Bases de Gröbner - Thèses et Mémoires

2
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
MEMOIRE POUR L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER
EN MATHEMATIQUES
OPTION : Asymptotique des équations différentielles et calcul formel.
Intitulé
Bases de Gröbner
Présenté par : Kehaili Abdelkader
Soutenu le 30 janvier 2013
devant le Jury composé de :
Mr K . Belghaba
Université d’Oran
Président
Mme F. Boudaoud
Université d’Oran
Rapporteur
Mr A . Bouhassoun
Université d’Oran
Examinateur
Mr A . Hakem
Université de Sidi Bel-Abbes
Examinateur
Mme K . Nachi
Université d’Oran
Examinateur
Année Universitaire : 2012/2013
Remerciement
Je remercie Dieu avant tout car à lui seul revient tous les louanges.
Je tiens à remercier chaleureusement mon encadreur,
Madame F.BOUDAOUD, je lui en suis très reconnaissant, Merci.
Je profite de cette occasion pour remercier tous mes enseignants, sans oublier mes
enseignants de l’université de Mostaganem.
Je tiens à remercier Monsieur K.BELGHABA de me faire l’honneur de présider le
jury de cette thèse.
Je remercie vivement Monsieur A.BOUHASSOUN, et Monsieur A.HAKEM, et
Mme K.NACHI d’avoir accepté de faire partie de ce jury.
Je tiens à saluer tous les membres de ma promotion.
A tous mes amis.
Table des matières
1
2
Rappel d’algèbre
9
1.1
Anneau et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Idéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3
Algèbre des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4
Les ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.5
Anneaux Noethériens et théorème de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.6
Ordres monomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.7
Idéaux monomiaux et lemme de Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Base de Gröbner
31
2.1
Division dans l’anneau des polynômes à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . .
31
2.2
Base de Gröbner sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.3
Propriétés des bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.4
L’algorithme de Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
2.4.1
44
Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
TABLE DES MATIÈRES
2.5
3
4
Bases de Gröbner sur un anneau de valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Bases de Gröbner dynamiques
55
3.1
Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2
Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau de Dedekind . . . . . . . . . . . . .
61
Applications de bases de Gröbner
69
4.1
Appartenance à un idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.1.1
Appartenance à un idéal sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.1.2
Appartenance à un idéal sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . .
71
4.1.3
Appartenance à un idéal sur un un anneau de Dedekind . . . . . . . . . . .
78
Résolution d’un système d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2
TABLE DES MATIÈRES
7
Introduction
Dans ce mémoire, on s’intéresse de l’appartenance d’un polynôme à un idéal de K [x1 , . . . , xn ].
Tant que l’algorithme de la division euclidienne dans K [x1 , . . . , xn ] ne permet pas de tester si un
polynôme f appartient à l’idéal engendré par les polynômes fi , parce que le reste dépend de l’ordre
choisi pour les polynômes fi alors pour remédier ceci, on a besoin du concept de bases de Gröbner.
Rappelons qu’une base de Gröbner d’un idéal I de l’anneau de polynômes est un ensemble de
générateurs de cet idéal vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Cette notion a été introduite
dans les années 1960 par Bruno Buchberger qui lui a donné le nom de son directeur de thèse Wolfgang Gröbner.
Les bases de Gröbner ont le gros avantage de ramener l’étude des idéaux polynomiaux à l’étude
des idéaux monomiaux (c’est-à-dire formés de monômes), ces derniers idéaux étant plus faciles à
appréhender.
Soit K un corps (commutatif). Revenons un instant sur le cas des polynômes à une seule variable :
l’anneau K[X] est principal, et un idéal I de K[X] se représente naturellement par son générateur
principal. Mieux, l’algorithme d’Euclide permet de déterminer celui-ci à partir d’une famille finie
de générateurs, et ainsi de tester l’appartenance d’un polynôme à I.
La notion de base de Gröbner permet de répondre aux problèmes suivants.
1. Un idéal de K [x1 , . . . , xn ] possède-t-il toujours un nombre fini de générateurs, autrement dit
peut-on écrire
I = h f1 , . . . , f s i
8
TABLE DES MATIÈRES
pour des polynômes bien choisis f1 , . . . , f s ?
2. Comment déterminer effectivement si un polynôme f appartient à l’idéal h f1 , . . . , f s i
engendré par les polynômes f1 , . . . , f s ?
3. Comment résoudre effectivement un système d’équations polynomiales
f1 (x1 , . . . , xn ) = . . . = f s (x1 , . . . , xn ) = 0 ?
Chapitre 1
Rappel d’algèbre
1.1
Anneau et corps
Pour les rappels d’algèbre on a utilisé les ouvrages suivants [1], [11], [12]
Définition 1.1.1 Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de compositions internes notée (+)
et (.) .
On dit que le triplet (A, +, .) posséde une structure d’anneau si et seulement si :
– (A, +) a une structure de groupe abélien et l’élément neutre pour la loi (+) est noté 0.
– La loi (.) est distributive par rapport a la loi (+).
– La loi (.) est associative.
– Si de plus, il existe un élément neutre dans A pour la loi (.) (que l’on note 1 et qu’on appelle
élément unité de l’anneau) alors l’anneau A est dit unitaire.
– Si la loi (.) est commutative, l’anneau est dit commutatif.
Définition 1.1.2 (diviseur de zéro)
Soient A un anneau, a ∈ A.
1. On dit que a est un diviseur de zéro à gauche dans A si et seulement si :
a , 0 et ∃b ∈ A, (b , 0
et
ab = 0).
10
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
2. On dit que a est un diviseur de zéro à droite dans A si et seulement si :
a , 0 et ∃c ∈ A, (c , 0 et
ca = 0).
3. On dit que a est un diviseur de zéro dans A si et seulement si a est un diviseur de zéro à
gauche et un diviseur de zéro à droite dans A.
Définition 1.1.3 Soit A un anneau, l’annulateur de a ∈ A est l’ensemble des b ∈ A tel que ab = 0.
Exemple 1.1.1 Dans Z/16Z, l’annulateur de 8 est h2i.
Définition 1.1.4 (Anneau intègre)
Un anneau A est dit intègre si et seulement si :
– A , {0}
– A est commutatif
– A n’admet aucun diviseur de zéro.
Définition 1.1.5 (élément irréductible)
Soient A un anneau et a ∈ A. On dit que a est irréductible si et seulement si a < A x et pour tout
x, y ∈ A,
xy = a ⇒ (x ∈ A x ou y ∈ A x ) où A x est le groupe des éléments inversibles de l’anneau A.
Exemple 1.1.2 Dans Z, les éléments irréductibles sont les nombres premiers.
Définition 1.1.6 (Anneau factoriel)
Soit A un anneau commutatif. On dit que A est factoriel s’il intègre et vérifier les deux conditions
suivantes : existence (1) et unicité (2) de la décomposition en facteurs irréductibles. Autrement dit,
1.2 Idéaux
11
1. tout x ∈ A∗ non inversible s’écrit x = p1 . . . pr où r ≥ 1 et les pi sont des éléments irréductibles de A non nécessairement distincts ;
2. la décomposition précédente est unique au sens suivant : si l’on a deux décompositions
x = p1 . . . pr = q1 . . . q s où les pi et les qi sont irréductibles, alors s = r et il existe une
permutation σ de ~1 . . . r telle que pi et qσ(i) soient associés.
Exemple 1.1.3 L’anneau (Z, +, .) est factoriel.
Définition 1.1.7 Soit A un anneau, deux éléments a, b ∈ A sont dits incomparables pour la division
si a ne divise pas b et b ne divise pas a.
Définition 1.1.8 Soit K un ensemble et soient (+) et (.) deux lois internes sur K. Le triplet (K, +, .)
posséde une structure de corps si et seulement si :
– (K, +, .) a une structure d’anneau commutatif unitaire.
– (K/ {0} , .) a une structure de groupe.
Définition 1.1.9 (Corps des fractions)
Soit A un anneau commutatif, le corps (A × A∗ )/R tel que R est une relation définie sur (A × A∗ ) par
(a, b) R (c, d) ⇐⇒ ad = bc
s’appelle corps des fractions de A.
Exemple 1.1.4 – Le corps des fractions de Z est Q.
1.2
Idéaux
Définition 1.2.1 Soit (A, +, .) un anneau et I un sous ensemble de A. I est un idéal à gauche
(resp. à droite) de A si et seulement si :
12
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
– I est un sous groupe abélien de A pour la loi (+).
– Pour tout élément a de A et x de I, a.x (resp x.a) est un élément de I.
Définition 1.2.2 Soit A un anneau et I un sous ensemble de A. I est un idéal bilatère de A si et
seulement si I est à la fois un idéal à gauche et un idéal à droite de A.
On utilisera de maniére générale le mot idéal pour idéal bilatère.
Remarque 1.2.1 Naturellement le sous groupe {0} de A et A lui même sont des idéaux de A.
Proposition 1.2.1 Si un idéal d’un anneau A contient l’élément unité de l’anneau alors l’idéal est
égal à l’anneau tout entier.
Preuve : Supposons que l’idéal I de l’anneau A contient l’élément 1 de A. Alors pour tout
a ∈ A, a = a.1, et par définition d’un idéal, est un élément de I. Donc A ⊂ I et I = A.
Définition 1.2.3 Un idéal I de l’anneau A sera dit propre s’il est strictement contenu dans A,
autrement dit s’il est distinct de A .
Ceci revient à dire que l’élément unité de A n’appartient pas à l’idéal.
Définition 1.2.4 L’ensemble aA des multiples d’un élément a, que l’on note aussi hai, est un idéal
de A, il s’agit même du plus petit idéal de A contenant a.
Lemme 1.2.1 Un anneau A est un corps si et seulement si A est non nul et admet {0} et A pour
seuls idéaux.
Preuve : Par définition un corps est un anneau non nul dans lequel les éléments non nuls sont
inversibles. Soit donc A un corps et I un idéal non nul de A. Comme I est non nul, il contient un
élément non nul a. Ce dernier est inversible, ce qui permet d’écrire 1 = ab avec b dans A et assure
1.2 Idéaux
13
que 1 appartient à I puisque I est un idéal. On voit ainsi que I = A.
Réciproquement supposons que A soit non nul et ne possède que {0} et A comme seuls idéaux. Soit
a un élément non nul de A, comme aA est un idéal non nul, on a nécessairement aA = A ce qui
permet d’écrire 1 = ab avec b dans A et montre que a est inversible. L’anneau A est donc un corps.
Définition 1.2.5 On dit qu’une famille d’idéaux de A est filtrante pour l’inclusion lorsque deux
idéaux quelconques de la famille sont contenus dans un même idéal appartenant également à la
famille considérée.
Proposition 1.2.2 Soit A un anneau.
1. L’intersection d’une famille quelconque d’idéaux est un idéal.
2. La réunion d’une famille filtrante pour l’inclusion d’idéaux est un idéal.
Preuve : Donnons nous une famille quelconque (Ii )i d’idéaux. L’intersection d’une famille de
sous- groupe est un sous-groupe. Par ailleurs si a appartient à tous les Ii et que b est un élément
quelconque de A, on voit que ab appartient à tous les Ii puisque chacun d’eux sont des idéaux.
Regardons maintenant le cas de la réunion. Cette fois l’hypothèse que la famille est filtrante pour
l’inclusion est essentielle. Que la famille soit filtrante ou non, l’élément nul appartient à la réunion
et l’opposé d’un élément de la réunion aussi. De même le produit d’un élément de la réunion et
d’un élément quelconque de A appartient également à la réunion. Le seul point qui requière que
la famille soit filtrante est la vérification que la réunion est stable par addition. Si la famille est
filtrante deux éléments de la réunion sont contenus dans un même idéal de la famille auquel cas la
réunion est stable par addition.
Corollaire 1.2.1 Soient A un anneau et χ une partie de A. Il existe un plus petit idéal de A
14
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
contenant la partie χ à savoir l’intersection des idéaux de A contenant χ.
Cet idéal est appelé l’idéal engendré par la partie χ.
Proposition 1.2.3 Soit (A, +, .) un anneau et χ une partie de A. L’idéal engendré par la partie χ
est l’ensemble des combinaison linéaires à coefficients dans A d’éléments de χ.
Preuve : Tout idéal engendré par la partie χ contient les combinaisons linéaires à coefficients dans
A d’éléments de χ. Il suffit donc de vérifier que l’ensemble des ces combinaisons linéaires est un
idéal, ce qui est évident.
Soient I1 , . . . , In des idéaux de A, le plus petit idéal de A contenant I1 , . . . , In , autrement dit l’idéal
engendré par la réunion des Ii , est l’ensemble I1 + . . . + In des sommes a1 + . . . + an avec
a1 ∈ I1 , . . . , an ∈ In . En particulier l’idéal engendré par les éléments a1 , . . . , an de A, c’est-à-dire le
plus petit idéal de A les contenant, est a1 A + . . . + an A, on le note fréquemment ha1 , . . . , an i.
Définition 1.2.6 Soient (A, +, .) un anneau et I un idéal.
1. On dit que I est de type fini lorsqu’il posséde un nombre fini de générateurs, autrement dit
s’il existe des éléments a1 , . . . , an dans I tel que I = ha1 , . . . , an i.
2. On dit que I est principal lorsqu’il existe un élément a de I tel que I = hai.
Définition 1.2.7 On dit qu’un anneau est principal s’il est intègre et si tous ses idéaux sont
principaux.
Exemple 1.2.1
– l’anneau (Z, +, .) est principal.
– l’anneau (K [X] , +, .) est principal.
1.2 Idéaux
15
Définition 1.2.8 Soient (A, +, .) un anneau commutatif et I un idéal propre de A. On dit que I est
maximal si et seulement si les seuls idéaux qui le contiennent sont lui-même et A.
Exemple 1.2.2
– Les idéaux maximaux dans Z sont les idéaux pZ avec p premier.
Définition 1.2.9 Soient (A, +, .) un anneau commutatif et I un idéal propre de A. On dit que I est
premier si et seulement si, pour tout élément a, b de A, on a
ab ∈ I ⇒ (a ∈ I ou b ∈ I).
Définition 1.2.10 (Anneau de Bézout)
Soit A un anneau commutatif intègre, on dit que A est un anneau de Bézout si et seulement si une
des deux propositions équivalentes suivantes est vérifiée :
– la somme de deux idéaux principaux de A est toujours un idéal principal ;
– tous les idéaux de type fini de A sont principaux.
Exemple 1.2.3 – Les anneaux principaux sont des anneaux de Bézout.
Théorème 1.2.1 (Théorème de Bézout)
Soit A un anneau de Bézout ; a et b deux éléments de A sont premiers entre eux si et seulement si :
∃(u, v) ∈ A2 , au + bv = 1A .
Preuve : Si a et b sont premiers entre eux, alors 1A est un pgcd de a et b. Comme on est dans un
anneau de Bézout, il existe d ∈ A tel que aA + bA = dA. Mais alors d divise a et b donc il doit
diviser leur pgcd, donc d est inversible et aA + bA = A ce qui donne l’identité souhaitée.
Réciproquement, si ∃(u, v) ∈ A2 , au + bv = 1A , alors aA + bA = A, donc 1A est un pgcd de a et b.
Par suite, a et b sont premiers entre eux.
16
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
1.3
Algèbre des polynômes
Dans toute cette section, K désignera un corps commutatif.
Définition 1.3.1 Un monôme en x1 , . . . , xn est un produit de la forme x1α1 . . . xnαn avec αi ∈ N.
Le degré total de ce monôme est la somme des αi , il est noté |α|.
Définition 1.3.2 Un polynôme f en x1 , . . . , xn avec les coefficients dans K est une combinaison
linéaire finie des monômes, on écrit f =
Définition 1.3.3 Soit f =
P
α
P
α
aα xα ; aα ∈ K.
aα xα ; aα ∈ K, un polynôme dans K [x1 , . . . , xn ].
1. On appelle aα le coefficient du monôme xα .
2. Si aα , 0, alors on appelle aα xα un terme de f .
3. Le degré total de f noté deg( f ) est le maximum des |α| tel que aα , 0.
Définition 1.3.4 Un ensemble I ⊆ K [x1 , . . . , xn ] est un idéal si et seulement si :
1. 0 ∈ I.
2. Si f, g ∈ I, alors f + g ∈ I.
3. Si f ∈ I et h ∈ K [x1 , . . . , xn ] alors h f ∈ I.
Lemme 1.3.1 Si f1 , . . . , f s ∈ K [x1 , . . . , xn ] alors l’ensemble
h f1 , . . . , f s i =
P s
i=1
hi fi ; h1 , . . . , h s ∈ K [x1 , . . . , xn ] .
est un idéal de K [x1 , . . . , xn ] appelé l’idéal engendré par f1 , . . . , f s (c’est le plus petit idéal
contenant f1 , . . . , f s ).
Preuve :
1.3 Algèbre des polynômes
1. 0 ∈ h f1 , . . . , f s i puisque 0 =
2. Soit f =
Ps
i=1
On a f + g =
17
Ps
i=1
0 fi .
pi fi , pi ∈ K [x1 , . . . , xn ] et g =
Ps
i=1 (pi
Ps
i=1
qi fi , qi ∈ K [x1 , . . . , xn ].
+ qi ) fi ∈ h f1 , . . . , f s i car pi + qi ∈ K [x1 , . . . , xn ].
3. Soit h ∈ K [x1 , . . . , xn ] on a h f =
Ps
i=1 (hpi ) fi
où hpi ∈ K [x1 , . . . , xn ] donc h f ∈ h f1 , . . . , f s i.
Définition 1.3.5 Soit f un polynôme non nul de K [x] , f = a0 xm + a1 xm−1 + . . . + am , avec ai ∈ K
et a0 , 0, m = deg( f ). On dit que a0 xm est le terme dominant de f , et on écrit LT ( f ) = a0 xm .
Proposition 1.3.1 Soit g un polynôme non nul de K [x]. Pour tout f ∈ K [x], il existe q, r ∈ K [x]
tels que f = qg + r avec q, r ∈ K [x] et r = 0 ou deg(r) ≺ deg(g). Les polynômes q et r sont uniques.
Preuve : Si f = 0 rien à faire.
