Ensembles fermés de nombres algébriques

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M OHAMED A MARA
Ensembles fermés de nombres algébriques
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 19, no 1 (1965-1966), exp. no 6,
p. 1-16
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1965-1966__19_1_A5_0>
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6-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
19e année, 19%5/%6, n° 6
20
FERMÉS
ENSEMBLES
décembre 1965
DE NOMBRES ALGÉBRIQUES
par Mohamed AMARA
Nous
proposons d’étudier les ensembles
noua
supérieurs
à
l’unité,
entier rationnel
un
q
[7].
Nous
algébriques réels,
rappellerons
tout
ensembles.
ces
algébriques ayant
ensemble de nombres
des nombres
q
introduits par Charles PISOT
d’abord la définition de
Définition. - Soit
S
nul. Nous
non
propriétés
les
désignerons
Sq
par
un
suivantes :
et 1 03B8
est le seul zéro situé dans
appartient à S si e > 1 ,
d’un polynôme Q(z) à coefficients entiers tel que Q(0) = q .
2° Il existe un polynôme A(z) à coefficients entiers tel que
1°
e
1
Remarques.
1 ° 0n
ne
change
p as
8
Nous pouvons supposer que
2° La définition de
tible
montre que
S1
est
S
identique
Les ensembles
et
q >~ 1
n’implique
S
à
Sq
généralisée
par C. PISOT
THÉORÈME 1. -
L’ ensemble
~7?~
peut être point
La démonstration de
famille,
admettant 1 03B8
tienne à S .
nous
Comme
Q~z~~
A~z~
ou
A~z~.
en -
q .
Q(z)
pas que
de former
de
limite de
ce
un
soit nécessairement irréduc~
ensemble fermé.
Sq ,
nous avons
théorème est basée
8
v
de
les familles
sur
S
q
pouvons extraire
pôle,
une
suite
vers un
+4q~
Z
> 1
développements
compactes
nombre fini
d’où
de fractions
03B8 ,
tz)
nous as-
définir . De
convergeant
et vérifiant toutes les
En considérant les
l’inégalité 03B8
S .
q
tendant
A
fractions rationnelles
socions ’
-
o
8
rationnelles. A toute suite
cette
en
est fermé.
S
Tout d’ abord, pour tout
ne
Q(z)
A ~ 0 ~ >,
multiplier Q et A par un même entier, ce qui
si q’ divise q. En particulier, nous avons
S s où
l’ ensemble des nombres de Pisot-Vijayaraghavan.
ont la propriété remarquable, établie par SALEM pour q = 1. ,
q
1
et
q
Nous pouvons
primitif.
ou
changeant
en
vers une
propriétés
de
fraction
pour que
8
Taylor à l’origine des
appar-
fonc-
Nous
savons
que les coefficients
certain rang à leur limite
u
n,v
ce
u ,
qui
fixé,
n
pour
,
égaux
sont
à
d’un
partir
permet d’écrire :
nous
ou encore
flv)
tendant
cients
linfini
vers
soit
entiers,
en
particulier
caractériser l’ ensemble déri-vé
S’ ,
bles dérivés successifs S(n)q . SALEM
il
de même pour
en sera
THÉORÈME
de
q
--
’
ficients
.".-
les ,S ,
-
-
entiers,
u.n
Pour
limite.
la
P
et
B
h
les
v
(1 )
et
tenant
en
réciproque,
Pour
cela,
nous
nous
quelques
(1 )
nous
ne
permet
de
des
ensem-
sont pas
vides,
q % 1 .
_e£ suffisante
)z)
nombre fini de
compte
à coeffi-
polynôme
propriétés
montré que les
St
est qu’il existe
q
q , et tel que, sur
La condition nécessaire s’établit
un
1 . La relation
en
un
appliquant
une
=
fini
6
à coef-
points.
le théorème de Rouché
du fait que
construisons
qu ’un élément
polynôme A(z)
1,
pour
...-’
l’égalité n’ayant lieu qu’en
membre de
(z) désignant
et d’ établir
nécessaire
A(0) %
avec
v
a
condition
.
