Algèbre linéaire et géométrie vectorielle

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle
Opérations sur les vecteurs
Angle entre 2 vecteurs
 
Si u et v sont 2 vecteurs de  n alors
Addition de vecteurs
 

u+v
v

u
⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜ a2 ⎟ + ⎜ b2 ⎟ = ⎜
⎜  ⎟ ⎜  ⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎝ an ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝
Soustraction de vecteurs

⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛

u

v ⎜ a ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜
 
v
⎜ 2 ⎟ −⎜ 2 ⎟ =⎜
u−v 
⎜  ⎟ ⎜  ⎟ ⎜
u
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎝ an ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝
Multiplication par un scalaire
⎛ a1 ⎞ ⎛ ka1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
a2 ⎟ ⎜ ka2 ⎟
⎜
k
=
⎜
⎟
⎜  ⎟



⎜
⎟
⎜
⎟
u
ku
⎝ an ⎠ ⎝ kan ⎠
Multiplication scalaire
  
u ⋅v = u ⋅

u
⎛ u1 ⎞ ⎛

⎜
⎟ ⎜
θ
v
⎜  ⎟ ⋅⎜
⎜⎝ un ⎟⎠ ⎜⎝
Multiplication vectorielle
   

u × v = u ⋅ v sin(θ ) n
 
⎛ u1 ⎞ ⎛ v1 ⎞
i
j
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ u2 ⎟ × ⎜ v2 ⎟ = u1 u2
⎜ u ⎟ ⎜ v ⎟
v1 v2
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
Norme d’un vecteur
⎛ u1 ⎞
⎜
⎟
2
2
2
⎜  ⎟ = u1 + u2 + ...+ un
⎜⎝ un ⎟⎠
a1 + b1 ⎞
⎟
a2 + b2 ⎟
⎟

⎟
an + bn ⎠
l'angle entre les deux vecteurs est donnés
 
u ⋅v
par: cos(θ ) =  
u v
Projection
a1 − b1 ⎞
⎟
a2 − b2 ⎟
⎟

⎟
an − bn ⎠


La projection d'un vecteur u sur un vecteur v
 

 u ⋅v 
est donné par: u v = projv u =  2 v
v
()
Les bases
Considérons un ensemble B = {u1 ,u2 ,...,um }
d'un sous-espace vectoriel V alors:

v cos(θ )
B est linéairement indépendant si
λ1u1 + λ2u2 + ...+ λ mum = 0 possède
exactement une solution
v1 ⎞
⎟
 ⎟ = u1v1 + ...+ un vn
vn ⎟⎠
B est générateur de V si pour tout y ∈V,
l'équation λ1u1 + λ2u2 + ...+ λ mum = y
possède au moins une solution.

k
u3
v3
⎛ u2 v3 − u3v2
⎜
= ⎜ u3v1 − u1v3
⎜ u v −u v
2 1
⎝ 1 2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
B est une base, si B est un ensemble
linéairement indépendant et générateur
de V
Sous-espace vectoriels
Un sous-ensemble V de  n est un
sous-espace vectoriel si:
 
 
u + v ∈V pour tout u,v ∈V et


λ u ∈V pour tout u ∈V et λ ∈
Opérations sur les matrices
Addition et soustraction de matrices
⎛ a11 ... a1n
⎜

⎜ 
⎜⎝ am1 ... amn
⎞ ⎛ b11 ... b1n
⎟ ⎜

⎟ ±⎜ 
⎟⎠ ⎜⎝ bm1 ... bmn
⎞ ⎛ a11 ± b11 ... a1n ± b1n
⎟ ⎜


⎟ =⎜
⎟⎠ ⎜⎝ am1 ± bm1 ... amn ± bmn
aLi → Li si a ≠ 0
Li ↔ L j
Multiplication par un scalaire
⎛ a11 ... a1n
⎜
k⎜ 