Si f , 0, on initialise : q := 0; r := f si LT (g) divise LT (r) alors
q := q + LT (r)/LT (g)
r := r − (LT (r)/LT (g))g
On refait tant que r , 0 et LT (g)/LT (r).
Définition 1.3.6 Un plus grand commun diviseur des polynômes f1 , . . . , f s ∈ K [x] est un polynôme
unitaire h tel que :
1. h divise f1 , . . . , f s .
2. Si p divise f1 , . . . , f s alors p divise h.
On écrit h = ∆( f1 , . . . , f s ).
Proposition 1.3.2 Soient f1 , . . . , f s des polynômes dans K [x] alors :
1. ∆( f1 , . . . , f s ) existe et il unique.
18
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
2. ∆( f1 , . . . , f s ) est un générateur de l’idéal h f1 , . . . , f s i.
3. Pour s ≥ 3 ; ∆( f1 , . . . , f s ) = ∆ ( f1 , ∆ ( f2 , . . . , f s )).
4. Il y a un algorithme pour obtenir ∆( f1 , . . . , f s ) appelé algorithme d’Euclide.
Preuve :
1. Chaque idéal de K [x] est principal donc il existe h ∈ K [x] tel que h f1 , . . . , f s i = hhi.
Supposons qu’il existe p ∈ K [x] divisant f1 , . . . , f s ; c’est à dire f1 = c1 p, . . . , f s = c s p ; on a
h ∈ h f1 , . . . , f s i donc il existe A1 , . . . , A s tels que : h = A1 f1 + . . . + A s f s = (A1 c1 + . . . + A s c s )p,
et par suite p divise h. Il vient h = ∆( f1 , . . . , f s ).
Pour montrer l’unicité, supposons qu’il existe h̃ un autre ∆( f1 , . . . , f s ). On a alors h/h̃ et h̃/h,
et par suite il existe λ ∈ K ∗ tel que h = λh̃.
2. h = ∆( f1 , . . . , f s ),
∀h/ fi ⇒ fi ∈ hhi ∀i ⇒ h f1 , . . . , f s i ⊂ hhi.
L’algorithme d’Euclide implique h =
Ps
i=1
hi fi , hi ∈ K [x] et par suite h ∈ h f1 , . . . , f s i.
On conclut que h f1 , . . . , f s i = hhi.
3. Soit h1 = ∆( f1 , ∆( f2 , . . . , f s )).
On a h1 divise f1 et ∆( f2 , . . . , f s ) donc h1 divise fi , ∀1 ≤ i ≤ s.
Soit p ∈ K [x] tel que p divise f1 , f2 , . . . , f s . Comme h1 = ∆( f1 , ∆( f2 , . . . , f s )), p divise
∆( f2 , . . . , f s ) et par suite p divise h1 . Ce qui implique h1 = ∆( f1 , . . . , f s ).
4. Algorithme d’Euclide pour chercher ∆( f1 , . . . , f s ). On a ∆( f1 , . . . , f s ) = ∆( f1 , ∆( f2 , . . . , f s )),
c’est une relation de récurrence donc il suffit de calculer ∆( f s−1 , f s ) puis la remplacer par sa
valeur et faire le même travail jusqu’à trouver ∆( f1 , . . . , f s ).
1.4 Les ensembles ordonnés
1.4
19
Les ensembles ordonnés
Définition 1.4.1 Soit χ un ensemble. On dit qu’une relation binaire R dans χ est une relation
d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
L’ensemble χ muni de la relation d’ordre R est dit ordonné.
Définition 1.4.2 Soit χ un ensemble et ≥ une relation d’ordre sur χ. On dit qu’un élément x de χ
est
1. maximal si pour tout y ∈ χ tel que x ≤ y, alors x = y (si x n’est pas maximal, il existe donc
un élément y dans χ tel que x < y) ;
2. un plus petit élément de χ si pour tout y dans χ on a x ≤ y.
Proposition 1.4.1 Soit χ un ensemble ordonné. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Toute suite croissante d’éléments de χ
x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn ≤ . . .
est stationnaire autrement dit il existe n ≥ 0 tel que xm = xn pour tout m ≥ n.
2. Toute partie non vide de χ admet un élément maximal.
Preuve : Supposons que dans χ toute suite croissante d’éléments soient stationnaires. Soit ξ une
partie non vide de χ n’admettant pas d’élément maximal.
comme ξ est non vide, on peut y trouver un élément y0 . Ce dernier n’étant pas maximal, il existe
un élément y1 dans ξ tel que y0 < y1 . De même y1 ne pouvant être maximal, il existe un élément y2
dans ξ strictement plus grand que y1 . On construit ainsi une suite strictement croissante d’éléments
de ξ
20
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
y0 < y1 < . . . < yn < . . .
ce qui contredit notre hypothèse.
Réciproquement supposons que toute partie non vide de χ posséde un élément maximal et donnons
nous une suite croissante d’éléments de χ
x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn ≤ . . ..
L’ensemble formé de tous les xi est non vide donc admet un élément maximal xn , ce qui assure que
pour tout m ≥ n on a xm = xn . On voit ainsi que la suite considérée est stationnaire.
Définition 1.4.3 Soit χ un ensemble ordonné.
1. On dit que χ est bien ordonné lorsque toute partie non vide de χ possède un plus petit élément.
2. On dit que χ est totalement ordonné lorsque toute partie non vide de χ réduite à deux éléments
posséde un plus petit élément, ce qui revient à dire que pour x, y ∈ χ on a x ≤ y ou x ≥ y.
3. On dit que χ est filtrant lorsque deux éléments de χ sont majorés par un élément de χ,
autrement dit si pour x, y ∈ χ il existe un élément z ∈ χ tel que x ≤ z et y ≤ z.
En particulier pour un ensemble ordonné χ, on dispose des implications suivantes
χ
est bien ordonné
⇓
χ
est totalement ordonné
⇓
χ
est filtrant
.
1.5 Anneaux Noethériens et théorème de Hilbert
1.5
21
Anneaux Noethériens et théorème de Hilbert
En appliquant la proposition (1,4,1) à l’ensemble des idéaux ordonnés par inclusion, on voit que
les deux conditions suivantes sont équivalentes.
1. Toute suite croissante d’idéaux
I0 ⊂ I1 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . .
est stationnaire autrement dit il existe n ≥ 0 tel que Im = In pour m ≥ n.
2. Toute famille non vide χ d’idéaux admet un élément maximal.
Définition 1.5.1 Soit A un anneau. On dit que A est noethérien lorsqu’il possède les propriétés
équivalentes suivantes :
1. Toute suite croissante d’idéaux
I0 ⊂ I1 ⊂ . . . ⊂ In ⊂ . . .
est stationnaire autrement dit il existe n ≥ 0 tel que Im = In pour m ≥ n.
2. Toute famille non vide d’idéaux admet un élément maximal.
Proposition 1.5.1 Un anneau A est noethérien si est seulement si tout idéal de A est de type fini.
Preuve : Supposons que A est noethérien et donnons nous un idéal I de A. L’ensemble χ des idéaux
de type fini contenu dans I est non vide puisque contenant {0}, il posséde donc par hypothèse un
élément maximal J. Pour tout élément a ∈ I, l’idéal J + hai est de type fini et contenu dans I. Il
s’agit donc d’un élément de χ contenant J. Comme J est maximal dans χ et J + hai = J. Cela
prouve que a appartient à J et donc que J = I. On voit ainsi que I de type fini.
Réciproquement supposons que les idéaux de A soient de type fini. Soit (Ik )k une suite croissante
22
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
d’idéaux. Comme Ik ⊂ Ik+1 pour tout k, la réunion des Ik est un idéal de A. Elle est donc engendrée
par un nombre fini d’éléments a1 , . . . , ar . Ces éléments appartiennent chacun à un des Ik et comme
ils sont en nombre fini, il existe un In qui les contient tous.
On voit ainsi que pour m ≥ n, les idéaux Im et In coïncident, ce qui prouve que la suite est stationnaire.
Théorème 1.5.1 (Théorème de Hilbert)
Soit A un anneau noethérien. L’anneau des polynômes à n variables A [x1 , . . . , xn ] est noethérien.
Preuve : Comme A [x1 , . . . , xn ] = A [x1 , . . . , xn−1 ] [xn ] on se trouve par récurrence ramené à prouver
que l’anneau A [x] des polynômes à une variable est noethérien.
Soit I un idéal de A [x]. Notons Ik l’idéal de A engendré par les coefficients dominants des
polynômes de degré k appartenant à I. Comme I est un idéal, il est stable par multiplication par x ce
qui assure que Ik ⊂ Ik+1 pour tout k. On remarquera d’ailleurs que Ik est simplement la réunion de
{0} et de l’ensemble des coefficients dominants des polynômes de degré k appartenant à I. Comme
A est noethérien, la suite croissante (Ik )k est stationnaire et il existe n tel que Ik = In pour k ≥ n.
Comme A est noethérien, les idéaux I0 , . . . , In sont de type fini, il existe donc pour tout i ∈ {0, . . . , n}
des éléments ai,1 , . . . , ai,si ∈ Ii tels que
Ii = ai,1 , . . . , ai,si .
Chacun de ces éléments est le coefficient dominant d’un polynôme fi, j appartenant à I.
Nous allons vérifier par récurrence sur le degré que l’idéal I est engendré par les fi, j pour
i ∈ {0, . . . , n} et j ∈ {1, . . . , si }. Le résultat est immédiat pour les polynômes de degré nul. Supposons
que tout élément de I de degré < k soit combinaison linéaire des fi, j . Soit f un élément de I de degré
k. Écrivons le polynôme f sous la forme
1.6 Ordres monomiaux
23
f = ak x k +
hPk−1
i=0
ai x i
i
avec ak ∈ Ik non nul. Lorsque k > n on sait que Ik = In , il existe donc g ∈ I de degré n de coefficient
dominant ak . On voit alors que f = xk−n g+r où r ∈ I est un polynôme de degré strictement plus petit
que k, ce qui permet de conclure par récurrence. Si k ≤ n, on peut écrire le coefficient dominant ak
de P sous la forme b = b1 ak,1 + . . . + brk ak,sk ce qui assure que
f−
P sk
i=1
bi fk,i
est de degré < k et on conclut à nouveau par récurrence.
Corollaire 1.5.1 L’anneau k [x1 , . . . , xn ] est noethérien. En particulier ses idéaux sont de type fini.
1.6 Ordres monomiaux
Définition 1.6.1 Un ordre monomial sur Nn est une relation d’ordre ≥ sur Nn vérifiant les trois
conditions suivantes :
1. la relation ≥ est un ordre total sur Nn ;
2. la relation ≥ est compatible avec l’addition au sens où si α ≥ β alors pour tout γ on a
α+γ ≥ β+γ;
3. la relation ≥ est un bon ordre.
Remarque 1.6.1 Sur N il n’y a évidemment qu’un seul ordre monomial à savoir l’ordre usuel.
En revanche dès que n ≥ 2 comme nous allons le voir, il existe sur Nn différents ordres monomiaux.
Le seconde condition signifie en fait que l’ordre corréspondant sur les monômes donné par xα ≥ xβ
si et seulement si α ≥ β, est en fait compatible avec la multiplication par un monôme, autrement
24
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
dit si xα ≥ xβ , alors pour tout monôme xγ , on a xα xγ = xα+γ ≥ xβ+γ = xβ xγ . On peut remarquer
également que la condition 1 est redondante puisqu’elle est impliquée par la condition 3. Un bon
ordre est en effet toujours un ordre total, puisque dans un tel ensemble ordonné tout ensemble à
deux éléments posséde a un plus petit élément. Nous verrons avec la proposition (1,7,1) un critére
beaucoup plus simple permettant de montrer qu’un ordre sur Nn est monomial.
Lemme 1.6.1 Soit χ un ensemble ordonné non vide. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. la relation ≥ est un bon ordre ;
2. χ est totalement ordonné et ne contient pas de suite strictement décroissante pour
la relation ≥.
Preuve : Supposons la condition 2 satisfaite. Soit x0 un élément de χ.
Si ≥ n’est pas un bon ordre, alors puisque χ est totalement ordonné, il existe x1 dans χ tel que
x1 < x0 . De même x1 ne pouvent être un plus petit élément il existe un x2 dans χ tel que x2 < x1 .
Par récurrence, on construit donc une suite strictement décroissante, ce qui contredit 2.
Réciproquement supposons que la condition 1 est satisfait. Alors a fortiori χ est totalement ordonné.
Si (xn ) est une suite décroissante, alors {x0 , x1 , . . .} est non vide donc admet un plus petit élément.
Cela assure que la suite est stationnaire, et prouve que χ ne contient pas de suite strictement
décroissante pour la relation ≥.
Ordre lexicographique
Définition 1.6.2 Soient α, β deux éléments de Nn . On dit que α ≥lex β si et seulement si le premier
coefficient non nul de α − β est positif. Si α ≥lex β, alors nous pourrons dire que xα ≥lex xβ .
Proposition 1.6.1 L’ordre lexicographique ≥lex est un ordre monomial sur Nn .
1.6 Ordres monomiaux
25
Preuve : Que l’ordre lexicographique soit total découle immédiatement que l’ordre usuel sur N est
total. Supposons que α ≥lex β et soit γ ∈ Nn .
Comme α + γ − (β + γ) = α − β il résulte de la définition que α + γ ≥lex β + γ.
Finalement donnons nous une suite décroissante d’éléments αi de Nn pour l’ordre lexicographique.
La suite des αi,1 est décroissante dans N donc stationnaire, il existe donc N ≥ 1 tel que αi,1 = αN,1
pour i ≥ N. On en déduit qu’à partir de N, La suite de αi,2 est décroissante. Quitte à prendre un N
plus grand, on a donc αi,1 = αN,1 et αi,2 = αN,2 pour i ≥ N. De prôche en prôche on conclut que la
suite des αi est stationnaire.
Notons que si on change l’ordre des variables, l’ordre lexicographique obtenu est différent. Par
conséquent il y a n! ordres lexicographiques.
Exemple 1.6.1 Soit A = Q x, y, z .
Prenons le polynôme f = 3x2 y3 + 2y3 z5 de A. Le premier terme de f est 3x2 y3 avec α = (2, 3, 0) et
le deuxième terme de f est 2y3 z5 avec β = (0, 3, 5).
On obtient donc le vecteur différence α − β = (2, 0, −5). Puisque sa première coordonnée non nulle
est positive on a que α ≥lex β. C’est donc dire que 3x2 y3 ≥lex 2y3 z5 .
Ordre lexicographique gradué
Définition 1.6.3 Soient α, β deux éléments de Nn . On dit que α ≥grlex β si et seulement si
|α| =
Pn
i=1
αi > |β| =
Pn
i=1
βi ou |α| = |β| et α ≥lex β.
Si α ≥grlex β, alors nous pourrons dire que xα ≥grlex xβ .
Proposition 1.6.2 L’ordre lexicographique gradué ≥grlex est un ordre monomial sur Nn .
Preuve : Similaire au cas de l’ordre lexicographique.
26
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
Exemple 1.6.2 Soit A = R x, y, z .
Prenons le polynôme f = 3x2 y3 z + 2y3 z2 de A. Le premier terme de f est 3x2 y3 z avec α = (2, 3, 1)
et |α| = 6 et le deuxiéme terme de f est 2y3 z2 avec β = (0, 3, 2) et |β| = 5.
On obtient que |α| > |β| et donc α ≥grlex β. C’est donc dire que 3x2 y3 z ≥grlex 2y3 z2 .
Définition 1.6.4 Soit f ∈ k [x1 , . . . , xn ] un polynôme que l’on écrit sous la forme
f =
P
α
aα xα =
P
α
aα x1α1 . . . xnαn .
1. Le multidegré de f par rapport à ≥ est l’élément de Nn donné par
multideg( f ) = max {α ∈ Nn : aα , 0}
le maximum étant pris par raport a l’ordre ≥. Le fait que l’ordre soit total assure bien qu’un
tel maximum existe.
2. Le coefficient dominant de f est l’élément de k donné par
LC( f ) = amultideg( f ) .
3. Le monôme dominant de f est le monôme de k [x1 , . . . , xn ] donné par
LM( f ) = xmultideg( f ) .
4. Le terme dominant de f est le polynôme de k [x1 , . . . , xn ] donné par le produit du coefficient
dominant et du monôme dominant :
LT ( f ) = LC( f )LM( f ).
Exemple 1.6.3 Soit f ∈ R x, y tel que f = 5x3 y2 − 6x2 y + 3y − 1. On munit N2 de l’ordre
lexicographique avec x y.
on a LT ( f ) = 5x3 y2 , LC( f ) = 5, LM( f ) = x3 y2 .
1.7 Idéaux monomiaux et lemme de Dickson
1.7
27
Idéaux monomiaux et lemme de Dickson
Définition 1.7.1 Un Idéal I de k [x1 , . . . , xn ] est dit monomial s’il est engendré par des monômes,
autrement dit s’il existe une partie non vide E ⊂ Nn , possiblement infini, telle que I soit l’ensemble
des polynômes qui s’écrivent comme somme finie de la forme
P
α
hα xα avec hα ∈ k [x1 , . . . , xn ].
Dans ce cas, nous notons I = hxα | α ∈ Ei.
Remarque 1.7.1 Des idéaux monomiaux sont égaux si et seulement si ils contiennent les mêmes
monômes.
Lemme 1.7.1 Soit I un idéal monomial et E ⊂ Nn une partie non vide tel que les monômes xα
engendrent I. Pour tout β ∈ Nn , le monôme xβ appartient à I si et seulement si il existe un α dans E
tel que xα divise xβ .
Preuve : Il est clair que xα divise xβ pour un certain α dans E, le monôme xβ appartient à I.
Réciproquement supposons que xβ appartient à I. On peut alors écrire xβ comme une somme finie
de la forme
xβ =
P
α
hα x α
avec hα ∈ k [x1 , . . . , xn ]. En écrivant chaque hα comme une combinaison linéaire des monômes, on
s’aperçoit que chacun des termes du membre de droite de l’égalité précédente est un multiple de
l’un des xα . Il est donc de même pour xβ .
Remarque 1.7.2 Soit I un idéal monomial. Un polynôme f ∈ k [x1 , ..., xn ] appartient à I si et
seulement si f est une combinaison linéaire des monômes appartenant à I.