--
K
)Kv (0) ) #
appartienne à l’ensemble
S
-
2 . - Vne
v , et
avec
suite
tend
vers
de
e
v
S
l’infini
admettant
premier
au
avec
e
v .
comme
q
formons la famille :
désignant re spectivement le s polynômes réciproques de Q et A ~ s
degrés respectifs de Q et A .
admet d’après sa formation exactement un pôle
1
et
dans jzjl
1v
et
vérifie ( z ) ~ S ,
et
8
E=+1
surz ‘
1
limite de cette
sera
(1)
LEMME 1... Soit
nous
ainsi construit
une
suite
de
9,~
suite, soit à droite soit à gauche svivant
permet aussi
suite
une
que
nous avons :
1,
et par
une
d’ établir :
de
8
te extraite de la famille des
Du. lemme
avons
E=-1 .
ou
La relation
tielle
= 1 . Nous
Sq
#
Q~
z
tendant
tendra
démonstration par
le nombre fini
vers
vers
Z,
z
récurrence,
03B8 . Une sui-
et pour cette suite par-
tirons le théorème
nous
suivant:
THEOREME 3. -
Si
un
polynôme A(z)
on
ait
1
un
nombre
9
A(0) q
à coefficients entiers tel que
|Q(z)| ,
S(n)q ,
l’ensemble dérivé
appartient à
la valeur moyenne de
A(z) Q(z)
et que,
étant
au
il existe
)z)1
sur
=1,
à
plus égale
- N (q03B8)4.
COROLLAIRE. - Le
et par
plus petit élément
de l’ensemble
conséquent augmente indéfiniment
avec
~~
f ~
S .
q
les résultats obtenus pour
S..
20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
Soit
en
premier lieu
20142014 ~
S
q
A. Recherche des éléments d’accumulation de
rappelons
à
n .
Il n’existe donc pas de dérivé d’ordre transfini de
:Nous
supérieur
est
la fraction rationnelle définissant
un
élément de
L’étude de
l’équation A(z) - Q(z) ~ z u(z) , u(0)
1 , a permis à m. DUFRESNOY et PISOT
[2] de déterminer le plus petit élément de S. ~ à savoir c~ 1.6180339~* ~ zé1 + z - z2 . De plus, par une
ro du polynôme
méthode
faisant appel qu’au
"problème des coefficients", ils ont montré dans [3] que l’ensemble des éléments
de
S’ inférieurs à 1,8 contient, outre 03B11 , le nombre 03B12 1,7548776... ,
zéro du polynôme 1 - z + 2z - z . Par une méthode analogue, Mme GRANDET [6] a
=
=
autre
ne
=
montré que 2 est le plus petit éléments de S" Bile
éléments de S’ inférieurs à 2 ~ mais toutefois elle a
les nombres
Pn
~
zéros des
polynômes :
pas obtenu tous les
signalé parmi ceux-ci
L’utilisation simultanée des deux méthodes indiquées, et
les éléments de
re, va nous permettre de déterminer tous
e~ , zéro
En
de
plus
polynôme q-1
du
signalée
de la suite des
inférieurs à
S’ 1
(q-l)z- (q-3)z"-
+
=
est le seul
2
Le nombre
e~
"
S’q inférieurs
point
au
nombre
des éléments
zéros des polynômes :
contient la suite des
2,
premiè-
qz .
GRANDET, l’ensemble
par Fine
la
principalement
d’accumulation des nombres
cv
lesquels
n
n
vérifient:
(q
SI
Les éléments de
q
&
2) inférieurs
à
font
e"
partie
de la, suite des
03B11,q ,q ,
zéro s des polynômes :
et les nombres
inférieurs à
a
[4]
MM. DUFRESNOY et PISOT dans
éléments de
S
et
q
.
fonction
Soit
méromorphe
f(z)
=
Soit
=
l’origine.
