Diviseurs, multiples des nombres entiers naturels Dans ce chapitre on travail uniquement dans l’ensemble ℕ. I – Définitions : 1. Division euclidienne : Propriété : Soient a et b deux entiers naturels, avec b non nul. Il existe un seul couple d’entiers naturels (q ;r) tel que a = b × q + r et 0 ≤ r < b Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer ces deux entiers naturels q et r< ; a est appelé le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste de cette division. 2. Diviseurs et multiples : Soient a et d deux entiers naturels, on dit que d est un diviseur de a si et seulement si il existe un entier naturel k tel que : a = k × d. On dit aussi que d divise a, que a est divisible par d et que a est un multiple de d. Remarques : 1 est un diviseur de tout entier naturel. Un diviseur est non nul. Tout entier naturel est un diviseur de 0 et de lui même. 3. Nombres premiers : On appelle nombre premiers tout entier naturel n’ayant que deux diviseurs, 1 et lui même. Remarque : 1 n’est un nombre premier car il n’a qu’un diviseur. Pour aller plus loin : Le crible d’Ératosthène : Pour trouver les nombres premiers inférieurs à 100 on barre successivement dans ce crible 1 puis les multiples de 2 sauf 2 puis ceux de 3, de 5 de 7 et ainsi de suite. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 4. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers naturels non nuls: Soient a et b deux entiers naturels non nuls, le PGCD de a et b est le plus grand des diviseurs communs à a et b. On le note PGCD (a ; b). Exemple : PGCD (18 ; 24) = 6. 5. Nombres premiers entre eux : Soient a et b deux entiers naturels non nuls, si leur PGCD est 1 on dit que a et b sont premiers entre eux. Remarque : Les nombres premiers sont tous premiers entre eux, mais la réciproque est fausse : contre exemple 4 et 9 sont premiers entre eux mais aucun n’est un nombre premier. II – Méthodes de détermination du PGCD de deux entiers naturels, a et b, non nuls : 1. On détermine l’ensemble des diviseurs de a, l’ensemble des diviseurs de b et le PGCD de a et b est le plus grand nombre commun à ces deux ensembles. Exemple : Ensemble des diviseurs de 18 : 1; 2; 3; 6; 9; 18 Ensemble des diviseurs de 24 : 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 PGCD(18 ;24) = 6 2. On décompose chacun des nombres a et b en produit de nombres premiers, le PGCD de a et b est le produit des nombres premiers communs aux deux décompositions chacun deux étant affecté du plus petit des deux exposants Exemple : 18 = 2 × 32 et 24 = 23 × 3 PDCG(18 ;24) = 2 × 3 = 6 III – Algorithme des différences, Algorithme d’Euclide : 1. Notion d’algorithme : Le mot algorithme vient de l’auteur persan Alkuwarizmi (780 – 850 environ) Définition Un algorithme est « une suite finie de règles (ou instructions) à appliquer dans un ordre déterminé à un nombre fini de données pour arriver, en un nombre fini d’étapes, à un résultat indépendamment des données ». (Encyclopaedia universalis) Il permet donc de résoudre de façon systématique un problème mathématique ou non. Il comprend : ▪ L’entrée ou préparation du traitement ou phase d’initialisation : on précise les variables, on initialise leurs valeurs et on entre les données ▪ Le traitement ou phase de résolution du problème qui peut comprendre des étapes différentes ou des étapes qui se répètent (boucles). ▪ La sortie ou affichage du ou des résultats. Exemples d’algorithmes : ▪ Une recette de cuisine. ▪ La construction d’une figure géométrique. 2 ▪ Le calcul du PGCD deux nombres entiers (algorithme d’Euclide ou algorithme des différences). Dans les deux algorithme étudiés l’entrée sera faite en donnant les deux nombres a et b dont on cherche le PGCD et la sortie sera ce PGCD, mais le « traitement » sera différent. 2. Algorithme d’Euclide : Propriété : Le pgcd de deux nombre a et b est le même que celui du plus petit nombre et du reste de la division euclidienne du plus grand par le plus petit. si a > b alors pgcd(a ;b) = pgcd(b ; r) , r étant le reste de la division euclidienne de a par b. Démonstration : Soit a et b deux nombres entiers positifs tels que a > b et d leur plus grand diviseur commun. d est un diviseur de a donc on peut écrire a = d×k d est un diviseur de b donc on peut écrire b = d×k’ or a = b×q + r donc r = a – b×q donc r = d×k – d×k’×q = d (k – k’×q) donc d est un diviseur de r donc d est aussi le plus grand diviseur commun de a, b et du reste r de la division euclidienne de a par b Donc en faisant les divisions euclidiennes successive de a par b, puis de b par r, puis de r par le nouveau reste et ainsi de suite on obtient d que est le dernier reste non nul. Algorithme : Entrée : Soient les nombres a et b avec a > b. Traitement : début de la boucle Faire la division euclidienne de a par b Si le reste r de cette division est différent de 0 remplacer a par b et b par r et recommencer. Sinon le pgcd de a et b est b, fin du traitement. Sortie : Le PDCG de a et b est le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives. Voir l’exemple livre P 16 (Prisme édition 2008) 3 Schématisation a et b sont deux nombres entiers avec a >b Effectuer la division euclidienne de a par b. Remplacer a par b et b par r Le reste est-il nul ? (c'est à dire a est-il multiple de b ?) non oui PGCD(a;b) = b 3. Algorithme des différences : Propriété : Le pgcd de deux nombre est le même que celui du plus petit nombre et de la différence de ces deux nombres . si a > b alors , pgcd(a ;b) = pgcd(b ;a – b). Démonstration : Soit a et b deux nombres entiers positifs tels que a > b et d leur plus grand diviseur commun. d est un diviseur de a donc on peut écrire a = d×k d est un diviseur de b donc on peut écrire b = d×k’ or a – b = d×k – d×k’ donc a – b = d (k – k’) donc d est aussi le plus grand diviseur de a, b et de leur différence a – b Donc en faisant les différences successives de a par b puis de b par le résultat et ainsi de suite on obtient le pgcd de a et b qui est le dernier résultat non nul 4 Algorithme : Entrée : Soient les nombres a et b avec a > b. Traitement : début de la boucle Calculer d = a – b Si le résultat d est différent de b remplacer a par b et b par d et recommencer. Sinon, le PGCD de a et b est b, fin du traitement. Sortie : Le PDCG de a et b est la dernière différence non nulle. Voir l’exemple livre P 14 Imaginer un schéma. 5