28
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
Lemme 1.7.2 (Lemme de Dickson)
Soit I un idéal monomial et E ⊂ Nn une partie non vide tels que les monômes xα engendrent I.
Il existe alors des éléments α1 , . . . , α s dans E tels que les monômes xα1 , . . . , xαs engendrent I. En
particulier I est de type fini.
Preuve : Tout revient à montrer que I peut être engendré par un nombre fini de monômes. En effet
si l’on parvient à montrer l’éxistence d’éléments β1 , . . . , β s de Nn tels que les monômes xβ1 , . . . , xβs
engendrent I, alors d’après le lemme (1, 7, 1) il existe pour tout i ∈ {1, . . . , s} un élément αi tel que
le monôme xβi soit dvisible par xαi et il est alors clair que les xαi engendrent I.
Montrons donc que I est engendré par un nombre fini des monômes par récurrence sur N. Pour
les besoins de la récurrence afin de simplifier les notations il est commode de voir Nn−1 comme le
sous-ensemble de Nn formé des n-uplets dont la n-ème composante est nulle.
Le cas n = 1 est évident, en effet E possédant un plus petit élément β pour la relation d’ordre
usuelle sur N, il s’ensuit que chaque xα avec α dans E est divisible par xβ et donc xβ engendre
I. Supposons maintenant que tout idéal monomial de k [x1 , . . . , xn−1 ] soit engendré par un nombre
fini des monômes. Considérons alors pour tout entier r ≥ 0, l’idéal monomial Jr de k [x1 , . . . , xn−1 ]
engendré par les monômes xγ avec γ ∈ Nn−1 tel que xγ xnr appartienne à I. On obtient ainsi que suite
croissante d’idéaux monomiaux de k [x1 , . . . , xn−1 ]
J0 ⊂ J1 ⊂ J2 ⊂ . . . ⊂ Jr ⊂ Jr+1 ⊂ . . .
La réunion de cette suite croissante d’idéaux est un idéal monomial de k [x1 , . . . , xn−1 ] et donc
engendré d’aprés l’hypothèse de récurrence par un nombre fini des monômes xγ1 , . . . , xγr où γi ∈
N n−1 . Ces monômes appartiennent tous à un même Jm et l’on voit donc que pour tout r ≥ m, on
a Jm = Jr . La suite est donc stationnaire. En utilisant à nouveau l’hypothèse de récurrence on sait
1.7 Idéaux monomiaux et lemme de Dickson
29
que pour r ∈ {0, . . . , m}, l’idéal Jr est engendré par un nombre fini des monômes xγr,1 , . . . , xγr,sr avec
γr,i ∈ Nn−1 . Il nous reste à voir que la collection des monômes xγr,1 xnr ; . . . , xγr,sr xnr avec r variant de 0
à m engendrent I.
Désignons par J l’idéal qu’ils engendrent. Comme par construction tous ces monômes sont dans
I, on a bien J ⊂ I. Pour obtenir l’inclusion inverse, il suffit de vérifier que pour tout α dans E, le
monôme xα est divisible par l’un de ces monômes. Pour cela notons γ = (α1 , . . . , αn−1 , 0), on a alors
xα = xγ xαn , ce qui montre que xγ appartient à Jαn . Ainsi dans tous les cas xγ appartient à l’un des
Jr pour un certain r ∈ {0, . . . , m}, il est donc divisible par l’un des xγr,i en vertu du lemme (1, 7, 1).
Comme xnαn est divisible par xnr , on obtient finalement que xα est divisible par l’un des monômes de
notre collection. Cela termine la preuve de théorème.
Proposition 1.7.1 Soit ≥ une relation d’ordre sur Nn . La relation ≥ est un ordre monomial si et
seulement si elle vérifie les conditions suivantes :
1. la relation ≥ est un ordre total ;
2. la relation ≥ est compatible avec l’addition au sens où α ≥ β alors pour tout γ on a
α+γ ≥ β+γ;
3. pour tout α dans Nn , on a α ≥ 0.
Preuve : Supposons que ≥ soit un ordre monomial. Toute partie non vide de Nn posséde un plus
petit élément pour la relation ≥. En particulier Nn lui même posséde un plus petit élément β. Supposons que l’on ait β < 0. On obtient alors pour tout n ≥ 0
(n + 1)β < nβ
en additionnant nβ aux deux membres. La suite (nβ)n est donc strictement décroissante ce qui est
absurde puisque ≥ est un bon ordre.
30
CHAPITRE 1. RAPPEL D’ALGÈBRE
Réciproquement supposons que les conditions de l’énoncé soient vérifiées. Soit E une partie non
vide de Nn . L’idéal I de k [x1 , . . . , xn ] engendré par les xα avec α dans E étant monomial, le lemme
de Dickson (1, 7, 2) assure l’existence d’un nombre fini d’éléments α1 , . . . , α s tels que les monômes
xα1 , . . . , xαs engendrent I. Comme l’ordre ≥ est total, la famille finie α1 , . . . , α s a un plus petit
élément que l’on peut supposer être α1 . Soit α un élément de E, comme xα appartient à I, le lemme
(1, 7, 1) assure que xα est divisible par l’un des αi . Il existe donc γ dans Nn tel que α = αi + γ. On a
donc puisque γ ≥ 0 par compatibilité avec l’addition
α = αi + γ ≥ α1 + γ ≥ α1
ce qui montre que E admet un plus petit élément et donc que ≥ est un bon ordre.
Chapitre 2
Base de Gröbner
2.1
Division dans l’anneau des polynômes à plusieurs variables
Théorème 2.1.1 Soient f1 , . . . , f s ∈ k [x1 , . . . , xn ] muni d’un ordre monomial ≥. Alors il existe
a1 , . . . , a s , r ∈ k [x1 , . . . , xn ] tels que f = a1 f1 + . . . + a s f s + r avec multideg( f ) ≥ multideg(ai fi ) si
ai fi , 0, et r = 0 ou tous les termes de r ne sont divisibles par aucun des LT ( fi ), 1 ≤ i ≤ s.
Preuve : Si f = 0 rien à faire 0 = 0 f1 + . . . + 0 f s .
Si f , 0
Initialisation : a1 := 0, a2 := 0, . . . , a s := 0; p := f ; r := 0; i := 1 où p est une variable intermédiaire
représentant la division intermédiare à chaque étape avec
f = a1 f1 + . . . + a s f s + p + r
(p se change à chaque étape. A la dernière étape, on trouve p = 0).
Etape 1 : Si LT ( fi ) ne divise pas LT (p) alors i := i + 1 et on refait l’étape 1.
Si LT ( fi )/LT (p) alors ai := ai +
LT (p)
,
LT ( fi )
p := p −
LT (p)
f.
LT ( fi ) i
Si p = 0, c’est terminé. Sinon, on refait l’étape 1.
32
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
Si i s on passe à l’étape 2. On n’arrive à cette étape que lorsque LT ( fi ) ne divise pas LT (p).
Etape 2 : On pose r := r + LT (p), p := p − LT (p).
L’égalité f = a1 f1 + . . . + a s f s + r est conservée et p = 0 ou mdeg(p) décroit strictement.
Si p = 0, c’est terminé.
Si p , 0, on refait l’étape 1 et ainsi de suite jusqu’à trouver p = 0.
Algorithme 2.1.1 Entrée : f1 , . . . , f s , f .
Sortie : a1 , . . . , a s , r.
ai := 0, . . . , a s := 0, r := 0, p := f .
Tant que p , 0
Faire i := 1
<division> :=faux
Tant que i ≤ s et <division>=faux
Faire
Si LT ( fi ) divise LT (p) alors
ai := ai +
LT (p)
LT ( fi )
p := p −
LT (p)
f
LT ( fi ) i
<division>=vrai
Si non
i := i + 1
Si <division>=faux alors
r := r + LT (p)
p := p − LT (p)
2.1 Division dans l’anneau des polynômes à plusieurs variables
33
Exemple 2.1.1 Considérons les polynômes f = xy2 + 1, f1 = xy + 1, f2 = y + 1 ∈ R x, y . On munit
R x, y de l’ordre lexicographique avec x > y. Divisant f par ( f1 , f2 ) dans cet ordre.
Les termes dominants des polynômes considérés pour l’ordre lexicographique sont donnés par
LT ( f ) = xy2 , LT ( f1 ) = xy, LT ( f2 ) = y.
Comme LT ( f1 ) divise LT ( f ) on peut servir de f1 et écrire
xy2 + 1
xy2 + y
−y + 1
xy + 1
y
y+1
0
ce qui donne f = y f1 + 0 f2 − y + 1. Maintenant on retière le même procédé avec −y + 1 au lieu de
f . Le terme dominant de −y + 1 est LT (−y + 1) = −y. Ce dernier n’est pas divisible par LT ( f1 ),
mais en revanche divisible par LT ( f2 ), on peut donc continuer le procédé et écrire
xy2 + 1
xy2 + y
−y + 1
−y − 1
2
xy + 1
y
y+1
−1
On a donc
f = y f1 − f2 + 2.
Maintenant 2 n’est divisible ni par LT ( f1 ) ni par LT ( f2 ) et le procédé s’arrête là.
Exemple 2.1.2 Considérons les polynômes f = x2 y + xy2 + y2 , f1 = xy − 1, f2 = y2 − 1 ∈ R x, y .
On munit R x, y de l’ordre lexicographique avec x > y. Divisant f par ( f1 , f2 ) dans cet ordre.
Les termes dominants des polynômes considérés pour l’ordre lexicographique sont donnés par
LT ( f ) = x2 y, LT ( f1 ) = xy, LT ( f2 ) = y2 .
34
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
Comme LT ( f1 ) divise LT ( f ) on peut servir de f1 et écrire
x2 y + xy2 + y2
x2 y − x
xy2 + x + y2
xy − 1
x
y2 − 1
0
Le terme dominant de xy2 + x + y2 étant encore divisible par LT ( f1 ) on peut continuer, obtenant
x2 y + xy2 + y2
x2 y − x
xy2 + x + y2
xy2 − y
x + y2 + y
xy − 1
x+y
y2 − 1
0
cette fois LT x + y2 + y = x n’est divisible ni par LT ( f1 ) ni par LT ( f2 ) mais le monôme suivant
pour l’ordre lexicographique de x + y2 + y à savoir y2 est quant à lui divisible par LT ( f2 ) il y a
donc possibilité de rejeter le terme dominant x de x + y2 + y vers le reste et de on peut continuer,
obtenant.
x2 y + xy2 + y2
xy2 − x
2
xy + x + y2
xy2 − y
x + y2 + y
y2 + y
y2 − 1
y+1
xy − 1
x+y
y2 − 1
1
reste
x
Maintenant comme y n’est divisible ni par LT ( f1 ) ni par LT ( f2 ) on rejette y vers le reste et comme
il est de même de 1, ce dernier se trouve rejetté vers le reste également.
On trouve donc au final
x2 y + xy2 + y2
xy2 − x
xy2 + x + y2
xy2 − y
x + y2 + y
y2 + y
y2 − 1
y+1
0
Ainsi on obtient que
xy − 1
x+y
y2 − 1
1
reste
x+y+1
2.1 Division dans l’anneau des polynômes à plusieurs variables
35
f = (x + y) f1 + 1. f2 + x + y + 1.
L’exemple suivant montre que le reste obtenu via l’algorithme de division à plusieurs variables
dépend fortement de l’ordre choisi pour les polynômes.
Exemple 2.1.3 Reprenons les polynômes de l’exemple (2, 1, 2), f = x2 y + xy2 + y2 , f1 = y2 − 1,
f2 = xy − 1 ∈ R x, y . On munit R x, y de l’ordre lexicographique avec x > y. mais en divisant
cette fois f par ( f2 , f1 ) dans cet ordre. On a
x2 y + xy2 + y2
xy2 − x
2
x y + x + y2
y2 − 1
x2 y + x + 1
x2 y − x
2x + 1
0
y2 − 1
x+1
xy − 1
x
reste
2x + 1
Ainsi on obtient que
x2 y + xy2 + y2 = (x + 1)(y2 − 1) + x(xy − 1) + 2x + 1.
Le reste obtenu est donc 2x+1 tandis qu’en divisant par ( f1 , f2 ) dans cet ordre le reste de la division
est x + y + 1. On voit ainsi que le reste obtenu via l’algorithme de division à plusieurs variables
dépend fortement de l’ordre choisi pour les polynômes.
Le fait que le reste dépend de l’ordre choisi pour les polynômes fi est déjà désagréable en soit mais
il y a pire : l’algorithme de division à plusieurs variables ne permet pas de tester si un polynôme
f appartient à l’idéal engendré par les fi . Il est clair que si en divisant f par les polynômes fi pris
dans un certain ordre on obtient un reste nul, alors le polynôme f appartient bien à l’idéal engendré
36
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
par les fi . En revanche il se peut tout à fait que f soit dans l’idéal engendré, et qu’ordonnant de
diverses manières les fi on obtient tantôt un reste nul, tantôt un reste non nul. L’exemple suivant
illustre un tel cas de figure :
Exemple 2.1.4 Considérons les polynômes f = xy2 − x, f1 = xy + 1, f2 = y2 − 1 ∈ R x, y .
Le polynôme f est un multiple de f2 donc appartient à l’idéal engendré par f1 et f2 .
La division pour l’ordre lexicographique sur N2 avec x > y de f par ( f1 , f2 ) dans cet ordre s’écrit :
xy2 − x
xy2 + y
−x − y
0
xy + 1
y
y2 − 1
reste
−x − y
et l’on voit que le reste −x − y de cette division est non nulle. En divisant maintenant f par ( f2 , f1 )
dans cet ordre, nous obtenons maintenant
xy2 − x
xy2 − x
0
y2 − 1
x
xy + 1
0
reste
0
et le reste est cette fois nul.
On conclut qu’une telle division est insuffisante pour tester si un polynôme f appartient à l’idéal
engendré par les fi .
Pour remédier ceci, on a besoin du concept de Bases de Gröbner.
2.2
Base de Gröbner sur un corps
Dans toute cette section, K désignera un corps commutatif.
Cette section est consacrée à la preuve du théorème de Hilbert qui assure que les idéaux de
k [x1 , . . . , xn ] sont tous de type fini. Nous en profitons pour introduire la notion de base de Gröbner
et montrer que tout idéal possède une base de Gröbner ce qu’en fait constitue un raffinement du
théorème de Hilbert puisque comme nous allons le voir les bases de Gröbner sont des systémes de
2.2 Base de Gröbner sur un corps
37
générateurs bien particuliers. Nous avons jusqu’à présent montrer le théorème de Hilbert pour une
classe particulière d’idéaux : les idéaux monomiaux, nous allons en fait déduire le cas général de
ce cas particulier.
Comme nous l’avons vu dans la section précédente, l’algorithme de division ne permet pas effectivement de déterminer si un polynôme f appartient à un idéal I = h f1 , . . . , f s i donné explicitement
par une famille finie des polynômes f1 , . . . , f s . Cependant en ce qui concerne ce problème il n’y a
pas lieu de privilégier le système de générateurs f1 , . . . , f s plutôt qu’un autre. Les termes dominants
des fi jouent un rôle crucial dans l’algorithme de division, mais en fait comme bien souvent ce qu’il
revient de considérer ce ne sont pas les termes dominants des fi en particulier mais plutôt l’idéal
engendré par tous les termes dominants de I. Il s’agit alors de savoir si les termes dominants des
fi conservent toute l’information contenu dans cet idéal ou non, ce qui nous amène aux bases de
Gröbner.
On adopte les définitions et notations suivantes :
Définition 2.2.1 Soit I ⊂ k [x1 , . . . , xn ] un idéal non nul.
– On note LT (I) l’ensemble des termes dominants des éléments de I, ainsi
LT (I) = {cxα :
il existe
f ∈I
tel que
LT ( f ) = cxα }
.
– On note hLT (I)i l’idéal engendré par les éléments de LT (I).
Proposition 2.2.1 Soit I ⊂ k [x1 , . . . , xn ] un idéal.
– hLT (I)i est un idéal monomial.
– il existe g1 , . . . , g s dans I tel que hLT (I)i = hLT (g1 ), . . . , LT (g s )i.
38
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
Preuve : Pour chaque élément non nul g de I, le monôme LM(g) ne diffère de LT (g) que par
multiplication par un élément non nul de k. On voit donc que l’idéal hLT (I)i n’est autre que l’idéal
engendré par les monômes dominants LM(g) des éléments non nuls g de I. Cela assure que hLT (I)i
est bien un idéal monomial. Il résulte donc du lemme (1.7.2) que hLT (I)i est de type fini et qu’il
existe des éléments g1 , . . . , g s tel que hLT (I)i = hLT (g1 ), . . . , LT (g s )i. Cela montre la proposition.
Définition 2.2.2 Une partie finie {g1 , . . . , gt } d’un idéal I est appelée base de Gröbner lorsque
hLT (I)i = hLT (g1 ), . . . , LT (gt )i.
Théorème 2.2.1 Tout idéal I ⊂ k [x1 , . . . , xn ] non nul posséde une base de Gröbner. De plus toute
base de Gröbner de I engendre I.
Preuve : Nous avons vu l’existence d’une base de Gröbner avec la proposition (2.2.1) . Reste à voir
qu’une base de Gröbner {g1 , . . . , gt } engendre I. On a bien évidemment hg1 , . . . , gt i ⊂ I puisque gi
sont dans I. Montrons l’inclusion réciproque. Soit f un élément de I, L’algorithme de division de
f par {g1 , . . . , gt } permet d’écrire
f = a1 g1 + . . . + at gt + r
avec a1 , . . . , at des polynômes et r un polynôme dont les termes ne sont divisibles par aucun LT (gi ).
Supposons r , 0. Dans ce cas puisque r ∈ I, on voit que
LT (r) ∈ hLT (I)i = hLT (g1 ), . . . , LT (gt )i.
Le lemme (1.7.1) assure que l’un des LT (gi ) divise LT (r), ce qui est absurde. On voit donc que r
est nul, ce qui prouve que f appartient bien à hg1 , . . . , gt i.