Nous
Nous
savons
E (0)
-p,-i.t
==
1 ,
u..
une
cas
tel que, si
jusqu’à
n ~
3 , soit
plus petits
ont montré que la recherche des
des coefficients" d’une
"problème
jf(z)) ~
A(z)
est de rang infini si
=
1
un
sur
jz)1
élément
ez~
= 1 .
de
e
e
=
±
1,
S .
de
contraire.
+
u. z +
le désignerons
+
à
fraction rationnelle associée à
...
diaprés [4] qu’il
coïncide
[5]
)zj ~
".~f(z)
rang infini dans le
et
S’ est intimement liée au
q
1
et vérifiait
dans
Nous dirons que
à
correspondent
n,q
nous
u
+
le
...
développement
de
Taylor
de
par :
existe
posons
l’ordre
z~
n -
un
D (z)
1
E (z) ~ de degré n ~
z En(1/z) , le développement
polynôme
= -
avec
celui de
avec
soit :
de
w n étant déterminé d’une manière unique. De même,
lyn8me E* (z) de degré n, avec E*(0) = 1 , tel
étant déterminé d’une manière unique. Nous
w*
A/
égalités
l’une des
pas
égalité,
~z) t 1
et
ont chacun
pouvons trouver
nous
que si
nous
D
(z)
avec
un
un
po-
posons
alors :
avons
B
entraînant celle de
Dn(z)
si
n E*(z) ;
ou
zéro et
un
seul
Tn
et
s’il
Tn
n’y
a
dans
tels que
A
(
z
)
Q
(
z
)
fortes,
est de rang
Signalons
la relation de récurrence vérifiée par les
si
infini,
les coefficients
u
n
vérifient des
inégalités plus
à savoir :
Puisque
nous nous
intéressona
aux
éléments de
(z) :
D
S
à
q.
03B8* ,
de
(4)
nous
tirons :
Des
propriétés
suivant :
des
polynômes
Dn
et de la relation
~~ ~ ~
nous
déduisons le lemme
Des
propriétés
polynômes
des
et de la relation
D
n
(5),
nous
déduisons le lemme
suivant :
LEMME 2 e - Les fractions rationnelles associées
à
développements
admettent l’un des
8~
Nous obtenons deux suites admettant pour
+z - qz2 .
q
d’une manière
coefficients entiers
plus,
u..(0)
si
=1
C’est ici
q2
q
unique
Si
q=1 , 03B8(q) = 03B11
u2
=
avec
3 ,
u. (0)
=1
il existe
~ zéro du po03B8* 03B8(q) .
un
un
polynôme
u.(z)
à
et tel que
u..(z)
polynôme
à coefficients entiers
avec
et tel que
qu’intervient
le choix de
Or il est facile de voir que c’est
8~~ .
un
6~’
entier,
est déterminé de manière que
et
comme
(3)
sera
vraie pour
il s’ensuit que
d’où
la frac-
point d’accumulation e~"
et, pour q 2 ,
Remarque 2. - Le développement (7) montre qu’il existe
De
inférieurs
S
à savoir :
tion rationnelle
lynôme
éléments de
suivants :
développements (6) déterminent
1. - Les
Remarque
aux
(10).
