Chapitre N10 Multiples – Diviseurs (première partie) Introduction 336 reste nul 0 7 48 quotient exact Puisque la division de 336 par 7 donne un reste nul on peut dire que 336 est un multiple de 7 ou que 336 est divisible par 7. 1. Critères de divisibilité Pour savoir rapidement si un nombre est divisible par 2, 3, 5, 9, 10, 25 on peut utiliser les règles suivantes : Divisibilité par 2 : tout nombre terminé par 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 Divisibilité par 5 : tout nombre terminé par 0 ou 5 Divisibilité par 10 : tout nombre terminé par 0 Divisibilité par 25 : tout nombre terminé par 00 ou 25 ou 50 ou 75 Divisibilité par 3 : tout nombre dont la somme des chiffres est divisible par 3 Divisibilité par 9 : tout nombre dont la somme des chiffres est divisible par 9 Exemples: 6 810 est divisible par 2, par 5, par 10 et par 3 (car 6 + 8 + 1 + 0 = 15 et 15 est divisible par 3). 6 810 n’est pas divisible par 9 puisque la somme de ses chiffres (15) n’est pas divisible par 9. Exercice 1 : Soit la liste suivante : 112 ; 144 ; 210 ; 405 ; 145; 222 ; 81 ; 180 ; 106 ; 153 ; 117 ; 888 ; 143 ; 229 ; 270. Sans effectuer de division, donner tous les nombres divisibles par 2 : par 3 : Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 1 sur9 par 5 : par 9 : par 10: 2. Décomposition en facteurs premiers 2.1 Définition d’un nombre premier Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par lui même et par l’unité. Exemples : 13 n’est divisible que par 13 et 1 : c’est un nombre premier. 15 est divisible par 15 ; 3; 5; 1 : il n’est pas premier. Voici les nombres premiers que l’on trouve parmi les nombres jusqu’à 100. 2 13 31 53 73 3 17 37 59 79 5 19 41 61 83 7 23 43 67 89 11 29 47 71 97 2.2 Décomposition d’un nombre en produits de facteurs premiers La décomposition se fait par divisions successives par les nombres premiers du plus petit au plus grand possible. Exemple : Décomposons en produits de facteurs premiers le nombre 420. 420 2 420 divisé par 2 égale 210 210 2 210 divisé par 2 égale 105 105 3 105 divisé par 3 égale 35 35 5 35 divisé par 5 égale 7 7 7 7 divisé par 7 égale 1 1 On peut écrire 420 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 2 sur9 Exercice 2 : Décomposer en produits de facteurs premiers les nombres 900 et 360. Remarque : Nous allons utiliser cette décomposition dans la suite du chapitre. 3. PPCM 3.1 Approche : Recherchons les multiples communs à 36 et 24. Pour écrire les multiples de 36 on multiplie 36 par 1 ; 2 ; 3 … On obtient : 36 ; 72 ; 108 ; 144 ; 180 … Il y en a une infinité. De même les multiples de 24 sont : 24 ; 48 ; 72 ; 96 ; 120 ; 144 ; 168…. Le plus petit nombre commun aux deux listes est 72. Les multiples communs à 36 et 24 sont des multiples de 72. 3.2 Définition : Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres (PPCM) est le plus petit nombre multiple de chacun d’eux. 3.3 Recherche du PPCM Pour trouver le PPCM de plusieurs nombres : - décomposer chaque nombre en produits de facteurs premiers. - faire le produit de tous les facteurs différents et pour chacun prendre le nombre de présence le plus élevé. Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 3 sur9 Exemple : Recherche du PPCM de 60 ; 36 et 84 60 2 36 2 84 2 30 2 18 2 42 2 15 3 9 3 21 3 5 5 3 3 7 7 1 1 1 60 = 2 × 2 × 3 × 5 36 = 2 × 2 × 3 × 3 84 = 2 × 2 × 3 × 7 Les différents facteurs premiers sont 2 ; 3 ; 5; 7. 2 est présent le plus de fois dans 60, 36, 84 ; il apparaît 2 fois. 3 est présent le plus de fois dans 36 ; il apparaît 2 fois. 5 est présent 1 fois dans 60. 7 est présent 1 fois dans 84. PPCM = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 = 1 260 Vérification : 1 260 = 60× 21 ; 1 260 = 36 × 35 ; 1 260 = 84 × 15 ; 1 260 est un multiple des trois nombres et c’est le plus petit possible. Exercice 3 : Calculer le PPCM des nombres suivants a) 24 et 35 b) 123 ; 615 et 1 353 Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 4 sur9 c) 900 et 7 007 d) 138 et 204 4.4 Utilisation du PPCM Exemple : Deux véhicules mettent respectivement 225 et 250 secondes pour boucler un circuit. S’ils sont partis au même instant, quand franchiront-ils à nouveau ensemble la ligne de départ pour la première fois ? Pour la deuxième fois ? Le temps cherché est un multiple du temps mis par chacun pour faire un tour. On cherche donc le plus petit multiple commun. 