2.3 Propriétés des bases de Gröbner
39
Théorème 2.2.2 Théorème de Hilbert
Les idéaux de k [x1 , . . . , xn ] sont de type fini, autrement dit pour tout idéal I de k [x1 , . . . , xn ], il
existe un entier s ≥ 1 et des polynômes f1 , . . . , f s , tels que I = h f1 , . . . , f s i.
Preuve : Nous pouvons supposer que I , {0}, sans quoi le résultat est évident. Le théorème est
alors une conséquence du théorème précédent.
2.3
Propriétés des bases de Gröbner
Proposition 2.3.1 Soient G = {g1 , . . . , gt } une base de Gröbner d’un idéal non nul I ⊂ k [x1 , . . . , xn ]
et f ∈ k [x1 , . . . , xn ]. Il existe un unique r ∈ k [x1 , . . . , xn ] satisfaisant aux deux propriétés suivantes :
1. les termes de r ne sont divisibles par aucun LT (gi ) ;
2. il existe g ∈ I tel que f = g + r.
Preuve : Qu’un élément r existe n’est qu’une conséquence de l’algorithme de division (2.1.1).
Montrons donc l’unicité. Supposons pour cela que r1 , r2 soient deux polynômes satisfaisant tous
deux aux propriétés imposées. On voit donc que r = r1 − r2 appartient à I. Si r est non nul, alors
LT (r) ∈ hLT (I)i = hLT (g1 ), . . . , LT (gt )i.
Le lemme (1.7.1) assure que l’un des LT (gi ) divise LT (r), ce qui est absurde puisque les LT (gi ) ne
divise aucun des termes de r1 et r2 . Ainsi r est nul, ce qui prouve l’unicité.
En particulier on a le corollaire (4, 1, 1). Muni de ce corollaire, pour déterminer effectivement si un
polynôme appartient à un idéal I = h f1 , . . . , f s i donné explicitement par des polynômes f1 , . . . , f s ,
il nous restera à être capable de construire une base de Gröbner à partir de f1 , . . . , f s , un tel
algorithme fait l’objet de l’algorithme de Buchberger.
40
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
Définition 2.3.1 (S-polynôme)
Soient f, g ∈ k [x1 , . . . , xn ] deux polynômes non nuls. Le S-polynôme de f et g, est le polynôme
S ( f, g) =
xγ
xγ
f−
g
LT ( f )
LT (g)
dans lequel xγ est le p.p.c.m de LM( f ) et LM(g).
Exemple 2.3.1 Soient f et g deux polynômes de R x, y , tel que f = x3 y2 − x2 y3 + x et g = 3x4 y+y2 .
On peut calculer le S-polynôme de f et g, selon l’ordre lexicographique avec x > y.
S ( f, g) =
ppcm(x3 y2 , x4 y) 3 2
ppcm(x3 y2 , x4 y) 4
y3
2 3
2
3 3
2
(x
y
−
x
y
+
x)
−
(3x
y
+
y
)
=
−x
y
+
x
−
.
x3 y2
3x4 y
3
Proposition 2.3.2 Considérons une somme de la forme
Pt
i=1 ci x
αi
gi , avec ci ∈ k, αi ∈ N n et
gi ∈ k [x1 , . . . , xn ]. On suppose que pour un certain δ ∈ Nn on ait
αi +multideg(gi ) = δ
pour tout i tel que ci , 0 et que
multideg
αi
c
x
g
<δ
i
i
i=1
P t
Il existe alors des éléments ci j ∈ k tels que
Pt
i=1 ci x
αi
gi =
P
i≺ j
xδ−γi j S (gi , g j )
où xγi j est le p.p.c.m de LM(gi ) et LM(g j ). De plus on a pour tout i, j
multideg xδ−γi j S (gi , g j ) < δ.
2.3 Propriétés des bases de Gröbner
41
Preuve : Notons di le coefficient dominant de gi , de sorte que le coefficient dominant de ci xαi gi n’est
autre que ci di . Comme la somme des ci xαi gi est de multidegré strictement plus petit que δ, nous
avons la relation
Pt
i=1 ci di
= 0. Notons pi le polynôme obtenu en divisant xαi gi par son coefficient
dominant di . Considérons la somme téléscopique
Pt
i=1 ci x
αi
gi =
Pt
i=1 ci di pi
= c1 d1 (p1 − p2 ) + (c1 d1 + c2 d2 )(p2 − p3 ) + . . . + (c1 d1 + . . . + ct−1 dt−1 )(pt−1 −
pt ) + (c1 d1 + . . . + ct dt )pt .
Soit βi le multidegré de gi de sorte que LT (gi ) = di xβi . Par hyphothèse αi + βi = δ, ce qui assure que
LM(gi ) divise xδ . Ainsi xγi j divise également xδ et donc xδ−γi j est bien un monôme. On peut écrire
xδ−γi j S (gi , g j ) = xδ−γi j
Comme
Pt
i=1 ci di
xγi j
g
LT (gi ) i
−
xγi j
g
LT (g j ) j
=
xδ
g
di xβi i
−
xδ
g
d j xβ j j
=
xαi gi
di
−
xα j g j
dj
= pi − p j .
= 0, nous tirons de la somme téléscopique et du calcul précédent la relation
Pt
i=1 ci x
αi
gi =
c1 d1 xδ−γ12 S (g1 , g2 ) + (c1 d1 + c2 d2 )xδ−γ23 S (g2 , g3 ) + . . . + (c1 d1 + . . . + ct−1 dt−1 )xδ−γt−1,t S (gt−1 , gt )
qui a la forme voulue. Comme pi et p j sont tous les deux de multidegrés δ et de coefficient dominant
1, leur différence est de multidegré strictement plus petit que δ. Ainsi chaque X δ−γi j S (gi , g j ) est de
multidegré strictement plus petit que δ ce qui conclut la preuve de la proposition.
Théorème 2.3.1 Soit I ⊂ k [x1 , . . . , xn ] un idéal. Alors un système de générateurs G = {g1 , . . . , gt }
est une base de Gröbner de I si est seulement si pour toute paire (i, j) telle que i , j, le reste de la
division de S (gi , g j ) par g1 , . . . , gt pris dans un certain ordre est nul.
Preuve : L’une des implications est très simple. En effet comme G engendre I, on voit par définition
que chacun des S (gi , g j ) appartient à I. Si G est une base de Gröbner le corollaire (2.3.1) assure
alors que le reste de la division de S (gi , g j ) par G est nul.
42
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
Réciproquement supposons que les restes des différents S-polynômes soient tous nuls et montrons
que G est une base de Gröbner. Donnons nous un élément non nul f de I, il s’agit de prouver que
LT ( f ) appartient à hLT (g1 ), . . . , LT (gt )i. Puisque G est un système de générateurs de I, on peut
trouver des polynômes h1 , . . . , ht tels que
f =
Pt
i=1
hi gi .
Pour une telle expression, notons mi = multideg(hi gi ) et δ = max(m1 , . . . , mt ). Nous avons alors
l’inégalité multideg( f ) ≤ δ. A priori chaque expression de cette forme fournit une valeur de δ qui
peut être différente d’une expression à une autre. Cependant comme Nn est bien ordonné, il existe
néanmoins une expression de f pour laquelle la valeur de δ obtenue soit minimale. Dans la suite,
on choisit une telle expression. Il nous suffit alors de montrer que l’on a le multideg( f ) = δ. En
effet si cela est le cas, il existe i tel que multideg( f ) = mi ce qui assure que LT (gi ) divise LT ( f ) et
donc LT ( f ) appartient à hLT (g1 ), . . . , LT (gt )i.
Pour cela raisonnons par l’absurde et supposons que l’on ait multideg( f ) < δ. On peut diviser la
somme définissant f en deux paquets :
f =
P
mi =δ
hi gi +
P
mi <δ
hi gi =
P
mi =δ
LT (hi )gi +
P
mi =0
(hi − LT (hi )) gi +
P
mi <δ
hi gi .
Dans les deux dernières sommes chaque terme est de multidegré strictement plus petit que δ.
Comme multideg( f ) < δ il en résulte que
multideg
P
mi =δ
LT (hi )gi < δ.
Posons LT (hi) = ci xαi . Comme chacun des hi gi = ci xαi hi est de multidegré δ, la proposition (2,3,2)
assure que l’on peut écrire
P
mi =δ
LT (hi )gi =
P
mi =δ ci x
αi
gi =
P
mi =m j =δ ci j x
i< j
δ−γi j
S (gi , g j )
2.4 L’algorithme de Buchberger
43
pour des scalaires ci j bien choisis en notant xγi j le p.p.c.m de LM(gi ) et LM(g j ). Puisque le reste
de la division de S (gi , g j ) par g1 , . . . , g s dans un certain ordre est nul, il existe des polynômes ai jl
dans k [x1 , . . . , xn ] tels que
S (gi , g j ) =
Pt
l=1
ai jl gl .
L’algorithme de division (2.1.1) nous dit également que
multideg(ai jl gl ) ≤ multideg S (gi , g j ) .
En multipliant par xδ−γi j , on obtient
xδ−γi j S (gi , g j ) =
Pt
l=1
xδ−γi j ai jl gl
ainsi que l’inégalité sur les multidegrés
multideg xδ−γi j ai jl gl ≤ multideg xδ−γi j S (gi , g j ) < δ.
On obtient donc finalement que
P
mi =δ
LT (hi )gi =
P
mi =m j =δ ci j x
i< j
δ−γi j
S (gi , g j ) =
Le membre de droite peut s’écrire sous la forme
Pt
l=1
P
mi =m j =δ ci j x
i< j
δ−γi j
!
ai jl gl .
Pt e
l=1 hl gl et les inégalités précédentes sur le mul-
tidegré nous donnent multideg(hel gl ) < δ. Au final on trouve donc une expression de f comme
combinaison linéaire des gi dans laquelle le multidegré de chaque terme est strictement plus petit
que δ. Cela contredit la définition de δ et prouve le théorème.
2.4
L’algorithme de Buchberger
Nous avons vu, avec le théorème (2,2,1), l’existence d’une base de Gröbner pour tout idéal non
nul. Malheureusement cette preuve n’est pas effective et ne permet pas en pratique de déterminer
44
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
explicitement pour un idéal donné une base de Gröbner. L’algorithme suivant répond à ce problème
et permet à partir d’un système de générateurs donnés de fabriquer une base de Gröbner. En effet la
version donnée ci-dessous a l’avantage d’être simple, mais n’est pas vraiment utilisable en pratique
car beaucoup trop rudimentaire et trop gourmande en calculs inutiles. Les logiciels de calcul formel
contiennent des versions beaucoup plus sophistiquées.
2.4.1 Algorithme
On veut construire une base de Gröbner d’un idéal en utilisant l’algorithme suivant :
Entrée : Soit I = h f1 , . . . , f s i un idéal de k [x1 , . . . , xn ] non nul.
Sortie : une base de Gröbner de I
G := ( f1 , . . . , f s )
Répéter
Ǵ := G
Pour chaque g, h dans Ǵ avec g , h
Faire
r :=reste de la division de S (g, h) par Ǵ
Si r , 0 Alors G := G ∪ {r}
Jusqu’à G = Ǵ
Preuve : A chaque itération de la boucle principale G ⊂ I. En effet la seule modification effectuée
consiste à rajouter éventuellement à G le reste de la divsion par G d’un S-polynômes de deux
éléments de G . Un tel reste appartenant à I on voit que G est bien contenu dans I au cours du
déroulement de l’algorithme. Lorsque l’algorithme se termine, on obtient une partie G contenant
2.4 L’algorithme de Buchberger
45
f1 , . . . , f s et dont les restes dans la division par G de tous les S-polynômes que l’on peut former
dans G sont nuls. Le théorème (2,3,1) assure que G est une base de Gröbner de I. Il nous suffit donc
de montrer qu’au bout d’un nombre fini d’itérations, l’algorithme se termine bien. Supposons que
cela ne soit pas le cas. Considérons alors l’ensemble G obtenu après n itérations et notons le Gn .
L’ensemble Gn+1 est obtenu à partir de Gn en y ajoutant tous les restes non nuls des S-polynômes
d’éléments de I . Nous avons donc Gn ⊆ Gn+1 et
hLT (Gn )i ⊂ hLT (Gn+1 )i.
Les hLT (Gn )i forment une suite croissante d’idéaux de hLT (I)i. Comme ce dernier est monomial,
il est de type fini d’après lemme de Dickson, ou plus généralement le théorème de Hilbert (2,2,2).
Il s’ensuit que la suite est stationnaire et qu’il existe N ≥ 1 tel que
hLT (G N )i = hLT (G N+1 )i.
Soit r un élément de G N+1 non dans G N . Il est le reste de la division par G N d’un S-polynômes
d’éléments de G N . En particulier LT (r) n’est divisible par aucun des termes dominants des éléments
de G N , ainsi LT (r) n’appartient pas à l’idéal hLT (G N )i ce qui est absurde.
D
E
Exemple 2.4.1 Soit I ⊂ Q x, y, z tel que I = f1 = x + y, f2 = y3 + xz . On munit Q x, y, z de
l’ordre
lexicographique avec x > y.
Posons G = { f1 , f2 }.
S ( f1 , f2 ) = −y3 + yz et le reste de l’algorithme de division de S ( f1 , f2 ) par { f1 , f2 } est −y3 + yz := f3 .
Donc G = { f1 , f2 , f3 }.
46
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
S ( f1 , f2 ) = −y3 + yz et le reste de l’algorithme de division de S ( f1 , f2 ) par { f1 , f2 , f3 } est 0.
S ( f1 , f3 ) = y4 + xyz et le reste de l’algorithme de division de S ( f1 , f3 ) par { f1 , f2 , f3 } est 0.
S ( f2 , f3 ) = y6 + xyz2 et le reste de l’algorithme de division de S ( f2 , f3 ) par { f1 , f2 , f3 } est 0.
Donc nous avons construit une base de Gröbner G = { f1 , f2 , f3 }.
Lemme 2.4.1 Soit G une base de Gröbner d’un idéal I ⊂ k [x1 , . . . , xn ] non nul. Soit g un élément
de G tel que LT (g) appartient à hLT (G \ {g})i, alors G \ {g} est une base de Gröbner.
Preuve : Comme G est une base de Gröbner de I, on a par définition hLT (G)i = hLT (I)i. Par suite
si LT (g) appartient à hLT (G \ {g})i, on a également hLT (G \ {g})i = hLT (I)i et G \ {g} est une base
de Gröbner de I.
Le lemme précédent permet d’obtenir à partir d’une base de Gröbner une base de Gröbner minimale au sens précisée par la définition qui suit :
Définition 2.4.1 Une base de Gröbner minimale de I est une base de Gröbner satisfaisant les deux
conditions suivantes :
1. LC(g) = 1 pour tout élément g de G.
2. pour tout g ∈ G , le terme dominant de g n’appartient pas à hLT (G \ {g})i.
Un idéal donné peut avoir plusieurs bases minimales, en revanche celles-ci ont certaines propriétés
en communs.
Lemme 2.4.2 Soient G et Ǵ deux bases de Gröbner minimale de I, alors LT (G) = LT (Ǵ) et G et
Ǵ ont le même nombre d’éléments.
2.4 L’algorithme de Buchberger
47
Preuve : Comme G est minimale, les éléments de LT (G) sont des monômes d’après la condition 1,
la condition 2 assure quant à elle que si g, ǵ sont deux éléments distincts de G alors LT (g) ne divise
pas LT (ǵ). En effet dans le cas contraire, nous aurions ǵ ∈ hLT (g)i ⊂ hLT (G \ {ǵ})i. En particulier
G et LT (G) ont le même nombre d’éléments, il nous suffit donc de vérifier que LT (G) = LT (Ǵ).
D
E
Soit g un élément de G. Comme Ǵ est une base de Gröbner, nous avons hLT (I)i = LT (Ǵ) et
donc puisque LT (g) appartient à hLT (I)i, il existe un élément ǵ ∈ Ǵ tel que LT (ǵ) divise LT (g).
De même, il existe un élément h dans G tel que LT (h) divise LT (ǵ). Ainsi LT (h) divise LT (g) et
puisque G est réduite nous avons h = g. Ainsi LT (ǵ) = LT (g), ce qui prouve que LT (G) ⊂ LT (Ǵ).
On montre de même l’inclusion réciproque puisque Ǵ est minimale.
Définition 2.4.2 Une base de Gröbner réduite de I est une base de Gröbner satisfaisant aux deux
conditions suivantes :
1. LC(g )=1 pour tout élément g de G ;
2. pour tout g ∈ G, aucun des monômes de g n’appartient à hLT (G \ {g})i.
Proposition 2.4.1 Tout idéal non nul de k [x1 , . . . , xn ] admet une unique base de Gröbner réduite.
Preuve : Soit G une base de Gröbner minimale. Disons qu’un élément g de G est réduit lorsque les
monômes de g n’appartient pas à hLT (G \ {g})i. Il s’agit de montrer que l’on peut modifier G en
une base de Gröbner minimale dont tous les éléments sont réduits. Remarquons que si un élément
g d’une base de Gröbner minimale est réduit alors il est l’est dans toute autre base de Gröbner
minimale le contenant. En effet la condition de réduction ne porte que sur les termes dominants
et toutes les bases de Gröbner minimales ont exactement les mêmes termes dominants d’après le
lemme (2.4.2). Soit g élément de G et h le reste de division de g par les éléments de G \ {g} pris
48
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
dans un certain ordre. Comme LT (g) n’est divisible par aucun des termes dominants des éléments
de G \ {g}, lors de la division LT (g) part dans le reste et on a donc LT (h) = LT (g). Ainsi en posant
Ǵ = (G \ {g}) ∪ {h} on voit que
LT (Ǵ) = LT (G)
ce qui assure que Ǵ est une base de Gröbner également minimale. L’avantage est que ǵ est réduit.
Comme un élément réduit le reste dans toute autre base de Gröbner minimale qui le contient, on
peut faire subir le même sort aux éléments de G successivement pour obtenir une base de Gröbner
réduite.
Montrons l’unicité maintenant. Supposons que G et Ǵ soient deux bases de Gröbner réduite.
