 23n − 1 est un multiple de 7. On a 23n+2 − 4 = 4 × 23n − 4 = 4 23n − 1 donc 23n+2 − 4 est multiple de 7 puisque 23n − 1 est un multiple de 7. 2) En utilisant les résultats de la question précédente, on a : k k si k ≡ 0 (3), c’est-à-dire que k est de la forme 3n, avec n ∈ N, alors on a 2 ≡ 1 (7) et le reste de 2 dans la division par 7 est 1 (0 6 1 < 7). k si k ≡ 1 (3), c’est-à-dire que k est de la forme 3n + 1, avec n ∈ N, alors on a 2 ≡ 2 (7) et le reste de k 2 dans la division par 7 est 2 (0 6 2 < 7). k si k ≡ 2 (3), c’est-à-dire que k est de la forme 3n + 2, avec n ∈ N, alors on a 2 ≡ 4 (7) et le reste de 2k dans la division par 7 est 4 (0 6 4 < 7). 3) Le nombre p désignant un entier naturel, on considère le nombre entier Ap = 2p + 22p + 23p . (a) Si p = 3n, alors on a p ≡ 0 (3), 2p ≡ 0 (3) et 3p ≡ 0 (3). D’après la question 2), on a Ap ≡ 1+1+1 (7). Ainsi, le reste de Ap dans la division par 7 est 3 (0 6 3 < 7). (b) Si p = 3n + 1, alors on a p ≡ 1 (3), 2p ≡ 2 (3) et 3p ≡ 0 (3). D’après la question 2), on a Ap ≡ 2 + 4 + 1 (7). Ainsi, le reste de Ap dans la division par 7 est 0 (0 6 3 < 7). Ap est donc divisible par 7. (c) Si p = 3n + 2, , alors on a p ≡ 2 (3), 2p ≡ 1 (3) et 3p ≡ 0 (3). D’après la question 2), on a Ap ≡ 4 + 2 + 1 (7). Ainsi, le reste de Ap dans la division par 7 est 0 (0 6 3 < 7). Ap est donc divisible par 7. Exercice 3 : Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on pose A(n) = n4 + 1. L’objet de l’exercice est l’étude des diviseurs premiers de A(n). 1) (a) Si n est pair alors n ≡ 0 (2), d’où A(n) ≡ 1 (2). A(n) est donc un nombre impair. Si n est impair alors n ≡ 1 (2), d’où A(n) ≡ 0 (2). A(n) est donc un nombre pair. (b) Soit n un entier. Alors on a n ≡ 0 (3), ou n ≡ 1 (3) ou n ≡ 2 (3). Si n ≡ 0 (3) alors A(n) ≡ 1 (3) et donc A(n) n’est pas un multiple de 3. Si n ≡ 1 (3) alors A(n) ≡ 2 (3) et donc A(n) n’est pas un multiple de 3. Si n ≡ 2 (3) alors A(n) ≡ 16 + 1 ≡ 2 (3) et donc A(n) n’est pas un multiple de 3. Ainsi, quel que soit l’entier n, A(n) n’est pas un multiple de 3. http://mathematiques.ac.free.fr Page 1 de 2 6 décembre 2012 Terminale S - spécialité corrigé du devoir maison n˚4 (c) Soit d un diviseur de A(n). Pour montrer que d et n sont premiers entre eux, il suffit de prouver que les seuls diviseurs communs de d et n sont −1 et 1. On considère un entier k, diviseur commun de d et n. Comme k divise d et d divise A(n), on a k divise A(n). Ainsi, k divise toute combinaison linéaire de A(n) et n, soit 1 × A(n) − n3 × n = 1. Mais les seuls diviseurs de 1 sont −1 et 1. On en déduit que k = −1 ou k = 1, et donc d et n sont premiers entre eux. (d) Soit d un diviseur de A(n). Donc d divise (n4 + 1)(n4 − 1) = n8 − 1. D’où n8 − 1 ≡ 0 (d) ⇐⇒ n8 ≡ 1 (d). 2) Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que nk ≡ 1 mod d. (a) Soit k un tel entier, c’est-à-dire nk ≡ 1 (d). Si on note q le quotient et r le reste de la division euclidienne de k par s, on peut écrire k = s × q + r avec 0 6 r < s . En utilisant les congruences, on peut écrire nk ≡ ns×q+r ≡ nk Mais nk ≡ 1 (d) et ns ≡ 1 (d) Il vient alors 1 ≡ nr q × nr (d). par définition de l’entier s. (d). Par définition de s, s est le plus petit entier naturel non nul k tel que nk ≡ 1 (d). Nécessairement, r = 0 puisque nr ≡ 1 (d) et r est strictement inférieur à s (sinon, s ne serait pas le plus petit !). D’où k = s × q et s est un diviseur de k. (b) Comme n8 ≡ 1 (d) d’après la question 1)(d), on peut dire que s est un diviseur de 8. On admettra dans la suite que, si d est premier, alors s est un diviseur de d − 1. 3) Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier pair. Soit p un diviseur premier de A(n). On note s, le plus petit entier naturel non nul k tel que nk ≡ 1 (p). D’après la question 2)(b), on peut dire que s = 1, ou s = 2, ou = 4 ou s = 8 (tous les diviseurs positifs de 8). ⊛ si s = 1 alors n ≡ 1 (p) et donc A(n) ≡ 2 (p). Comme p est diviseur de A(n), nécessairement p = 2 pour avoir A(n) ≡ 0 (p). On en déduit que A(n) est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2. Mais, d’après la question 1)(a), A(n) est un nombre impair pauique n est pair. On ne peut pas avoir s = 1. 2 ⊛ si s = 2 alors n2 ≡ 1 (p) et donc A(n) ≡ (n2 ) +1 ≡ 2 (p). Comme p est diviseur de A(n), nécessairement p = 2 pour avoir A(n) ≡ 0 (p). On en déduit que A(n) est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2. Mais, d’après la question 1)(a), A(n) est un nombre impair pauique n est pair. On ne peut pas avoir s = 1. ⊛ si s = 4 alors n4 ≡ 1 (p) et donc A(n) ≡ 2 (p). Comme p est diviseur de A(n), nécessairement p = 2 pour avoir A(n) ≡ 0 (p). On en déduit que A(n) est un nombre pair puisqu’il est divisible par 2. Mais, d’après la question 1)(a), A(n) est un nombre impair pauique n est pair. On ne peut pas avoir s = 1. Il ne reste donc qu’une seule possibilité : s = 8. D’après le résultat admis, puisque p est premier, on peut dire que s divise p − 1, c’est-à-dire 8 divise p − 1. Ce dernier résultat est équivalent à p ≡ 1 (8). 4) Recherche des diviseurs premiers de A(12). Indication: la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, . . . 12 est un nombre pair. Soit p un diviseur premier de A(12). D’après ce qui précède, on peut dire que p ≡ 1 (8). En utilisant l’indication, on a A(12) = 20 737 = 89 × 233. On vérifie aisément que 233 est un nombre premier. Les diviseurs premiers de A(12) sont donc 89 et 233. http://mathematiques.ac.free.fr Page 2 de 2 6 décembre 2012