⎜⎝ am1 ... amn
⎞ ⎛ ka
... ka1n
11
⎟ ⎜

⎟ =⎜ 
⎟⎠ ⎜ kam1 ... kamn
⎝
Multiplication de matrices
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
aLi + bL j → Li si i ≠ j
et a ≠ 0
Le produit est définie seulement lorsque la dimension des matrice
a la forme: Am× p Bp×n = Cm×n dans ce cas, on a:
⎛ a11 ... a1 p
⎜

⎜ 
⎜ am1 ... amp
⎝
⎞⎛ b
... b1n
11
⎟⎜

⎟⎜ 
⎟ ⎜ b p1 ... b pn
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
Méthode de Gauss
Les opérations suivantes sur
les lignes d’une matrice
augmenté ne change pas
l’ensemble des solutions du
système
Li + aL j → Li si i ≠ j
⎞ ⎛ c11 ... c1n
⎟ ⎜

⎟ =⎜ 
⎟⎠ ⎜⎝ cm1 ... cmn
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
carrés de même dimension,
alors
det(AB) = det(A)det(B)
det(AT ) = det(A)
1
det(A −1 ) =
det(A)
p
avec cij = ∑aik bkj
k=1
Transposé d’une matrice
T
Propriétés du déterminant
Si A et B sont des matrices
Si A est une matrice, alors sa transposé (dénoté A ) est la matrice
obtenu en inversant les lignes et les colonnes de A
Normalisation de vecteurs

u

u
Si A est une matrice carré, alors on appelle matrice
Théorème du rang
Si A est une matrice m × n, alors:
inverse (dénoté A −1 ) une matrice tel que
rang(A) + nullité(A) = n
Matrice inverse
AA −1 = A −1 A = I
Base de span, Im et Ker
Si A est une matrice carré, alors la matrice adjointe
dénoté adj(A) est la matrice formé des cofacteurs
Cij sous forme de matrice.
Une base de span est obtenu en applicant
la méthode de Gauss au vecteur placé
horizontalement
Si A est une matrice carré tel que det(A) ≠ 0, alors
1
T
A −1 =
adj(A)] dans le cas d'une matrice
[
det(A)
Une base de ker est obtenu en résolvant le
système d'équation Ax = b
⎛ a b ⎞
2 × 2 on obtient: ⎜
⎝ c d ⎟⎠
−1
1 ⎛ d −b ⎞
=
ad − bc ⎜⎝ −c a ⎟⎠
Un base de Im est obtenu en applicant la
méthode de Gauss à la matrice tranposé
Opérations sur le déterminant
Calcul du déterminant
Li + cL j → Li avec i ≠ j ne change pas la valeur
a b
= ad − bc
c d
du déterminant
Si A est une matrice carré, alors on appelle
mineur de A pour à la position i, j
(dénoté M ij ) le déterminant de la matrice
e
Li ↔ L j avec i ≠ j change le signe du déterminant
cLi → Li multiplie le déterminant par c
e
obtenu en enlevant la i ligne et la j colonne.
Équations d’une droite en 2 dimensions
Si A est une matrice carré, alors on appelle
cofacteur de A pour la position i, j la valeur
Équation fonctionnelle: y = mx + b avec m =
Cij = (−1)i+ j M ij
est la pente et b la valeur initiale
Si A est une matrice carré de dimension n × n
avec n ≥ 3, alors on définit le déterminant
comme étant:
Équation normale: ax + by + c = 0 avec (a,b) un
vecteur normale à la droite
n
det(A) = ∑aik Cik en utilisant la i e ligne
k=1
n
det(A)=∑ akj Ckj en utilisant la j e colonne
Δy
Δx