Comme elles sont a fortiori minimales, le lemme (2.4.2) assure que G et Ǵ ont le même cardinal et que LT (G) = LT (Ǵ). Ainsi si g appartient à G, il existe un ǵ dans Ǵ tel que LT (g) = LT (ǵ).
Il nous suffit donc de prouver que g = ǵ. Comme LT (g) = LT (ǵ) et que G et Ǵ sont réduites, aucun
des termes de g − ǵ n’est divisible par un élément de LT (G) = LT (Ǵ). Ainsi si le reste de la division
de g − ǵ par G est égal à g − ǵ. Or G est une base de Gröbner et g − ǵ appartient à I. Le corollaire
(2,3,1) permet de conclure que g = ǵ. Cela achève la preuve.
Algorithme :
Soit G = {g1 , . . . , g s } une base de Gröbner d’un idéal I.
Entrée : g1 , . . . , g s .
Sortie : ge1 , . . . , ges .
Si s = 1 Alors ge1 := g1
Si non
Si s = 2 Alors ge1 := reste (g1 ; g2 ) ; ge2 := reste (g2 ; ge1 )
2.5 Bases de Gröbner sur un anneau de valuation
49
Si non
ge1 := reste (g1 ; g2 , . . . , g s ) ; ge2 := reste (g2 ; ge1 , g3 , . . . , g s )
i := 3
Tant que i ≤ s Faire gei := reste (gi ; ge1 , . . . ,e
gi−1 , gi+1 , . . . , g s )
i := i + 1.
n
o
Exemple 2.4.2 G = x2 , xy, y2 − 12 x est une base de Gröbner réduite pour l’idéal I = hGi.On fixe
l’ordre lexicographique comme ordre monomial avec x y. En effet on a :
2
2
S x2 , xy = xx2y x2 − xxyy xy = 0.
2 2 2 2
S x2 , y2 − 12 x = xxy2 x2 − xy2y y2 − 12 x = 12 x3 = 12 x x2 + 0 (xy) + 0 y2 − 12 x + 0.
2
2 S xy, y2 − 12 x = xyxy xy − xyy2 y2 − 21 x = 12 x2 y2 = 12 y2 x2 + 0 (xy) + 0 y2 − 12 x + 0
D
E
x2 < xy, y2 car x2 n’est pas divisible par xy ni par y2 ,
D
E
xy < x2 , y2 car xy n’est pas divisible par x2 ni par y2 ,
D
E
y2 < x2 , xy car y2 n’est pas divisible par x2 ni par xy,
D
E
− 12 x < x2 , xy car − 12 x n’est pas divisible par x2 ni par xy,
LC x2 = LC (xy) = LC y2 − 12 x = 1.
2.5
Bases de Gröbner sur un anneau de valuation
Définition 2.5.1 Soit R un anneau, f =
P
α
aα xα un polynôme non nul dans R [x1 , . . . , xn ], E un
ensemble non vide de R [x1 , . . . , xn ], et > un ordre monomial.
1. LT (E) = {LT (g), g ∈ E}
2. hLT (E)i = hLT (g), g ∈ Ei (c’est un idéal de R [x1 , . . . , xn ]).
3. Pour g, h ∈ R [x1 , . . . , xn ] \ {0}, on a LT (g) divise LT (h) si LM(g) divise LM(h) et LC(g)
50
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
divise LC(h).
Définition 2.5.2
1. Un anneau R est dit de valuation si pour tous a, b ∈ R, a divise b ou b divise a.
2. Un anneau R est dit de valuation discrète s’il est à la fois de valuation, intègre et noethérien.
Définition 2.5.3 Soient R un anneau de valuation, f, g ∈ R [x1 , . . . , xn ] \ {0} tel que f , g,
I = h f1 , . . . , f s i un idéal non nul de R [x1 , . . . , xn ] et > un ordre monomial.
1. Si mdeg( f ) = α et mdeg(g) = β, on pose γ = (γ1 , . . . , γn ), où γi = max (αi , βi ) pour chaque i
Si LC(g) divise LC( f ) ou LC( f ) divise LC(g), le S-polynôme de f et g est la combinaison :
S ( f, g) =
Xγ
LM( f )
S ( f, g) =
LC(g) X γ
LC( f ) LM( f )
f−
LC( f ) X γ
g
LC(g) LM(g)
f−
Xγ
g
LM(g)
si LC(g) divise LC( f ).
si LC( f ) divise LC(g) et LC(g) ne divise pas LC( f ).
2. Si l’annulateur de LC( f ) dans R est principal engendré par d, on pose S ( f, f ) = d f .
3. Comme dans l’algorithme classique de division dans F [x1 , . . . , xn ] (F corps), pour tous
polynômes h, h1 , . . . , hm ∈ R [x1 , . . . , xn ], il existe q1 , . . . , qm , r ∈ R [x1 , . . . , xn ] tels que
h = q1 h1 + . . . + qm hm + r,
avec r = 0 ou r est la somme de termes dont aucun n’est divisible par l’un des LT (h1 ), . . . , LT (hm ).
H
Le polynôme r est appelé le reste de la division de h par H = {h1 , . . . , hm } et noté r = h = 0.
4. G = { f1 , . . . , f s } est dite une base de Gröbner pour I si hLT (I)i = hLT ( f1 ), . . . , LT ( f s )i.
Lemme 2.5.1 Soient R un anneau de valuation et I = haα xα , α ∈ Ai un idéal de R [x1 , . . . , xn ]
engendré par des termes. Alors le terme bxβ appartient à I si et seulement si xβ est divisible par xα
et b est divisible par aα pour un certain α ∈ A.
2.5 Bases de Gröbner sur un anneau de valuation
51
Preuve : Il est évident que la condition est suffisante. Pour montrer qu’elle est nécessaire, écrivons
bxβ =
Ps
i=1 ci aαi x
γi αi
x avec α1 , . . . , α s ∈ A, ci , aαi ∈ R \ {0} et γi ∈ Nn . Nécessairement, pour chaque
1 ≤ i ≤ s, γi + αi = β et b =
Ps
i=1 ci aαi .
Il est clair que pour chaque 1 ≤ i ≤ s, xβ est divisible par
x αi .
Comme R est de valuation, il existe aα1 divise tous les autres aαi et par suite b.
Lemme 2.5.2 Soient R un anneau de valuation, > un ordre monomial et f1 , . . . , f s ∈ R [x1 , . . . , xn ]
tels que mdeg( fi ) = γ pour tout 1 ≤ i ≤ s. S’il existe a1 , . . . , a s ∈ R tel que mdeg
alors
Ps
i=1
Ps
i=1
ai fi ≺ γ,
ai fi est une combinaison linéaire à coefficients dans R des S-polynômes S ( fi , f j ),
1 ≤ i, j ≤ s. D’ailleurs, chaque S ( fi , f j ) a un multidegré ≺ γ.
Preuve : Puisque R est de valuation, on peut supposer que LC( f s )/LC( f s−1 )/ . . . /LC( f1 ). Ainsi,
LC( fi )
pour i ≺ j, S ( fi , f j ) = fi − LC(
f.
f j) j
Ps
LC( f1 )
LC( f1 )
f2 )
f2 − LC(
f
3
i=1 ai fi = a1 f1 − LC( f2 ) f2 + a2 + LC( f2 ) a1
LC( f3 )
LC( f s−2 )
LC( f1 )
LC( f s−1 )
f s−1 )
+ . . . + a s−1 + LC(
a
+
.
.
.
+
a
f
−
f
+ a s + LC(
a + ... +
s−2
1
s−1
s
f s−1 )
LC( f s−1 )
LC( f s )
LC( f s ) s−1
Ps
f s−1 )
LC( f1 )
a
+
.
.
.
+
a
LC( f s ) = 0 puisque mdeg i=1
ai fi ≺ γ.
Mais a s + LC(
s−1
1
LC( f s )
LC( f s )
LC( f1 )
a
LC( f s ) 1
fs.
Théorème 2.5.1 Soient R un anneau de valuation noethérien, I = hg1 , . . . , g s i un idéal de type fini
de R [x1 , . . . , xn ], et fixons un ordre monomial >. Alors, G = {g1 , . . . , g s } est une base de Gröbner
pour I si et seulement si pour tous 1 ≤ i, j ≤ s, le reste de la division de S (gi , g j ) par G est nul.
Comme dans le cas des corps, une telle base de Gröbner se calcule par l’algorithme de Buchberger
suivant :
52
CHAPITRE 2. BASE DE GRÖBNER
Algorithme de Buchberger
Entrée : g1 , . . . , g s ∈ V [x1 , . . . , xn ], où V un anneau de valuation noethérien.
Sortie : une base de Gröbner pour I = hg1 , . . . , g s i avec {g1 , . . . , g s } ⊆ G.
G := {g1 , . . . , g s }
Repéter
Ǵ := G Pour tout f, g dans Ǵ
Ǵ
Faire S := S ( f, g) .
Si S , 0 Alors G := Ǵ ∪ {S }
Jusqu’a G := Ǵ
C’est le même algorithme que dans le cas où l’anneau de base est un corps. La seule différence est
dans la définition des S-polynômes et dans les divisions des termes. Il est à noter que cet algorithme
se termine après un nombre fini d’étapes puisque l’anneau de base est noethérien.
Exemple 2.5.1 Soit V [x] = (Z/16Z) [x]. On considére l’idéal I = h f1 i, où f1 = 2 + 4x + 8x2 .
S ( f1 , f1 ) = 2 f1 = 4 + 8x =: f2 (l’annulateur de LC( f1 ) est h2i),
S ( f1 , f2 ) = 2 =: f3 ,
f3
S ( f2 , f2 ) = 2 f2 = 8 → 0 (l’annulateur de LC( f2 ) est h2i),
S ( f3 , f3 ) = 0,
f3
S ( f2 , f3 ) = 4 → 0,
f3
S ( f1 , f3 ) = 4x + 2 → 0.
Ainsi G = {2} est une base de Gröbner pour I dans V [x].
Exemple 2.5.2 Soit V x, y = (Z/4Z) x, y . On considére l’idéal I = h f1 , f2 , f3 i, où f1 = x4 − x,
2.5 Bases de Gröbner sur un anneau de valuation
53
f2 = y3 − 1, f3 = 2xy.On fixe l’ordre lexicographique comme ordre monomial avec x y.
S ( f1 , f1 ) = S ( f2 , f2 ) = S ( f3 , f3 ) = 0,
f1
f2
S ( f1 , f2 ) = y3 f1 − x4 f2 = x4 − xy3 → x − xy3 → 0,
f3
S ( f1 , f3 ) = 2y f1 − x3 f3 = −2xy → 0,
S ( f2 , f3 ) = 2x f2 − y2 f3 = −2x =: f4 ,
S ( f4 , f4 ) = 0,
f4
S ( f1 , f4 ) = −2 f1 − x3 f4 = 2x → 0,
f4
S ( f2 , f4 ) = −2x f2 − y3 f4 = 2x → 0,
S ( f3 , f4 ) = f3 + y f4 = 2xy − 2xy = 0.
Ainsi G = { f1 , f2 , f4 } est une base de Gröbner pour I dans V x, y .
Exemple 2.5.3 Soit V x, y = (Z/27Z) x, y . On considére G = {g1 , g2 , g3 , g4 }, avec g1 = 9,
g2 = x + 1, g3 = 3y2 , g4 = y3 + 13y2 − 12 et I = hGi. On fixe l’ordre lexicographique comme ordre
monomial avec x y.
S (g1 , g1 ) = S (g2 , g2 ) = S (g3 , g3 ) = S (g4 , g4 ) = 0,
g1
S (g1 , g2 ) = xg1 − 9g2 = −9 → 0,
S (g1 , g3 ) = y2 g1 − 3g3 = 9y2 − 9y2 = 0,
g1
S (g1 , g4 ) = −9y2 → 0,
g3
S (g2 , g3 ) = 3y2 g2 − xg3 = 3y2 → 0,
g2
g4
S (g2 , g4 ) = y3 g2 − xg4 = −13xy2 + 12x + y3 → y3 + 13y2 − 12 → 0,
g3
g1
S (g3 , g4 ) = yg3 − 3g4 = −12y2 + 9 → 9 → 0.
Ainsi G est une base de Gröbner pour I dans V x, y .
Chapitre 3
Bases de Gröbner dynamiques
3.1
Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau principal
Définition 3.1.1
1. S est dite une partie multiplicative d’un anneau R si
S ⊆ R, 1 ∈ S et ∀x, y ∈ S , xy ∈ S .
n
o
2. M(x1 , . . . , xr ) = x1n1 , . . . , xrnr , ni ∈ N est la partie multiplicative de R engendrée par {x1 , . . . , xr }
où x1 , . . . , xr ∈ R.
3. Soit S une partie multiplicative d’un anneau R. S −1 R =
n
x
,
s
o
x ∈ R, s ∈ S est le localisé de R
dans lequel les éléments de S sont inversibles.
4. Soit x ∈ R, on note par R x le localisé de R sur la partie multiplicative M(x). De plus, on
définit par induction R x1 .x2 .....xk := (R x1 .x2 .....xk−1 ) xk pour x1 , . . . , xk ∈ R.
5. On dit que des parties multiplicatives S 1 , . . . , S k d’un anneau R sont comaximales si
∀s1 ∈ S 1 , . . . , sn ∈ S n , ∃a1 , . . . , an ∈ R tel que
Pn
i=1
ai si = 1.
Définition 3.1.2 Soient R un anneau de valuation nothérien, f, g ∈ R [x1 , . . . , xn ]\{0} , I = h f1 , . . . , f s i
un idéal non nul de R [x1 , . . . , xn ] , g1 , . . . , gt ∈ R [x1 , . . . , xn ] et > un ordre monomial.
56
CHAPITRE 3. BASES DE GRÖBNER DYNAMIQUES
1. G = {g1 , . . . , gt } est dite une base de Gröbner spéciale pour I si I = hg1 , . . . , gt i et pour tous
G
i , j, S (gi , g j ) = 0.
Dans le cas où R est un corps, cette définition coincide avec la définition classique d’une
base de Gröbner.
2. Soient S 1 , . . . , S k des parties multiplicatives comaximales de R.
G = {(S 1 , G1 ) , . . . , (S K , G K )} est dite une base de Gröbner dynamique pour I si Gi est une
base de Gröbner spéciale pour h f1 , . . . , f s i dans (S i−1 R) [x1 , . . . , xn ] pour chaque 1 ≤ i ≤ k.
Comment construire une base de Gröbner dynamique sur un anneau principal ?
Soit R un anneau principal, I = h f1 , . . . , f s i un idéal non nul de type fini de R [x1 , . . . , xn ],
et > un ordre monomial. Notre but est de construire une base de Gröbner dynamique G pour I.
La version dynamique de l’algorithme de Buchberger
Cet algorithme fonctionne comme l’algorithme de Buchberger pour les anneaux de valuations discrèts. La seule différence est lorsqu’on rencontre deux éléments incomparables a, b dans R. Dans
cette situation, on doit calculer d = a ∧ b, factoriser a = dá, b = db́, avec á ∧ b́ = 1, et ouvrir alors
deux branches, puis poursuivre les calculs dans Rá et Rb́ .
– Première possibilité : les deux éléments incomparables a et b sont utilisés en exécutant l’algorithme de division (analogue à l’algorithme de division dans le cas d’un anneau de valuation
discrète). On suppose que le terme axα = LT ( f ) divise un autre terme bxβ = LT (g) avec xβ
divise xα .
Dans l’anneau Rb́ : f =
f par r.
á xα
g
b́ xβ
+ r (mdeg(r) ≺ mdeg( f )) et on continue la division en remplaçant
3.1 Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau principal
57
{g}
Dans l’anneau Rá : LT ( f ) n’est pas divisible par LT (g) et donc f = f .
– Deuxième possibilité : les deux éléments incomparables a et b sont utilisés en calculant S ( f, g)
avec LT ( f ) = axα et LT (g) = bxβ . On note γ = (γ1 , . . . , γn ), avec γi = max(αi , βi ) pour chaque i.
Dans l’anneau Rb́ : S ( f, g) =
xγ
xα
Dans l’anneau Rá : S ( f, g) =
b́ xγ
á xα
f−
á xγ
g.
b́ xβ
f−
xγ
g.
xβ
Ǵ
Dans chaque nouvelle branche, si S = S ( f, g) , 0 où Ǵ est la base de Gröbner en cours de
construction, on doit alors ajouter S à Ǵ.
Commentaire
1. Toute localisation d’un anneau principal est un anneau principal.
2. Cet algorithme termine après un nombre fini d’étapes. En effet, s’il ne s’arrête pas alors ce
serait la faute aux coefficients et pas la faute aux monômes puisque Nn est bien ordonné.
C’est-à-dire la version dynamique de l’algorithme de Buchberger produit une infinité de
polynômes gi avec le même multidegré tels que hLC(g1 )i ⊂ hLC(g2 )i ⊂ hLC(g3 )i ⊂ . . ., en
contradiction avec le fait qu’un anneau principal est noethérien.
3. Toutes les feuilles de l’arbre binaire construit correspondent à des localisations de R en des
parties multiplicatives comaximales (en effet, à chaque fois, on scinde l’anneau en cours Ri
en deux anneaux du type (Ri )á et (Ri )b́ , avec á ∧ b́ = 1). Ainsi, d’après le théorème (3, 1, 1),
on obtient une base de Gröbner spéciale sur chaque feuille. Ces bases obtenues construisent
la base de Gröbner dynamique pour h f1 , . . . , f s i dans R [x1 , . . . , xn ].
58
CHAPITRE 3. BASES DE GRÖBNER DYNAMIQUES
Exemple 3.1.1 On veut construire une base de Gröbner dynamique pour
D
E
I = f1 = 10xy + 1, f2 = 6x2 + 3 dans Z x, y .
On fixe l’ordre lexicographique comme ordre monomial avec x > y. On va exécuter la version
dynamique de l’algorithme de Buchberger dans Z x, y .
Comme 10 ∧ 6 = 2, 10 = 2 × 5, et 6 = 2 × 3, on ouvre deux branches :
Z
.
&
Z5
Z3
Dans Z5 :
f1 = 10xy + 1, f2 = 6x2 + 3
S ( f1 , f2 ) =
LC( f2 ) xγ
f
LC( f1 ) LM( f1 ) 1
−
xγ
f
LM( f2 ) 2
= 53 x f1 − y f2 = 35 x − 3y := f3 .