Remarque 3. - Pour
les
développements (7), d’après (6),
nous avons :
n ~,3,
Si
est de rang
Si pour tout
1 1 - 2z ,
existe
e
n
où
cas
nous
z
devons avoir :
coïncide
2 , le développement de
suite, pour les éléments de
- w
=
2 . Par
=
indice
un
Dans le
u
n ,
d’où
infinie
tel que
u
-
est de rang
S’
celui de
avec
inférieurs à
il
2,
=1 ~
w
fini,
il existe
un
indice
tel que
n
u
n
-wnn = 0 ,
d.aoù ,
remarquons que notre étude
A n (z)
Q n (z)
et
l’égalité ayant
zéros
n
sont des
lieu
dans z ~
va se ramener
l’équation
à coefficients entiers tels que
polynômes
nombre fini de
en un
à celle de
points.
plus Qn (z)
De
admet exactement
1 .
s
P
Posons
(z) _ ~ n
n
LEMME 3 . - Le
n
polynôme
(1~z) ,
u n (z)
E
n
choisi de manière que
ses
zm
0 , où
n
sur z !
zéros
admet tous
P
(0) > ~ .
."
1
=
et,
de
plus,
distincts.
LEMME 4. -
négatif
ou
nul,
Soit
@
suite,
Par
s
et
choisis
h
L’équation Qn(z) ±
admet
une
au
moins
im
Pn(z) =
+
s -.
n
Zni
désigne
m
racines distinctes
fraction rationnelle associée à
entier
un
sur
un
élément
6
de
S’q ,
Q
et
£
et
~’
positif,
=
1 .
8
est de rang infini. Posons:
désignant respectivement
de manière que P(0) et
les
degrés
soient
de
positifs.
A ~
étant
g .
1 Etude des fractions rationnelles
développement
z
(1 , 2 , ...) .
aussi
développement (8) .
que
B
Q
étudié ultérieurement.
polynômes
(7)
Le
le
admet
Nous supposerons
le
@
À , B , Q véri-
Les
sera
admet
cas
fient:
Nous
di stinguons
(a)
h
troi s
> s . -
cas :
qui s’en déduisent,
à celles
mier lieu
ni = n2
des lemmes 3 et 4
L’ application
par le
A !
et ensuite
changement
B . Compte
de
aux
équations (13 )
nous
z
tenu de cette
donne
égalité,
(14)
et
en
nous
et
preobte-
nons :
soit
(b)
A
==
s~ . - Comme dans le
h
B . De là
nous
déduisons
cas
s -
précédent,
h = 2
et
montrons tout d’abord que
nous
1
.
Le résultat final
s’écrira:
ou encore :
d’où la suite des
(c)
tant le
h
=
s . -
j3 n
(n~2) .
Il n’existe
développement (8)
et
aucune
possédant
~j-= (l , ~ , u~ ,
2.
Les
polynômes A(z)
et
Q(z)
fraction rationnelle de rang
un
... ,
pôle supérieur
à
w.
u~, ...) .
vérifient alors la relation
(9) :
infinie
admet-
de -=-
supposé quelconque. Nous avons seulement l’hypothèse
que B(0) ~ q . Si q = 1 ~ ~ admettrait l’un des développements (7) ou (9)
(a) h > s . - L’application des lemmes (3) et (4) à l’équation (9) et à
nous affirme que :
celle qui s’en déduite par le changement de z
Le
développement
est
’
Mais alors les
nous
polynômes
A
et
(10),
vérifient de plus
Q
et de l’étude de
(10)
déduisons le résultat :
(b)
h
De la même manière que dans le
s . -
met les
u2 2 . Nous
développements (7) ou (8).
En
de
tout d’abord
plus
q
(9),
=
et
1
d’où la suite des
(c)
polynômes
h =
A
nous
a
n
ces
Q
deux relations
(n >, 3)
montrons
s . -
et
deux
q ue B
ad-
nous
donne :
a
que A
==
B ,
et le résultat s’écrit :
Nous étudions tout d’abord le
vérifient les relations
la seule fraction rationnelle associée
est celle
avons
obtenons
nous avons :
L’étude simultanée de
Tout d’ abord
=
précédent, nous
possibilités suivant
cas
précisément qui définit
aux
le nombre
(9)
et
éléments
03B8* :
q z u~
où
cas
(10).
