Algèbre Algèbre générale - Nombres complexes et angles : a; b; c alignés ssi arg( cb a a) - Th de d’Alembert-Gauss et factorisation, cas de X n 1 et de 1 + X + ::: + X n - Si a racine de P d’ordre m = 0 [ ], ssi (b 1, alors a racine de P 0 d’ordre (m a)(c a) 2 R ssi Im((b a)(c a)) = 0: 1: 1): - Racines des polynômes (réels : étude de fonctions). Si P scindé (à racines simples) dans R[X], P 0 l’est aussi. - Théorème de d’Alembert Gauss. Polynômes irréductibles dans R[X]: - Polynômes de Tchebytchev : Tn (cos ) = cos(n ) : Deux preuves : Moivre et par récurrence. - Complément : Décomposition en éléments simples d’une fraction (avec des pôles simples). Algèbre linéaire - Théorème du rang et ses corollaires : dim u(F ) = dim F dim(Ker u \ F ), rg(u v) = rg(v) - Familles libres, caractérisation des bases, familles de polynômes de degrés échelonnés. dim(Ker u \ Im v): - Matrice équivalentes : A = QJr P: Exemple : Etude du rang de Mn (K) ! Mn (K) M 7 ! AM: - Les formes linéaires sur K n sont les X 7 ! t ZX. Les formes linéaires sur Mn (K) sont les M 7 ! tr(AM ): - Endomorphismes dans Rn [X]. Conservation du degré, abaissement du degré (par exemple P 7 ! P (X +1) P (X)). Réduction des endomorphismes - Endomorphismes commutants : si u et v commutent, alors les sev propres E de u sont stables par v (la réciproque est vraie si les endomorphismes sont diagonalisables). Remarque : Des endomorphismes tri(dia)gonalisables sont cotri(codia)gonalisables ssi ils sont commutent. - Toute matrice réelle A peut être vue dans Mn (C) : il existe Z = X + iY non nul et 2 C tels que AZ = Z. - Polynômes annulateurs scindés (on se place souvent dans C : trigonalisation dans Mn (C)). Exemple : Si A 2 Mn (R) véri…e A2 = I2 , tr A = 0: - Remarque culturelle : Deux matrices réelles semblables dans Mn (C) sont semblables dans Mn (R). - Polynômes d’une matrice diagonalisable, utilisation de l’interpolation de Lagrange Exemple : Si A 2 Mn (R) diagonalisable, il existe P 2 R[X] tel que P (A)3 = A : On choisit P tel que P ( ) = 1=3 - Projecteurs : caractérisation p p = p, propriété utile : tr p = rg p. - Sev stables, la restriction d’un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable. Les droites stables sont les droites dirigées par un vecteur propre (il y en a une in…nité lorsque dim E - Equation d’un hyperplan de Rn 2). : hZ; Xi = 0, avec Z vecteur non nul et h ; i produit scalaire canonique. Recherche des hyperplans stables : 8X, hZ; Xi = 0 ) hZ; AXi = 0 ssi Z est vecteur propre de t A. - Matrices nilpotentes, caractérisations : An = On , Sp(A) = f0g dans Mn (C), tr(Ak ) = 0 pour tout k 2 N : Algèbre bilinéaire - Le produit scalaire sur Rn est hX; Y i = X T Y . Si Z unitaire, la matrice ZZ T est la matrice de la projection orthogonale sur RZ, car Z(Z T )X = hZ; Xi Z: - Le produit scalaire canonique sur Mn (R) est hA; Bi = tr(AT B): - Procédé de Gram-Schmidt. Polynômes orthogonaux. - Diagonalisation des endomorphismes et matrices réelles symétriques ; sup (Sp u) = supx6=0 - Endomorphismes antisymétriques : 8x; hx; u(x)i = 0 ssi 8(x; y), hx; u(y)i = hu(x); yi : ku(x)k : kxk - Distance d’un point à un sev pour une norme euclidienne. Applications à certains problèmes de minimisation. :