225 = 3 × 3 × 5 × 5 250 = 2 × 5 × 5 × 5 PPCM = 2 × 3 × 3 ×5 × 5 × 5 = 2 250 2 250 s 450 30 60 37 min Ils franchiront ensemble la ligne de départ pour la première fois au bout de 2 250 s soit 37 min et 30 s. Ils franchiront ensemble la ligne de départ pour la deuxième fois au bout de 2 × 2 250 s = 4 500 s = 75 min = 1 h et 15 min. Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 5 sur9 Exercice 4 : Des autobus partent d’une même gare pour effectuer 4 circuits différents. Pour chacun de ces circuits les départs se font à intervalles réguliers. Sur le premier : 24 min, sur le deuxième : 32 min, sur le troisième : 36 min, sur le quatrième : 48 min. Les 4 autobus partent ensemble de la gare à 8 heures. A quelle heure repartiront-ils ensemble pour la première fois ? Remarque : On peut utiliser le PPCM pour chercher un dénominateur commun à plusieurs fractions. Voir le chapitre « simplification de fractions ». Corriger vos exercices avant de faire la suite. Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 6 sur9 Corrigé du chapitre N10 Corrigé exercice 1 : Les nombres divisibles par 2 sont : 112 ; 144 ; 210 ; 222 ; 180 ; 106 ; 888 ; 270 (ils se terminent par un nombre pair). Les nombres divisibles par 3 sont : 144 ; 210 ; 405 ; 222 ; 81 ; 180 ; 153 ; 117 ; 888 ; 270 (la somme de leurs chiffres est divisible par 3). Les nombres divisibles par 5 sont : 210 ; 405 ; 145 ; 180 ; 270. Les nombres divisibles par 9 sont : 144 (1 + 4 + 4 = 9) ; 405 (4 + 5 = 9) ; 81 ; 180 ; 153 ; 117 ; 270. Les nombres divisibles par 10 sont : 210 ; 180 ; 270. Corrigé exercice 2 : 900 2 450 2 225 3 75 3 25 5 5 5 1 900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 360 180 90 45 15 5 2 2 2 3 3 5 1 Corrigé exercice 3 : a) 24 et 35 24 2 12 2 6 2 3 3 1 24 = 2 × 2 × 2 × 3 35 = 5 × 7 Les différents facteurs qui apparaissent sont 2, 3, 5 et 7. 2 est présent 3 fois. 3 est présent 1 fois. 5 est présent 1 fois. 7 est présent 1 fois. Le PPCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 840 35 5 7 7 1 Le PPCM de 24 et 35 est 840. Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 7 sur9 b) 123 ; 615 ; 1353 123 = 3 × 41 615 = 3 × 5 × 41 1 353 = 3 × 11 × 41 Le PPCM = 3 × 5 × 41 × 11 = 6 765 Le PPCM de 123 ; 615 ; 1 353 est 6765. c) 900 et 7 007 900 2 7 007 7 900 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 450 2 1 001 7 7 007 = 7 × 7 × 11 × 13 225 3 143 11 75 3 13 13 25 5 1 5 5 1 Le PPCM = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 11 × 13 = 6 306 300 Le PPCM de 900 et 7007 est 6 306 300. d) 138 et 204 138 2 69 3 23 23 1 138 = 2 × 3 × 23 204 = 2 × 2 × 3 × 17 Les différents facteurs qui apparaissent sont 2, 3, 17, 23. 2 apparaît le plus 2 fois. 3 apparaît 1 fois. 17 apparaît 1 fois. 23 apparaît 1 fois. Le PPCM = 2 × 2 × 3 × 17 × 23 = 4 692 Le PPCM de 138 et 104 est 4 692. Multiples et diviseurs (première partie) 204 102 51 17 1 2 2 3 17 Chapitre N10 Page 8 sur9 Corrigé exercice 4 : On cherche le PPCM des 4 nombres (le plus petit multiple commun des 4 nombres) : 24 2 32 2 36 2 48 2 12 2 16 2 18 2 24 2 6 2 8 2 9 3 12 2 3 3 4 2 3 3 6 2 1 2 2 1 3 3 1 1 24 = 2 × 2 × 2 × 3 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 36 = 2 × 2 × 3 × 3 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 2 est présent le plus de fois dans 32, il y est 5 fois. 3 est présent le plus de fois dans 36, il y est 2 fois. PPCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 288 min 288 48 60 4 288 min : 60 = 4 h 48 min Les bus repartiront de nouveau ensemble dans 288 min, soit 4 h 48 min, c’est à dire à 8 h+ 4h 48 min = 12h 48 min . Multiples et diviseurs (première partie) Chapitre N10 Page 9 sur9