e
de
=
3,
cas
où les
Nous pouvons montrer que
inférieurs à
8’#’ ,
Pour
poursuivre
la recherche des fractions rationnelles de
nous
établirons
en
Le
lieu les lemmes suivants 1
premier
degré
LEMME 6. - Il existe
vérifie
de
U
un
polynôme
tel que
V
nl
La démonstration du lemme 6 est basée
De la remarque 1 du lemme
Etude du
-
Q
P
et
d’après
nous
partie
à savoir
’*’
sur
des 6 n
s - 2
et
permet
(n ~ 2)
Etude du
n~
1
la transformation :1
B(0) = q = 1 . -
Dans
ce
P Q ~ (1 ,
cas, les
polynômes
2 , 4 , ... ) et,
2,
et la famille des fractions rationnelles associées:
et
c~
n, q
,q
cas
(0) ==
V
ou
B ~0) ~ q ..
1
du
de montrer que les seuls éléments de
de la suite des
~~ ,q
U;s~2,
à coefficients entiers
d’où
U~ _ s - 2
cas
Si
le résultat s’ensuit.
2,
la remarque 3 du lemme
-Etude du
font
(z)
U~s-2e
vérifient la relation
D’où la suite
lemme 6
U1 =
cas
développements
définis par les
à
s
’
q
inférieurs
fractions :
a ,q g’~ .
s -
3 . - Dans l’étude de
ce
cas,
nous nous
inspirerons
de la démonstration utilisée par M. DUFRESNOY et PISOT pour montrer que
a1
est
le
plus petit élément
restent valables pour
THEOREME
de
Nous utiliserons certains de leurs résultats
S’ .
q ~ 1 , et
établirons le théorème suivant :
existe deux
Supposons qu’il
40 -
nous
qui
polynômes
à coefficients entiers
avec
tel s que :
Alors,
nous avons :
Nous savons, d’ après le lemme
6, qu
existe
un
polynôme Vp ,
n~
tel que :
Nous
sommes
alors dans les conditions
Cas où q
des 03B1
(n > 2)
n
-
B(z)
= 1 . - Alors
V
ni
d’application
du théorème
est
à A. Nous déduisons la suite
identique
4, d’où :
et la suite des fractions associées :
résultat valable pour
n >, ~ ,
en
ajoutant celui obtenu dans
la
remarque 1 du lem-
me2.
-
Cas où
En tenant
(O) = 1 ,
q ~ 2 . - Pour
compte
de
Il existe donc
un
(14),
s
nous
polynôme
J 4 ,
nous
utilisons la transformation
trouvons que :
Vn(z)
tel que
et
d’après
le théorème
(14)
Les relations
et tout nombre
Vn=1.
4,
(15)
et
donnent alors :
S , défini
e
de
8
correspondants
par
Q(z) ,
supérieur
sera
à
03B8* ,
à élimi-
cas
ner.
et les nombres
L’ensemble de
THÉORÈME
Le nombre
sont
à
résultats peuvent être résumés dans les théorèmes suivants:
nos
inférieurs à
5. - Le s éléments de
2
supérieurs
est le
plus petit élément de
2
sont le s nombre s
a
n
S"1 .
(n 3) , nous avons mis en évidence l’exisD’ après le théorème 2, nous pouvons former six
Remarque . - Pour tout élément 03B1 n
tence de trois
polyn8me s
suites admettant
former que
THÉORÈME
ces
ments de
point d’accumulationo
ayant 03B2n pour limite.
pour
an
quatre suites
03B8*
éléments,
Si
il n’existe
nous avons
alors que c’ est
qu’un polynôme
aussi
déjà déterminé
201420142014~20142014~
1 -
les suites de
pouvons
respectivent 03B11,q ,
alors que pour les élé-
le
A~0) >,
pour
q
lus
est naturelle pour
q
etits éléments de
plus petit élément
==
A~z) .