3
5
Comme les coefficients dominants de f1 et f3 sont incomparables (10 ∧
= 2 ∧ 3 = 1), on ouvre
deux nouvelles branches :
Z5
.
&
Z5.2
Z5.3
Dans Z5.2 :
f1 = 10xy + 1, f3 = 53 x − 3y
S ( f1 , f3 ) =
LC( f3 ) xγ
f
LC( f1 ) LM( f1 ) 1
−
xγ
f
LM( f3 ) 3
f1 = 10xy + 1, f4 = 3y2 +
S ( f1 , f4 ) =
LC( f4 ) xγ
f
LC( f1 ) LM( f1 ) 1
−
=
3
f
50 1
− y f3 = 3y2 +
=
3
yf
10 1
3
50
:= f4 .
3
50
xγ
f
LM( f4 ) 4
3
− x f4 = − 50
x+
3
y
10
f3
= − 101 f3 → 0.
f2 = 6x2 + 3, f3 = 53 x − 3y
S ( f2 , f3 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
LC( f2 ) xγ
f
LC( f3 ) LM( f3 ) 3
f2 = 6x2 + 3, f4 = 3y2 +
S ( f2 , f4 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
= f2 −
6×5
x f3
3
f1
= 30xy + 3 = 3 f1 → 0.
3
50
LC( f2 ) xγ
f
LC( f4 ) LM( f4 ) 4
f2
f4
= y2 f2 − 2x2 f4 = − 253 x2 + 3y2 → f4 → 0.
3.1 Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau principal
f3 = 35 x − 3y, f4 = 3y2 +
S ( f3 , f4 ) =
xγ
f
LM( f3 ) 3
−
59
3
50
LC( f3 ) xγ
f
LC( f4 ) LM( f4 ) 4
f3
f4
3
= y2 f3 − 15 x f4 = − 250
x − 3y3 → −y f4 → 0.
n
Ainsi, G1 = 10xy + 1, 6x2 + 3, 35 x − 3y, 3y2 +
3
50
o
D
E
est une base de Gröbner spéciale pour 10xy + 1, 6x2 + 3
dans M(5, 2)−1 Z = Z5.2 .
Dans Z5.3 :
f1 = 10xy + 1, f3 = 35 x − 3y
S ( f1 , f3 ) =
xγ
f
LM( f1 ) 1
−
LC( f1 ) xγ
f
LC( f3 ) LM( f3 ) 3
= f1 −
50
y f3
3
= 50y2 + 1 = f5 .
f1 = 10xy + 1, f5 = 50y2 + 1
S ( f1 , f5 ) =
xγ
f
LM( f1 ) 1
−
LC( f1 ) xγ
f
LC( f5 ) LM( f5 ) 5
f3
= y f1 − 51 x f5 = − 15 x + y → 0.
f2 = 6x2 + 3, f3 = 35 x − 3y
S ( f2 , f3 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
LC( f2 ) xγ
f
LC( f3 ) LM( f3 ) 3
f1
= f2 − 10x f3 = 30xy + 3 → 0.
f2 = 6x2 + 3, f5 = 50y2 + 1
S ( f2 , f5 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
LC( f2 ) xγ
f
LC( f5 ) LM( f5 ) 5
= y2 f2 −
3 2
x f5
25
= − 253 x2 + 3y2 = f6 .
3 2
x + 3y2
f1 = 10xy + 1, f6 = − 25
S ( f1 , f6 ) =
xγ
f
LM( f1 ) 1
−
LC( f1 ) xγ
f
LC( f6 ) LM( f6 ) 6
= x f1 +
250
y f6
3
f3
f5
= x + 250y3 → 5y f5 → 0.
f2 = 6x2 + 3, f6 = − 253 x2 + 3y2
S ( f2 , f6 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
LC( f2 ) xγ
f
LC( f6 ) LM( f6 ) 6
f5
= f2 + 50 f6 = 150y2 + 3 = 3(50y2 + 1) = 3 f5 → 0.
f3 = 35 x − 3y, f5 = 50y2 + 1
S ( f3 , f5 ) =
LC( f5 ) xγ
f
LC( f3 ) LM( f3 ) 3
−
xγ
f
LM( f5 ) 5
f3 = 35 x − 3y, f6 = − 253 x2 + 3y2
=
250 2
y f3
3
f3
f5
− x f5 = −x − 250y3 → −5y f5 → 0.
60
S ( f3 , f6 ) =
CHAPITRE 3. BASES DE GRÖBNER DYNAMIQUES
xγ
f
LM( f3 ) 3
−
LC( f3 ) xγ
f
LC( f6 ) LM( f6 ) 6
f3
= x f3 + 5 f6 = −3xy + 15y2 → 0.
3 2
f5 = 50y2 + 1, f6 = − 25
x + 3y2
S ( f5 , f6 ) =
xγ
f
LM( f5 ) 5
LC( f5 ) xγ
f
LC( f6 ) LM( f6 ) 6
= x 2 f5 +
f6
f5
= x2 + 1250y4 → 25y2 f5 → 0.
n
o
Ainsi, G2 = 10xy + 1, 6x2 + 3, 50y2 + 1, 35 x − 3y, − 253 x2 + 3y2 est une base de Gröbner spéciale
D
E
pour 10xy + 1, 6x2 + 3 dans M(5, 3)−1 Z = Z5.3 .
−
1250 2
y f6
3
Dans Z3 :
f1 = 10xy + 1, f2 = 6x2 + 3
S ( f1 , f2 ) =
xγ
f
LM( f1 ) 1
−
LC( f1 ) xγ
f
LC( f2 ) LM( f2 ) 2
= x f1 − 53 y f2 = x − 5y = f7 .
f1 = 10xy + 1, f7 = x − 5y
S ( f1 , f7 ) =
xγ
f
LM( f1 ) 1
−
LC( f1 ) xγ
f
LC( f7 ) LM( f7 ) 7
= f1 − 10y f7 = 50y2 + 1 = f8 .
f1 = 10xy + 1, f8 = 50y2 + 1
S ( f1 , f8 ) =
LC( f8 ) xγ
f
LC( f1 ) LM( f1 ) 1
f7
xγ
f
LM( f8 ) 8
= 5y f1 − x f8 = −x + 5y → 0.
LC( f2 ) xγ
f
LC( f7 ) LM( f7 ) 7
= f2 − 6x f7 = 30xy + 3 → 0.
−
f2 = 6x2 + 3, f7 = x − 5y
S ( f2 , f7 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
f1
f2 = 6x2 + 3, f8 = 50y2 + 1
S ( f2 , f8 ) =
LC( f8 ) xγ
f
LC( f2 ) LM( f2 ) 2
−
xγ
f
LM( f8 ) 8
f7
= −x2 + 25y2 → 0.
f7 = x − 5y, f8 = 50y2 + 1
S ( f7 , f8 ) =
LC( f8 ) xγ
f
LC( f7 ) LM( f7 ) 7
xγ
f
LM( f8 ) 8
f7
f8
= 50y2 f7 − x f8 = −x − 250y3 → −5y f8 → 0.
n
o
D
E
Ainsi, G3 = 10xy + 1, 6x2 + 3, x − 5y, 50y2 + 1 est une base de Gröbner spéciale pour 10xy + 1, 6x2 + 3
dans M(3)−1 Z = Z3 .
−
3.2 Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau de Dedekind
3.2
61
Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau de Dedekind
Définition 3.2.1 (Anneau arithmétique)
Un anneau A est appelé anneau arithmétique si pour tout x1 , x1 dans A, il existe u, v, w ∈ A tels
que :



 ux2 = vx1


 wx2 = (1 − u)x1 .
Définition 3.2.2 Un anneau R est dit de Dedekind s’il est arithmétique, fortement discret et
noethérien.
Notre but est d’étendre la notion de base de Gröbner dynamiques aux anneaux de Dedekind.
Comment construire une base de Gröbner dynamique sur un anneau de Dedekind ?
Soient R un anneau de Dedekind, I = h f1 , . . . , f s i un idéal non nul de type fini de R [x1 , . . . , xn ] et
fixons un ordre monomial >. Notre but est de construire une base de Gröbner dynamique G pour I.
Version dynamique de l’algorithme de Buchberger
Cet algorithme est analogue à la version dynamique de l’algorithme de Buchberger sur les anneaux principaux. Il s’exécute comme l’algorithme de Buchberger sur les anneaux de valuation
noethériens. La seule différence est losqu’on rencontre deux éléments incomparables (au cours de
la division) a, b dans R. Dans cette situation, on doit calculer premièrement u, v, w ∈ R tels que



 ub = va


 wb = (1 − u)a
Maintenant, on ouvre deux branches, on poursuit le calcul dans Ru et
x
R1+uR = { , x ∈ R
y
et
∃z ∈ R
tel que
y = 1 + zu}
62
CHAPITRE 3. BASES DE GRÖBNER DYNAMIQUES
.
Ǵ
Dans chaque nouvelle branche, si S = S (gi , g j ) , 0 où Ǵ est la base de Gröbner en cours de
construction, alors on doit ajouter S à Ǵ.
Cet algorithme doit se terminer après un nombre fini d’étapes car un anneau de Dedekind est
noethérien.
– La version dynamique de l’algorithme de division (analogue à l’algorithme de division dans
le cas où l’anneau est de valuation et Noethérien) : on suppose qu’on veut diviser un terme
LT ( f ) = axα par un autre terme LT (g) = bxβ avec xβ divise xα . On note que c’est seulement
possible quand xβ divise xα et b divise a (comme dans l’approche classique).
Dans l’anneau R1−u : f =
w xα
g
1−u xβ
+ r (mdeg(r) ≺ mdeg( f )) et on poursuit la division en rempla-
çant f par r.
{g}
Dans l’anneau Ru : LT ( f ) n’est pas divisible par LT (g) et ainsi f = f .
– Calcul dynamique des S-paires : on suppose que l’on veut calculer S ( f, g) avec LT ( f ) = axα et
LT (g) = bxβ .
On note γ = (γ1 , . . . , γ1 ), avec γi = max(αi , βi ) pour tout i.
Dans l’anneau R1+uR : S ( f, g) =
Dans l’anneau Ru : S ( f, g) =
v xγ
u xα
xγ
xα
f−
f−
w xγ
g.
1−u xβ
xγ
g.
xβ
Le calcul de S ( f, f ) est inchangé. Il faudrait juste ouvrir suffisamment de branches pour que
l’annulateur de LC( f ) soit principal.
3.2 Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau de Dedekind
63
Exemple 3.2.1 On veut construire une base de Gröbner dynamique pour
√
I = h f1 = 3xy + 1, f2 = (4 + 2θ) y + 9i dans Z [θ] x, y où θ = −5.
On fixe l’ordre lexicographique comme ordre monomial avec x > y . On va exécuter à la main la
version dynamique de l’algorithme de Buchberger dans Z [θ] x, y .
Comme x1 := 3 et x2 := 4 + 2θ sont incomparables, on cherche u, v, w ∈ Z[θ] tels que :







ux2 = vx1
wx2 = (1 − u)x1
Une solution de ce système est u = 5 + 2θ, v = 6θ, w = −3. Ainsi, on ouvre deux branches :
Z [θ]
.
&
Z [θ]4+2θ
Z [θ]5+2θ
Dans Z [θ]5+2θ :
f1 = 3xy + 1, f2 = (4 + 2θ) y + 9
S ( f1 , f2 ) =
v xγ
f
u xα 1
−
xγ
f
xβ 2
=
f1 = 3xy + 1, f3 = −9x +
S ( f1 , f3 ) =
LC( f3 ) xγ
f
LC( f1 ) LM( f1 ) 1
−
6θ
f
5+2θ 1
− x f2 = −9x +
6θ
5+2θ
:= f3 .
6θ
5+2θ
xγ
f
LM( f3 ) 3
6θ
= −3 f1 − y f3 = − 5+2θ
y − 3 := f4 .
6θ
y−3
f1 = 3xy + 1, f4 = − 5+2θ
S ( f1 , f4 ) =
LC( f4 ) xγ
f
LC( f1 ) LM( f1 ) 1
f1 = 3xy + 1, f5 = 3x −
S ( f1 , f5 ) =
xγ
f
LM( f1 ) 1
−
−
xγ
f
LM( f4 ) 4
=
2θ
f
5+2θ 1
− x f4 = 3x −
2θ
5+2θ
:= f5 .
2θ
5+2θ
LC( f1 ) xγ
f
LC( f5 ) LM( f5 ) 5
= f 1 − y f5 =
6θ
f2 = (4 + 2θ) y + 9, f4 = − 5+2θ
y−3
2θ
y
5+2θ
+ 1 := f6 .
64
S ( f2 , f4 ) =
CHAPITRE 3. BASES DE GRÖBNER DYNAMIQUES
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
LC( f2 ) xγ
f
LC( f4 ) LM( f4 ) 4
f2 = (4 + 2θ) y + 9, f6 =
S ( f2 , f6 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
f3 = −9x +
S ( f3 , f5 ) =
−
6θ
,f
5+2θ 5
xγ
f
LM( f3 ) 3
= 3x −
−
xγ
f
LM( f4 ) 4
−
+1
LC( f2 ) xγ
f
LC( f6 ) LM( f6 ) 6
2θ
y
5+2θ
= f2 − 9 f6 = 0.
2θ
5+2θ
LC( f3 ) xγ
f
LC( f5 ) LM( f5 ) 5
6θ
f4 = − 5+2θ
y − 3, f6 =
S ( f4 , f6 ) =
2θ
y
5+2θ
= f2 + 3 f4 = 0.
= f3 + 3 f5 = 0.
+1
LC( f4 ) xγ
f
LC( f6 ) LM( f6 ) 6
= f4 + 3 f6 = 0.
2 et 3 sont incomparables dans Z [θ]5+2θ , donc on ouvre deux nouvelles branches :
Z [θ]5+2θ
.
&
Z [θ](5+2θ).3
Z [θ](5+2θ).2
Dans Z [θ](5+2θ).3 :
f1 = 3xy + 1, f6 =
S ( f1 , f6 ) =
2θ
y
5+2θ
LC( f6 ) xγ
f
LC( f1 ) LM( f1 ) 1
+1
−
xγ
f
LM( f6 ) 6
f2 = (4 + 2θ) y + 9, f3 = −9x +
S ( f2 , f3 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
S ( f2 , f5 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
f3 = −9x +
S ( f3 , f4 ) =
−
6θ
,f
5+2θ 4
2θ
f
3(5+2θ) 1
f5
− x f6 = − 13 f5 → 0.
6θ
5+2θ
LC( f2 ) xγ
f
LC( f3 ) LM( f3 ) 3
f2 = (4 + 2θ) y + 9, f5 = 3x −
=
= x f2 +
(4+2θ)
y f3
9
= x f2 −
4+2θ
y f5
3
= 9x +
f5
f2
6θ(4+2θ)
6θ
y → 9(5+2θ)
f2 →
9(5+2θ)
0.
2θ
5+2θ
LC( f2 ) xγ
f
LC( f5 ) LM( f5 ) 5
= 9x +
f5
f2
2θ(4+2θ)
6θ
y
→
f
→
2
3(5+2θ)
9(5+2θ)
0.
f6
f5 2θ
4θ2
y → 5+2θ
f6 →
(5+2θ)2
0.
6θ
= − 5+2θ
y−3
LC( f4 ) xγ
f
LC( f3 ) LM( f3 ) 3
−
xγ
f
LM( f4 ) 4
=
2θ
yf
3(5+2θ) 3
− x f4 = 3x +
3.2 Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau de Dedekind
f3 = −9x +
S ( f3 , f6 ) =
6θ
,f
5+2θ 6
=
2θ
y
5+2θ
LC( f6 ) xγ
f
LC( f3 ) LM( f3 ) 3
−
+1
xγ
f
LM( f6 ) 6
6θ
f4 = − 5+2θ
y − 3, f5 = 3x −
xγ
f
LM( f4 ) 4
−
LC( f4 ) xγ
f
LC( f5 ) LM( f5 ) 5
f5 = 3x −
2θ
,f
5+2θ 6
=
2θ
y
5+2θ
LC( f6 ) xγ
f
LC( f5 ) LM( f5 ) 5
−
=
−2θ
yf
9(5+2θ) 3
− x f6 = −x −
f5
f6
4θ2
−2θ
f6 →
y → 3(5+2θ)
3(5+2θ)2
0.
2θ
5+2θ
S ( f4 , f5 ) =
S ( f5 , f6 ) =
65
= x f4 +
2θ
yf
5+2θ 5
= −3x −
f5
(2θ)2
y
→
2
(5+2θ)
2
(2θ)
− (5+2θ)
2y −
2θ
5+2θ
f4
→ 0.
+1
xγ
f
LM( f6 ) 6
=
2θ
yf
3(5+2θ) 5
− x f6 = −x −
f5
f6
−2θ
4θ2
y → 3(5+2θ)
f6 →
3(5+2θ)2
0.
Ainsi,
n
G1.1 = f1 = 3xy + 1, f2 = (4 + 2θ) y + 9, f3 = −9x +
6θ
,f
5+2θ 4
6θ
= − 5+2θ
y − 3, f5 = 3x −
2θ
,f
5+2θ 6
est une base de Gröbner pour h3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9i dans M(5 + 2θ, 3)−1 = Z [θ](5+2θ).3
Mais on a :
LT ( f2 ) ∈ hLT (G1.1 \ { f2 })i.
LT ( f3 ) ∈ hLT (G1.1 \ { f3 })i.
LT ( f4 ) ∈ hLT (G1.1 \ { f4 })i.
n
Alors G1.1 = f1 = 3xy + 1, f5 = 3x −
2θ
,f
5+2θ 6
=
2θ
y
5+2θ
o
+ 1 est une base de Gröbner pour
h3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9i dans M(5 + 2θ, 3)−1 = Z [θ](5+2θ).3
Dans Z [θ](5+2θ).2 :
f1 = 3xy + 1, f6 =
S ( f1 , f6 ) =
f5 = 3x −
xγ
f
xα 1
−
2θ
,f
5+2θ 6
2θ
y
5+2θ
á xγ
f
b́ xβ 6
=
+1
= f1 −
2θ
y
5+2θ
+1
3(5+2θ)
x f6
2θ
f5
= − 3(5+2θ)
x + 1 → 0.