⎛ x ⎞ 
Équation vectoriel: ⎜
= tv + P avec v un
⎟
⎝ y ⎠
vecteur directeur et P un point de la droite
k=1
Théorème de la matrice inverse
Si A est une matrice de dimension n × n,
alors les énoncés suivant sont équivalent:
(a) La matrice A est inversible
(b) det(A) ≠ 0
(c) ker(A) = {0}
(d) Im(A) =  n
(e) rang(A) = n
(f) nullité(A) = 0
(g) Les colonnes de A forment une base de  n
(h) Ax = b a une unique solution
 ⎛ v1 ⎞
⎧ x = v1t + p1
Équation paramétrique: ⎨
avec v = ⎜
⎟
⎜⎝ v2 ⎟⎠
⎩ y = v2t + p2
⎛ p1 ⎞
un vecteur directeur et ⎜
⎟ un point de la droite.
⎜⎝ p2 ⎟⎠
Équation symétrique:
 ⎛ a ⎞
x − p1 y − p2
=
avec v = ⎜
a
b
⎝ b ⎟⎠
⎛ p1 ⎞
un vecteur directeur et ⎜
⎟
⎜⎝ p2 ⎟⎠
Distance entre un point et une droite en deux dimensions
⎛ p ⎞
Si ax + by + c = 0 est une droite et ⎜
⎟ est un point, alors la plus courte distance entre la droite et le
⎝ q ⎠
point est:
ap + bq + c
a2 + b2
Droites en 3 dimensions
 
Équation vectorielle: x = tv + P, t ∈
Plans en 3 dimensions
! !
!
Équation vectorielle: x = tu + kv, t, k ∈"
⎧ x = tv1 + p1
⎪
Équation paramétrique: ⎨ y = tv2 + p2 , t ∈
⎪ z = tv + p
3
3
⎩
⎧ x = tu1 + kv1 + p1
⎪
Équation paramétrique: ⎨ y = tu2 + kv2 + p2 , t, k ∈"
⎪ z = tu + kv + p
3
3
3
⎩
Équation symétrique:
x − p1 y − p2 z − p3
+
+
v1
v2
v3
⎛ v ⎞
 ⎜ 1 ⎟
avec v = ⎜ v2 ⎟ est un vecteur directeur, et
⎜ v ⎟
⎝ 3 ⎠
⎛ p1 ⎞
⎜
⎟
P = ⎜ p2 ⎟ est un point de la droite.
⎜ p ⎟
⎝ 3 ⎠
Distance entre un point et une droite en 3
dimensions
Si P est un point de la droite, u un vecteur
directeur de la droite, et Q un point
quelconque alors la plus courte distance
entre Q et la droite est donné par:
 
PQ − PQu
Distance entre 2 droites
Pour trouver la distance entre deux droites
parallèles, on trouve la plus courte distance
entre un point de la première droite et le
deuxième droite. Si les deux droites ne sont
pas parallèle, alors on utilise la formule:
  
PQ ⋅ u × v
 
où P est un point de la
u×v
(
)
première droite, Q est un point de la

deuxième droite, u est un vecteur directeur

de la première droite, et v un vecteur
directeur de la deuxième droite.
Équation normale: ax + by + cz + d = 0
⎛ u ⎞
⎛ v ⎞
! ⎜ 1 ⎟ ! ⎜ 1 ⎟
avec u = ⎜ u2 ⎟ , v = ⎜ v2 ⎟ sont des vecteurs
⎜ u3 ⎟
⎜ v3 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
directeurs
⎛ a ⎞
!
n = ⎜ b ⎟ est un vecteur normal et
⎜
⎟
⎝ c ⎠
⎛ p1 ⎞
⎜
⎟
P = ⎜ p2 ⎟ est un point de la droite.
⎜ p3 ⎟
⎝
⎠
Distance entre un point et un plan
⎛ p ⎞
Si ax + by + cz + d = 0 est un plan et P = ⎜⎜ q ⎟⎟ est
⎜⎝ r ⎟⎠
un point de la droite, alors la plus courte distance
entre le plan et le point est donné par:
ap + bq + cr + d
a2 + b2 + c2
Quelques propriétés de l’inverse et transposé
(AT )T = A
(A + B)T = AT + BT
(AB)T = BT AT
(A −1 )−1 = A
(AB)−1 = B −1 A −1