S,
q >, 2 .
restriction pour
une
A(z) ,
de
par la fraction rationnelle 1
(et
sont
S’
montré l’existence d’au moins deux polynômes
B. Recherche des
avons
nous ne
.
Cette différence vient du fait que la condition
Nous
Pour tout
6. - Les quatre plus petits éléments de
03B12,q , 03B13,q ,
Pour
o
1 ). D’après
S’ , q
le théorème
S .
q
à
2~
savoir 03B11,q
nous
défini
pouvons former
z - z
S
q
tendant
vers
c~ ,q
à droite et à
gauche.
Nous trouvons deux
suites
6
n
et n
formons
nous
en
,
plus
respectivement zéros
les suites
n
n ~
9’ n~~
4 (tous
particulier 6" , zéro
De
plus,
sins de
du
les
8’ n
pour
c.. ,q
,
en
correspondants
intéressons
aux
1°
appliquons
q
à
u2
élément
un
=
A(z) Q(z)
développements (17)
aux
~~,q contient,
et
en
nombre
un
mais suffisamment voi-
8 ~
8’ n
des
les
à,
telles que
propriétés
q
pour
=
1 ).
inégalités:
admet le
étant entièrement
1
fractions rationnelles
développements
déterminés,
nous nous
s
suivantes des
D
polynômes
n
associés:
Lorsque u > u >
est de rang fini
wn .
les nombres
évidence vérifient les
Les nombres
n
1~~
S , qui sont supérieurs à
appartiennent à la famille des 6 n (et
rationnelle, définissant
D~
q
les nombres de
La fraction
et
inférieurs à
S
de :
polynôme :
Les différents nombres mis
Nous
q =
n
respectivement zéros
Nous montrerons que la famille des éléments de
outre
P :
et
P
polynômes
6’n ,
et
et
des
s ),
o
> u ",
..
nous
traînant :
et que
s>/
n
(dans
D
le
cas
où
la valeur de
^
2° Nous formons ensuite le
D
connus
(z) . Nous en déduisons
n
wn , l’ égalité entraînant 8 Tn .
déterminons
Nous devons avoir
Nous devons avoir
sont
(1 ) >,
n+1
polynôme Dn+( z ) par Ia
0 , condition équivalente
relation de récurrence
à
un
n
w*n
, l’égalité
n.
(4) .
en-
Si les deux
inégalités strictes, u
nous avons
s ~
Nous associons
Soit
que
N
N
un
dans le
1
n +
aux
3 . D’autre part,
distinguer
Avant d’entamer notre
LEMME 7 nombre
=
propriétés
Les
En
k~
nous
Les
nous
de
limitant
rationnel
diaprés
propriétés
si A Q
D2p
aux
et
pouvons éliminer
4
79
et
en nous
6
un
satisfaites,
s *
Nous remarquons
N
s ,
est
nous avons
pair
ou
impair.
entier rationnel. Il
en
est de même pour le
le résultat:
~- .
entraînent :
D2p+l
nombres
le lemme
de
est de rang fini
est
sont
et
N
n
pour
étude, signalons
=
0~
celui
deux cas, suivant que
q ? (u~ - v~)
q~(u~ -
k~
v
=
>
est de rang fini
cas
u
D~(l)
et
w
développements (17)~
entier tel que
Nous devons
>
8 ,
nous
nous avons
D2p+2
obtenons
deux
2 .
possibilités :
entraînent l’entier rationnel
restreignant
aux
nombres
8~8.
étant entier
et
comme nous nous
Ces
inégalités
seront
L’ ensemble de
THÉORÈME
- et
8t
limitons
ces
aux
nombres
impossibles
si
§~ 6~ ~
6
nous nous
2 *
nous avons
limitons aux
nombres
o
914 ’
résultats est résumé dans le théorème suivant :
7. - Les nombres
sont les nombres
8
6
n ,
14
n’ appartiennent as
qui
les nombres
8 n (n
>
14) ,
aux
familles des 8’ n
et le nombre
b" .
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