2θ
=
2θ
y
5+2θ
+1
o
66
CHAPITRE 3. BASES DE GRÖBNER DYNAMIQUES
f5
f6
2θ
S ( f5 , f6 ) = y f5 + 3(5+2θ)
x f6 = 5+2θ
y + 3(5+2θ)
x → f6 → 0.
2θ
2θ
n
o
2θ
2θ
Ainsi, G1.2 = 3xy + 1, 3x − 5+2θ
, 5+2θ
y + 1 est une base de Gröbner pour I dans
M (5 + 2θ, 2)−1 = Z [θ](5+2θ).2
Comme G1.1 = G1.2 , on pose G1 := G1.1 = G1.2 la base de Gröbner pour h3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9i
dans M (5 + 2θ)−1 = Z [θ](5+2θ) .
DansZ [θ]4+2θ
f1 = 3xy + 1, f2 = (4 + 2θ) y + 9
S ( f1 , f2 ) =
xγ
f
LM( f1 ) 1
−
LC( f1 ) xγ
f
LC( f2 ) LM( f2 ) 2
= f1 −
3x
f
4+2θ 2
27
= − 4+2θ
x + 1 := f7 .
27
f1 = 3xy + 1, f7 = − 4+2θ
x+1
S ( f1 , f7 ) =
LC( f7 ) xγ
f
LC( f1 ) LM( f1 ) 1
−
f1 = 3xy + 1, f8 = −y −
S ( f1 , f8 ) =
xγ
f
LM( f1 ) 1
−
xγ
f
LM( f7 ) 7
9
= − 4+2θ
f1 − y f7 = −y −
9
4+2θ
:= f8 .
9
4+2θ
LC( f1 ) xγ
f
LC( f8 ) LM( f8 ) 8
f7
27
= f1 + 3x f8 = − 4+2θ
x + 1 := f7 → 0.
27
f2 = (4 + 2θ) y + 9, f7 = − 4+2θ
x+1
S ( f2 , f7 ) =
LC( f7 ) xγ
f
LC( f2 ) LM( f2 ) 2
−
xγ
f
LM( f7 ) 7
f2 = (4 + 2θ) y + 9, f8 = −y −
S ( f2 , f8 ) =
xγ
f
LM( f2 ) 2
−
S ( f7 , f8 ) =
xγ
f
LM( f7 ) 7
−
f8
9
4+2θ
LC( f2 ) xγ
f
LC( f8 ) LM( f8 ) 8
27
x + 1, f8 = −y −
f7 = − 4+2θ
f7
27
243
= − (4+2θ)
2 x f2 − y f7 = − (4+2θ)2 x − y → f8 → 0.
= f2 + (4 + 2θ) f8 = 0.
9
4+2θ
LC( f7 ) xγ
f
LC( f8 ) LM( f8 ) 8
= y f7 −
27
x f8
4+2θ
=
243
x
(4+2θ)2
n
27
x + 1, −y −
On trouve G2 = 3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9, − 4+2θ
pour h3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9i dans Z [θ](4+2θ) .
f7
f8
+ y → − f8 → 0.
9
4+2θ
o
comme base de Gröbner spéciale
3.2 Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau de Dedekind
n
27
On a LT ( f2 ) ∈ hLT (G2 \ { f2 })i alors G2 = 3xy + 1, − 4+2θ
x + 1, −y −
67
9
4+2θ
o
comme base de Gröbner
spéciale pour h3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9i dans Z [θ](4+2θ) .
En conclusion, l’évaluation dynamique de construction d’une base de Gröbner pour I produit
l’arbre suivant :
Z [θ]
.
&
Z [θ]4+2θ
Z [θ]5+2θ
.
Z [θ](5+2θ).3
&
Z [θ](5+2θ).2
On obtient G = {(M (5 + 2θ) , G1 ) , (M (4 + 2θ) , G2 )} comme base de Gröbner dynamique pour I.
Chapitre 4
Applications de bases de Gröbner
4.1
Appartenance à un idéal
4.1.1 Appartenance à un idéal sur un corps
Corollaire 4.1.1 Soient G = {g1 , . . . , gt } une base de Gröbner d’un idéal I ⊂ k [x1 , . . . , xn ] et
f ∈ k [x1 , . . . , xn ], alors f appartient à I si et seulement si le reste de la division de f par G est nul.
Preuve : Il est clair que si le reste de la division de f par G est nul, alors f appartient à I que G
soit une base de Gröbner ou non. La réciproque découle quant à elle de la proposition (2, 3, 1) et
requiert que G soit une base de Gröbner.
Exemple 4.1.1 Considérons dans C x, y, z les polynômes f1 = xz − y2 et f2 = x3 − z2 . On cherche à
savoir si le polynôme f = −4x2 y2 z2 + y6 + 3z5 appartient à l’idéal I = h f1 , f2 i. Considérons l’ordre
lexicographique gradué sur N3 avec x y z.
En effet nous avons.
f1 = xz − y2 , f2 = x3 − z2
S ( f1 , f2 ) =
xγ
f
LT ( f1 ) 1
−
xγ
f
LT ( f2 ) 2
= −x2 y2 + z3 := f3 .
70
CHAPITRE 4. APPLICATIONS DE BASES DE GRÖBNER
f1 = xz − y2 , f3 = −x2 y2 + z3
S ( f1 , f3 ) = −xy4 + z4 := f4 .
f1 = xz − y2 , f4 = −xy4 + z4
S ( f1 , f4 ) = −y6 + z5 := f5 .
f1 = xz − y2 , f5 = −y6 + z5
f5
f1
S ( f1 , f5 ) = −y8 + xz6 → xz6 − y2 z5 → 0.
f2 = x3 − z2 , f3 = −x2 y2 + z3
f1
S ( f2 , f3 ) = xz3 − y2 z2 = z2 f1 → 0 si on divise S ( f2 , f3 ) sur f1 le reste est 0.
f2 = x3 − z2 , f4 = −xy4 + z4
f1
S ( f2 , f4 ) = x2 z4 − y4 z2 → 0.
f2 = x3 − z2 , f5 = −y6 + z5
f1
S ( f2 , f5 ) = x3 z5 − y6 z2 → 0.
f3 = −x2 y2 + z3 , f4 = −xy4 + z4
f1
S ( f3 , f4 ) = xz4 − y2 z3 → 0.
f3 = −x2 y2 + z3 , f5 = −y6 + z5
f1
S ( f3 , f5 ) = x2 z5 − y4 z3 → 0.
f4 = −xy4 + z4 , f5 = −y6 + z5
f1
S ( f4 , f5 ) = xz5 − y2 z4 → 0.
n
o
Alors G = xz − y2 , x3 − z2 , −x2 y2 + z3 , −xy4 + z4 , −y6 + z5 est une base de Gröbner de I.
En effectuant la division de f par G
4.1 Appartenance à un idéal
−4x2 y2 z2 + y6 + 3z5
−4x2 y2 z2 + 4xy4 z
−4xy4 z + y6 + 3z5
−4xy4 z + 4y6
−3y6 + 3z5
−3y6 + 3z5
0
71
xz − y2
−4xy2 z − 4y4
x 3 − z2
0
−x2 y2 + z3
0
−xy4 + z4
0
−y6 + z5
3
reste
0
on obtient
f = −4xy2 z − 4y4 f1 + 0 f2 + 0 f3 + 0 f4 + 3 f5 .
Le reste étant nul on voit que f appartient à I.
4.1.2 Appartenance à un idéal sur un anneau principal
Soit R un anneau principal de corps de fraction F. Notre but est de répondre à la question Q :
f ∈? h f1 , . . . , f s i dans R [x1 , . . . , xn ].
En premier lieu, on doit répondre à la question Q0 :
f ∈? h f1 , . . . , f s i dans F [x1 , . . . , xn ].
Si la réponse à la question Q0 est négative, il en est de même pour la question Q. Si elle est positive,
alors il existe d ∈ R \ {0} tel que :
d f ∈ h f1 , . . . , f s i dans R [x1 , . . . , xn ]......... (0)
Comme l’anneau est principal et par suite factoriel, écrivons d = pα1 1 . . . pαl l , les pi étant des éléments irréductibles de R distincts deux à deux. La réponse au problème (Q) est positive si et seulement si pour tout 1 ≤ i ≤ l la réponse au problème (Q pi ) :
f ∈? h f1 , . . . , f s i dans R pi R [x1 , . . . , xn ].
est positive. Voyons ceci de plus près.
Supposons que c’est le cas, on a pour tout 1 ≤ i ≤ l :
72
CHAPITRE 4. APPLICATIONS DE BASES DE GRÖBNER
di f ∈ h f1 , . . . , f s i dans R [x1 , . . . , xn ] pour un certain di ∈ R \ pi R.......... (i)
Comme pgcd(d, d1 , . . . , dl ) = 1, en combinant les égalité (0), . . . , (l) et en utilisant une identité de
Bézout entre d, d1 , . . . , dl , on trouve une égalité affirmant que f ∈ h f1 , . . . , f s i dans R [x1 , . . . , xn ].
En conclusion, résoudre Q revient à résoudre Q0 , Q p1 , . . . , Q pl .
Exemple 4.1.2 f = 5x3 y + 2x2 + 3xy2 + 4y − 7 ∈ ? h f1 = 3xy + 4, f2 = 2x2 + 3i dans Z x, y .
Par l’algorithme de Buchberger dans Q x, y en utilisant l’ordre lexicographique avec x > y , on a
S ( f1 , f2 ) = 43 x − 32 y =: f3
S ( f1 , f3 ) = 98 y2 +
S ( f1 , f4 ) =
−32
x
27
4
3
=: f4
f3
+ 43 y → 0
S ( f2 , f3 ) = 89 xy +
S ( f2 , f4 ) =
−32 2
x
27
S ( f3 , f4 ) =
−32
x
27
3
2
f1
→0
f2
+ 32 y2 → 32 y2 +
f3 −9
y3
8
− 98 y3 →
16
9
f4
→0
f4
− 43 y → 0
on obtient
o
n
G0 = f1 , f2 , 43 x − 32 y, 98 y2 + 43
comme base de Gröbner pour h f1 , f2 i dans Q x, y . La réponse à Q0 est positive et on obtient :
f =
5 2
x
3
+ 3y f1 − 73 f2 .
Ainsi : 3 f = 5x2 + 3y f1 − 7 f2 ...................(0)
On va construire une base de Gröbner par l’algorithme de Buchberger dans Z(3) x, y =Z3Z x, y .
Z3Z =
a
b
, a, b ∈ Z
et
3
ne divise pas
b
4.1 Appartenance à un idéal
73
. Comme Z3Z est un anneau de valuation on a :
S ( f1 , f1 ) = S ( f2 , f2 ) = 0
S ( f1 , f2 ) = 4x − 29 y =: f3
S ( f3 , f3 ) = 0
S ( f1 , f3 ) =
27 2
y
8
+ 4 =: f4
S ( f4 , f4 ) = 0
f3
S ( f1 , f4 ) = −4x + 92 y → 0
f1
S ( f2 , f3 ) = 94 xy + 3 → 0
S ( f2 , f4 ) = −4x2 +
S ( f3 , f4 ) = −4x −
81 2 f2 81 2
y → 16 y
16
f4
+6→0
243 3 f3 −243 3
y → 64 y
64
f4
− 92 y → 0
Alors
o
n
G3 = f1 , f2 , 4x − 29 y, 278 y2 + 4
comme base de Gröbner pour h f1 , f2 i dans Z(3) x, y .
La réponse à Q3 est positive dans Z(3) x, y et on obtient :
f = y − 25 f1 + 52 xy + 1 f2
Ainsi 2 f = (2y − 5) f1 + (5xy + 2) f2 ........................(3)
Une identité de Bézout entre 2 et 3 est : 3 − 2 = 1.
Ainsi (0) − (3) ⇒ f = 5x2 + y + 5 f1 + (−5xy − 9) f2 , une réponse positive complète à la question
d’appartenance à un idéal.
Proposition 4.1.1 Soient R un anneau principal, I = h f1 , . . . , f s i un idéal non nul de R [x1 , . . . , xn ] ,
f ∈ R [x1 , . . . , xn ] et fixons un ordre monomial. On suppose que G = {g1 , . . . , gt } une base de
G
gröbner spéciale pour I dans R [x1 , . . . , xn ]. Alors, f ∈ I si et seulement si f = 0.
74
CHAPITRE 4. APPLICATIONS DE BASES DE GRÖBNER
Preuve :
Bien sûr, si f
G
= 0 alors f ∈ hg1 , . . . , gt i = I. Inversement, on suppose que f ∈ I et le reste de la
division r de f par G dans R [x1 , . . . , xn ] est non nul. Ceci implique LT (r) n’est pas divisible par
aucun LT (g1 ), . . . , LT (gt ).
On remarque que G est aussi une base de Gröbner pour h f1 , . . . , f s i dans R pR [x1 , . . . , xn ] pour tout
élément irréductible p ∈ R.
Soit p un élément irréductible dans R. Comme G est aussi une base de Gröbner pour h f1 , . . . , f s i
dans R pR [x1 , . . . , xn ], LM(r) est divisible au moins par l’un des LM(g1 ), . . . , LM(gt ). Mais pour
tout gi tel que LM(gi ) divise LM(r), LC(gi ) ne divise pas LM(r). Soient gi1 , . . . , gik des polynômes
tels que :
LC(gi1 )/LC(gi2 )/ . . . /LC(gik ).
Comme l’anneau de base est principal, on écrit LC(gi1 ) = upα1 1 . . . pαl l et LC(r) = vpβ11 . . . pβl l , où
les pi sont des éléments distincts irréductibles dans R, u, v sont inversibles dans R, et
αi , βi ∈ N. Nécessairement, il existe 1 ≤ i0 ≤ l tel que αi0 > βi0 . Mais ceci implique que le problème
persiste dans l’anneau R pi0 R [x1 , . . . , xn ], ce qui contredit le fait que G est une base de Gröbner pour
h f1 , . . . , f s i dans R pi0 R [x1 , . . . , xn ].
Théorème 4.1.1 Soient R un anneau principal, I = h f1 , . . . , f s i un idéal non nul de type fini de
R [x1 , . . . , xn ] , f ∈ R [x1 , . . . , xn ] et fixons un ordre monomial.
On suppose que G = {(S 1 , G1 ) , . . . , (S K , G K )} est une base de Gröbner dynamique pour I dans
R [x1 , . . . , xn ]. Alors f ∈ I si et seulement si f
Preuve :
” ⇒ ” On utilise la proposition (3, 1, 1).
Gi
= 0 dans (S i−1 R) [x1 , . . . , xn ] pour tout 1 ≤ i ≤ k.
4.1 Appartenance à un idéal
” ⇐ ” Comme f
Gi
75
= 0, f ∈ h f1 , . . . , f s i dans (S i−1 R) [x1 , . . . , xn ], pour tout 1 ≤ i ≤ k. Ceci implique
que pour tout 1 ≤ i ≤ k, il existe si ∈ S i et hi,1 , . . . , hi,s ∈ R [x1 , . . . , xn ] tels que
si f = hi,1 f1 + . . . + hi,s f s .
En utilisant le fait que S 1 , . . . , S K sont comaximales, il existe a1 , . . . , aK ∈ R tels que
Pk
i=1
ai si = 1.
Ce qui donne
P
P
f = ( ki=1 ai hi,1 ) f1 + . . . + ( ki=1 ai hi,s ) f s ∈ I.
Exemple 4.1.3 Considérons dans Z x, y les polynômes f1 = 10xy + 1 et f2 = 6x2 + 3. On cherche
à savoir si le polynôme f = 62x3 y + 11x2 + 10xy2 + 56xy + y + 8 appartient à l’idéal I = h f1 , f2 i.
Considérons l’ordre lexicographique avec x y sur N2 .
On a dejà calculé dans l’exemple (3,1,1) la base de Gröbner dynamique de l’idéal I.
Ou on a trouvé les résultats suivants :
n
1. G1 = 10xy + 1, 6x2 + 3, 35 x − 3y, 3y2 +
3
50
o
D
E
est une base de Gröbner spéciale pour 10xy + 1, 6x2 + 3
dans M(5, 2)−1 Z = Z5.2 .
n
o
3 2
2. G2 = 10xy + 1, 6x2 + 3, 50y2 + 1, 35 x − 3y, − 25
x + 3y2 est une base de Gröbner spéciale
D
E
pour 10xy + 1, 6x2 + 3 dans M(5, 3)−1 Z = Z5.3 .
n
o
D
E
3. G3 = 10xy + 1, 6x2 + 3, x − 5y, 50y2 + 1 est une base de Gröbner spéciale pour 10xy + 1, 6x2 + 3
dans M(3)−1 Z = Z3 .
n
Division f par G1 = 10xy + 1, 6x2 + 3, 35 x − 3y, 3y2 +
3
50
o
dans l’anneau Z5.2 .
76
CHAPITRE 4. APPLICATIONS DE BASES DE GRÖBNER
62x3 y + 11x2 + 10xy2 + 56xy + y + 8
62x3 y + 31
x2
5
24 2
x + 10xy2 + 56xy + y + 8
5
10xy2 + y
24 2
x + 56xy + 8
5
56xy + 285
24 2
x + 12
5
5
24 2
12
x
+
5
5
0
On obtient f =
31 2
x
5
+y+
28
5
10xy + 1
31 2
x + y + 285
5
6x2 + 3
4
5
3
x
5
− 3y
0
3y2 +
0
3
50
reste
0
f1 + 45 f2 alors 5 f = 31x2 + 5y + 28 f1 + 4 f2 .......................... (A1 )
n
o
Division f par G2 = 10xy + 1, 6x2 + 3, 50y2 + 1, − 253 x2 + 3y2 dans l’anneau Z5.3 .
62x3 y + 11x2 + 10xy2 + 56xy + y + 8
62x3 y + 315 x2
24 2
x + 10xy2 + 56xy + y + 8
5
10xy2 + y
24 2
x + 56xy + 8
5
56xy + 285
24 2
x + 12
5
5
24 2
x + 12
5
5
0
On obtient f =
31 2
x
5
+y+
28
5
10xy + 1
+ y + 28
5
31 2
x
5
6x2 + 3
4
5
50y2 + 1
0
− 253 x2 + 3y2
0
reste
0
f1 + 45 f2 alors 5 f = 31x2 + 5y + 28 f1 + 4 f2 .......................... (A2 )
On pose (A) = (A1 ) = (A2 ).
n
o
Division f par G3 = 10xy + 1, 6x2 + 3, x − 5y, 50y2 + 1 dans l’anneau Z3 .
4.1 Appartenance à un idéal
77
62x3 y + 11x2 + 10xy2 + 56xy + y + 8
10xy2 + y
62x3 y + 11x2 + 56xy + 8
62x3 y + 31xy
11x2 + 25xy + 8
11x2 − 55xy
80xy + 8
80xy − 400y2
400y2 + 8
400y2 + 8
0
On obtient f = y f1 +
31
xy f2
3
10xy + 1
y
6x2 + 3
31
xy
3
x − 5y
11x + 80y
50y2 + 1
8
+ (11x + 80y) f7 + 8 f8 ....................................(1)
On a
f7 = x f1 − 35 y f2 .
f8 = f1 − 10y f7
5
= f1 − 10y(x f1 − y f2 )
3
50
= (1 − 10xy) f1 + y2 f2 .
3
En remplaçant
f7 = x f1 − 53 y f2 .
f8 = (1 − 10xy) f1 +
50 2
y f2 .
3
dans (1) on obtient :
f = (11x2 + y + 8) f1 −
24
xy f2
3
alors 3 f = (33x2 + 3y + 24) f1 − 24xy f2 ...................(B)
Une identité de Bézout entre 5 et 3 on a 2.3 − 5.1 = 1.
Ainsi 2(B) − (A) ⇒ f = (35x2 + y + 20) f1 − (48xy − 4) f2 une réponse positive complète.
reste
0
78
CHAPITRE 4. APPLICATIONS DE BASES DE GRÖBNER
4.1.3 Appartenance à un idéal sur un un anneau de Dedekind
Proposition 4.1.2 Soient R un anneau de Dedekind (non necéssairement intègre), I = h f1 , . . . , f s i
un idéal non nul de type fini de R [x1 , . . . , xn ] et fixons un ordre monomial >. On suppose que
G = {g1 , . . . , gt } est une base de Gröbner spéciale pour I dans R [x1 , . . . , xn ], Alors, f ∈ I si et
G
seulement si f = 0.
Preuve : On donne la preuve dans le cas intègre. Bien sûr, si f
G
= 0 alors f ∈ hg1 , . . . , gt i = I.
Inversement, on suppose que f2 ∈ I et le reste de la division r de f par G dans R [x1 , . . . , xn ] est
non nul. Ceci implique que LT (r) n’est pas divisible par aucun des LT (g1 ), . . . , LT (gt ).
On voit que G est aussi une base de Gröbner pour h f1 , . . . , f s i dans R p [x1 , . . . , xn ] pour tout idéal
premier p de R.
Soit p un idéal premier de R. Comme G est aussi une base de Gröbner pour h f1 , . . . , f s i dans
R p [x1 , . . . , xn ], LM(r) est divisible au moins par l’un des LM(g1 ), . . . , LM(gt ). Mais pour tout gi
tel que LM(gi ) divise LM(r), LC(gi ) ne divise pas LM(r). Soit gi1 , . . . , gik des polynômes tels que
LC(gi1 )/LC(gi2 )/ . . . /LC(gik ).
Comme l’anneau de base est de Dedekind, on a LC(gi1 ) = pα1 1 . . . pαl l et hLC(r)i = pβ11 . . . pβl l où
les pi sont des idéaux premiers distincts de R, et αi , βi ∈ N. Nécessairement, il existe 1 ≤ i0 ≤ l tel
que αi0 βi0 . Mais ceci implique que le problème persiste dans l’ anneau R pi0 [x1 , . . . , xn ], ce qui
contredit le fait que G est une base de Gröbner pour h f1 , . . . , f s i dans R pi0 [x1 , . . . , xn ].
Théorème 4.1.2 Soient R un anneau de Dedekind, I = h f1 , . . . , f s i un idéal non nul de R [x1 , . . . , xn ] , f ∈
R [x1 , . . . , xn ] et fixons un ordre monomial.
On suppose que G = {(S 1 , G1 ), . . . , (S k , Gk )} est une base de Gröbner dynamique pour I dans
4.1 Appartenance à un idéal
R [x1 , . . . , xn ]. Alors, f ∈ I si et seulement si f
79
Gi
= 0 dans (S i−1 R [x1 , . . . , xn ] pour chaque 1 ≤ i ≤ k.
√
Exemple 4.1.4 Considérons dans Z [θ] x, y où θ = −5 les polynômes f1 = 3xy + 1 et f2 =
(4 + 2θ) y + 9. On cherche à savoir si le polynôme f = (4θ − 1) x2 y + 6θxy2 + 9θx2 + 3x − 4y − 9
appartient à l’idéal I = h f1 , f2 i. Considérons l’ordre lexicographique avec x y sur N2 .
On a dejà calculé dans l’exemple (3,2,1) la base de Gröbner dynamique de l’idéal I.
On a trouvé les résultats suivants :
n
– G1 = f1 = 3xy + 1, f2 = (4 + 2θ) y + 9, f3 = −9x +
6θ
,f
5+2θ 4
6θ
= − 5+2θ
y − 3, f5 = 3x −
2θ
,f
5+2θ 6
=
2θ
y
5+2θ
est une base de Gröbner pour h3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9i dans M(5 + 2θ) = Z [θ](5+2θ)
n
27
– G2 = 3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9, − 4+2θ
x + 1, −y −
9
4+2θ
o
comme base de Gröbner spéciale pour
h3xy + 1, (4 + 2θ) y + 9i dans Z [θ](4+2θ) .
n
En effectuant la division de f par G1 = f1 = 3xy + 1, f5 = 3x −
2θ
,f
5+2θ 6
=
2θ
y
5+2θ
o
+ 1 dans l’anneau
Z [θ](5+2θ).3 x, y .
On obtient :
(4θ − 1) x2 y + 6θxy2 + 9θx2 + 3x − 4y − 9
(4θ − 1) x2 y + 4θ−1
x
3
10−4θ
2
2
6θxy + 9θx + 3 x − 4y − 9
6θxy2 + 2θy
x − (4 + 2θ) y − 9
9θx2 + 10−4θ
3
30
2
9θx + 5+2θ
x
− (4 + 2θ) y − 9
− (4 + 2θ) y − 9
0
3xy + 1
+ 2θy
4θ−1
x
3
2θ
3x − 5+2θ
3θx
Ainsi la réponse à la Q.A.I dans Z [θ](5+2θ).3 x, y est positive et on a :
x
+
2θy
f1 + 3θx f5 − 9 f6 ............................... (1)
f = 4θ−1
3
On a
+1
−9
2θ
y
5+2θ
reste
0
+1
o
80
CHAPITRE 4. APPLICATIONS DE BASES DE GRÖBNER
f5 =
=
=
=
=
2θ
f 1 − x f4
5 + 2θ
2θ
f1 − x (−3 f1 − y f3 )
5 + 2θ
2θ
f1 + 3x f1 + xy f3
5 + 2θ
!
2θ
6θ
f1 + 3x f1 + xy
f1 − x f2
5 + 2θ
5 + 2θ
!
6θ
2θ
+ 3x +
xy f1 − x2 y f2 .
5 + 2θ
5 + 2θ
f6 = f1 − y f5
"
= f1 − y
!
#
2θ
6θ
2
+ 3x +
xy f1 − x y f2
5 + 2θ
5 + 2θ
!
2θ
6θ
2
= 1−
y − 3xy −
xy f1 + x2 y2 f2 .
5 + 2θ
5 + 2θ
En remplaçant
6θ
2θ
+ 3x + 5+2θ
xy f1 − x2 y f2 .
f5 = 5+2θ
2θ
6θ
y − 3xy − 5+2θ
xy2 f1 + x2 y2 f2 .
f6 = 1 − 5+2θ
dans (1) on obtient :
f =
6θ−45
x
5+2θ
+
28θ−20
y
5+2θ
+ 9θx2 +
18θ2 2
xy
5+2θ
+ 27xy +
54θ
xy2
5+2θ
− 9 f1 − 3θx3 y + 9x2 y2 f2 .
Ainsi la réponse à la Q.A.I est positive dans l’anneau Z [θ](5+2θ) x, y . On obtient :
4.1 Appartenance à un idéal
81
h
i
(5+2θ) f = (6θ − 45)x + (28θ − 20)y + 9θ(5 + 2θ)x2 + 18θ2 x2 y + 27(5 + 2θ)xy + 54θxy2 − 9(5 + 2θ) f1 −
h
i
3θ(5 + 2θ)x3 y + 9(5 + 2θ)x2 y2 f2 .................. (A)
n
27
En effectuant la division de f par G2 = 3xy + 1, − 4+2θ
x + 1, −y −
9
4+2θ
o
dans l’anneau Z [θ](4+2θ) x, y .
On obtient :
(4θ − 1) x2 y + 6θxy2 + 9θx2 + 3x − 4y − 9
6θxy2 + 2θy
(4θ − 1) x2 y + 9θx2 + 3x − (4 + 2θ)y − 9
−(4 + 2θ)y − 9
(4θ − 1) x2 y + 9θx2 + 3x
(4θ − 1) x2 y + 9(4θ−1)
x2
4+2θ
81 2
− 4+2θ x + 3x
81 2
− 4+2θ
x + 3x
0
3xy + 1
2θy
27
− 4+2θ
x+1
3x
9
−y − 4+2θ
(4 + 2θ) − (4θ − 1)x2
reste
0
Ainsi la réponse à la Q.A.I est positive dans l’anneau Z [θ](4+2θ) x, y est positive et on obtient :
h
i
f = 2θy f1 + 3x f7 + (4 + 2θ) − (4θ − 1)x2 f8 ..........................(2)
On a :
f7 = f1 −
3x
f.
4+2θ 2
82
CHAPITRE 4. APPLICATIONS DE BASES DE GRÖBNER
9
f1 − y f7
4 + 2θ
!
3x
9
=−
f1 − y f1 −
f2
4 + 2θ
4 + 2θ
!
3xy
9
= −
− y f1 +
f2 .
4 + 2θ
4 + 2θ
f8 = −
En remplaçant
3x
f7 = f1 − 4+2θ
f2
9
f8 = − 4+2θ
− y f1 +
3xy
f
4+2θ 2
dans (2) on obtient
h
f = 2θy + 3x − 9 − (4 + 2θ)y +
9(4θ−1) 2
x
4+2θ
i
h
+ (4θ − 1)x2 y f1 + 3xy −
9x2
4+2θ
−
i
3(4θ−1) 3
xy
4+2θ
f2 .
Alors
h
i
(4 + 2θ) f = (14θ − 44)x2 y + 9(4θ − 1)x2 − (4 + 2θ)2 y + 3(4 + 2θ)x − 9(4 + 2θ) f1 +
h
i
−9x2 + 3(4 + 2θ)xy − 3(4θ − 1)x3 y f2 ................... (B)
Une identité de Bézout entre (5 + 2θ) et (4 + 2θ) on a (5 + 2θ) − (4 + 2θ) = 1.
h
i
Ainsi (A)−(B) ⇒ f = (−46 − 14θ)x2 y + (9θ − 81)x2 + 54θxy2 + 27(5 + 2θ)xy − 3(2θ + 4)x + (4 + 2θ)2 y − 9 f1 +
h
i
(27 − 3θ)x3 y − 9(5 + 2θ)x2 y2 + 9x2 − 3(4 + 2θ)xy f2 .
une réponse positive complète.
4.2 Résolution d’un système d’équations polynomiales
4.2
83
Résolution d’un système d’équations polynomiales
En utilisant les bases de Gröbner, on peut réduire le problème de résolution d’un système d’équations polynomiales à trouver les racines d’un polynôme à une variable.
Soit I = h f1 , . . . , f s i un idéal de k [x1 , . . . , xn ] et considérons le système d’équations (1) suivant :


f1 (x1 , . . . , xn ) = 0





..

.




 f (x , . . . , x ) = 0
s 1
n
(1) est dit résoluble s’il existe a1 , . . . , an dans une extension algébrique de K tel que
fi (a1 , . . . , an ) = 0 ∀i = 1 . . . s.
Nous noterons VL ( f1 , . . . , f s ) l’ensemble des solutions de ce système sur L une extension algébrique
de K. De ce fait VL ( f1 , . . . , f s ) est une partie de Ln .
Exemple 4.2.1 Si f1 (x1 , x2 ) = x12 + x22 + 1 alors VR ( f1 , f2 ) = φ
Proposition 4.2.1 Si I = h f1 , . . . , f s i est un idéal non nul de k [x1 , . . . , xn ], alors VL (I) = VL ( f1 , . . . , f s )
pour une extension arbitraire de L.
De ce fait pour étudier VL (I), on peut utiliser une base de Gröbner de I, de façon à simplifier au
mieux les équations. En effet le système













f1 (x1 , . . . , xn ) = 0
..
.
f s (x1 , . . . , xn ) = 0
équivaut au système













g1 (x1 , . . . , xn ) = 0
..
.
gt (x1 , . . . , xn ) = 0
où G = {g1 , . . . , gt } est une base de Gröbner de I = h f1 , . . . , f s i.
84
CHAPITRE 4. APPLICATIONS DE BASES DE GRÖBNER
Théorème 4.2.1 Soit I un idéal de k [x1 , . . . , xn ]. Alors VL (I) = φ si et seulement si 1 ∈ I.
Exemple 4.2.2 Considérons le système d’équations polynomiales :







x2 + 2y2 − 3 = 0
x2 + xy + y2 − 3 = 0
On cherche à déterminer les solutions de ce système dans R2 . Considérons l’idéal
D
E
I = x2 + 2y2 − 3, x2 + xy + y2 − 3
Le calcul de la base de Gröbner réduite G par rapport à l’ordre lexicographique avec x y par
l’algorithme de Buchberger nous donne
n
o
G = x2 + 2y2 − 3, xy − y2 , y3 − y .
Comme 1 < G, le système a des solutions.
Le troisième polynôme de G étant à une seule variable, on peut déterminer ses racines réelles qui
sont 0 et 1 et −1. On remplace ces valeurs dans le premier polynôme et le deuxième polynôme. On
√ √ trouve 3, 0 , − 3, 0 , (1, 1), (−1, −1) sont les seules solutions de ce système dans R2 .
Bibliographie
[1] A.Arnault, Gilles Bailly-Maitre, Y.Benjamin, Philippe du bois, L.Ducos, A.Galateau,
H.Lombardi, M.Romagny, J.Roques,Mathématiques L3 Algèbre, Cours complet avec 400
exercices corrigés. Publié par Pearson Education France 2009.
[2] B.Buchberger, Ein Algorithmus zun Auffinden der Basiselemente des Restklassenringes nach
einem nulldimensionalen polynomideal. Ph.D. thesis, University of Innsbruck, Austria, 1965.
[3] B.Buchberger, A critical pair/completion algorithm for finitely generated ideals in rings. In :
Springer Lectures Notes in Computer Science 171 (1984) 137-155.
[4] F.Ivorra,Petite introduction aux bases de Gröbner, Enseignement dispensé en L3 à l’université
de Rennes 1 au cours de l’année universitaire 2008-2009.
[5] F.Pauer, Gröbner bases with coefficients in rings. J.Symb. 42 (2007) 1003-1011.
[6] H.Lombardi, P.Schuster, I.Yengui, The Gröbner ring conjecture in one variable, Preprint
2010.
[7] I.Yengui, Dynamical Gröbner bases, J.Agebra 301 (2006) 447-485
86
BIBLIOGRAPHIE
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de Dedekind avec diviseur de zéro Cours donné par Pr Ihsen Yengui de l’université de sfax
(Tunisie).
[9] I.Yengui,Making the use of maximal ideals constructive. Theoretical Computer Science 392
(2008) 174-178
[10] I.Yengui,Stably free modules over R [x] of rank dim R are free. Mathematics of Computation,
in press.
[11] Jean-Marie Monier,Algèbre 1 Cours et 600 exercices corrigés 1re année MPSI, PCSI, PTSI.
2eme edition DUNOD paris 2000.
[12] P.SAUX PICART,Cours de calcul formel, Corps finis, systèmes polynomiaux Applications.
[13] Philppe elbaz-vincent,Bases de Gröbner et leurs applications.
[14] W.Admas, P.Laustaunau, An introduction to Gröbner bases.. Graduate Studies in Mathematics, vol.
3, American Mathematical Society, Providence, RI, 1994.
[15] Y.Cai, D.Kapur, An algorithml for computing a Gröbner basis of a polynomial ideal over a
ring with zero divisors. University of New Mexico, Technical Report (2003). www.cs.unm.edu/
treport/tr/03-12/GB.pdf.
Résumé
Dans ce mémoire, on s’intéresse de l’appartenance d’un polynôme à un idéal de K
[x1, . . . , xn]. Tant que l’algorithme de la division euclidienne est insuffisante pour
répondre à la question de l’appartenance d’un polynôme à un idéal pour remédier ceci
on a besoin du concept de base de Gröbner. Le mémoire se divise en quatre chapitres.
Dans le premier chapitre, on introduit les notions fandamentales d’algèbre. On utilise
les notions d’anneau, d’anneau nothérien, d’idéal. Dans le deuxième chapitre, on
s’intéresse au base de Gröbner sur un corps et sur un anneau de valuation et leurs
propriétés essentiels, et on rappel l’algorithme de Buchberger, et on utilise par des
exemples. Le troisième chapitre est consacré aux bases de Gröbner dynamique. Dans
le quatrième chapitre, on traite des applications de bases de Gröbner, en particulier
appartenance à un idéal.
Mots Clé
Grobner; Buchberger; Algorithme; Appartenance; Valuation; Idéal; Division;
Polynome; Base; Noétherien.