Fractions - Maths

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11 septembre 2001
I- Fractions
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers relatifs :
a
avec b  0
a est le numérateur et b est le dénominateur
b
Une fraction peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre
63
7×9
7
7
non nul.
=
=
est une fraction irréductible.
108 12 × 9 12
12
S'il n'est pas possible de trouver un diviseur commun, la fraction est irréductible.
Un rapport ou une forme fractionnaire est le quotient de deux nombres réels.
a
L'écriture n'a aucun sens.
0
Le quotient du nombre a par le nombre b non nul est le nombre c tel que :
a
=c
signifie
a=b×c
b
Si a, b, c et d représentent des nombres réels non nuls
a c
=
signifie
a×d=b×c
b d
a d
= est une proportion. Les réels a et d sont nommés "les extrêmes" de la proportion.
b c
Les réels b et c sont nommés "les moyens" de la proportion.
Addition
réduire les fractions
au même dénominateur
a c a+c
+ =
b b
b
Multiplication
multiplier les numérateurs
et les dénominateurs entre eux
a
b a d
= 
c b c
d
a c ac
 =
b d bd
a c ad + bc
+ =
b d
bd
Égalité de fractions
Division
multiplier le numérateur
par l'inverse du dénominateur
a c
a c a+c a–c
Si =
alors = =
=
b d
b d b+d b–d
II- Puissances
On nomme puissance d'exposant n du réel a, le produit de n facteurs égaux à a.
a n = a a ...  a.
a1 = a
an  ap = an+p
Propriétés Soient n et p deux entiers relatifs
a–
n
=
1
an
avec a  0
on obtient l'expression :
Convention : a 0 = 1
( ab ) n = a n × b n
an
= an–p
ap
( a n)p = a n×p
a
 
b
n
=
an
bn
avec a  0
an  a– n = an– n = a0
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an  a– n =
an
=1
an
avec b  0
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Calculatrice
Pour le calcul d'un carré (puissance 2) ou d'un cube (puissance 3), on utilise les touches x2 et x3 .
Pour les puissances supérieures, on utilise la touche ^ ou xy .
8 ^
6 =
8 xy 6 =
ou
pour
8 6 = 262 144
Puissance de dix
10 n = 10…0
Soit n un entier naturel
10
–n
n zéros
= 0,0…1
n chiffres après la virgule
Calculatrice : on utilise les touches ×10n ou EE ou EXP.
Écriture scientifique
Tout nombre réel peut s'écrire sous forme d'écriture scientifique :
a  10n
avec
1  a < 10
et
n entier relatif
La notation scientifique d'un nombre facilite l'estimation d'un résultat dans les calculs.
Par exemple : a = 0,039 et b = 0,0000028
a
= Error! = Error! .10 – 2 +6 = Error!10 4
b
Multiple et sous multiple (application 3 p24)
Préfixe
déca
hecto
kilo
méga
giga
téra
péta
exa
MULTIPLES
Symbole
Facteur
da
h
k
M
G
T
P
E
SOUS-MULTIPLES
Symbole
d
c
m

n
p
f
a
Préfixe
déci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
Facteur
L'écriture ingénieur utilise les facteurs grisés de 1000 en 1000 (l'exposant varie de 3 en 3).
Exemple : 150 000 000 W = 150 . 10 6 W = 150 MW
Application : conversion des unités d'aire et de volume
Convertir 45 km2 en m2
1 km = 103 m d'où
1 km2 = (103)2 m2 = 106 m2
soit
45 km2 = 45 . 106 m2
Convertir 540 mm3 en m3
1 mm = 10 – 3 m
d'où
1 mm3 = (10 – 3) 3 = 10 – 9m3
soit
540 mm3 = 540 . 10 – 9 m3
si n pair
alors
an > 0
si n impair
alors
an < 0
Signe d'une puissance entière
Si a  0
alors
Si a  0
2 cas se présentent
an > 0
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III- Racine carrée
La racine carrée d'un réel positif x est le réel positif noté x, dont le carré est x.
y= x
équivaut à
y2 = x
avec x et y des réels positifs
Remarque : Il n'existe aucun rationnel dont le carré est égal à 2.
Cependant le réel 2 existe tel que ( 2)2 = 2. Le réel 2 est un nombre irrationnel.
Propriétés (application 8,9,10,11 p15)
Soient a et b deux nombres réels positifs
a2 =
2
a

b
ab  a  b
a =a
a
b
Application :
Simplification sous un radical
98  49  2  49  2  7 2  2  7 2
98  49  2  7 2  2  7 2
ou
Rendre rationnel un dénominateur
21
= Error! = Error! = 7 Error!
3
IV- Encadrement et approximation
Inégalités
< se lit « strictement inférieur à » ;
> se lit « strictement supérieur à » ;
 se lit « inférieur ou égal à » ;
 se lit « supérieur ou égal à ».
a < 0 signifie « a est négatif » ;
a < 0 signifie « a est positif » ;
a  0 signifie « a est négatif ou nul » ;
a  0 signifie « a est positif ou nul ».
Le réel a est inférieur ou égal au réel b si le réel (b – a) est positif : a  b si b – a  0.
Le réel a est supérieur ou égal au réel b si le réel (b – a) est négatif : a  b si b – a  0.
Propriétés : quels que soient les réels a, b, c et d :
a<b
équivaut à
a+c<b+c;
a < b et c < d
équivaut à
a < b et c > 0 alors
ac  bc
0<ab
alors
a < b et c < 0 alors
ac > bc
Exemple :
–4x>5
l'inégalité change de sens
équivaut à
x<–
Valeur absolue
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5
4
1 1

a b
a+cb+d;
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La valeur absolue du nombre réel x est le plus grand des nombres x ou – x.
La valeur absolue du réel x est le réel positif noté | x |.
Si x  0 alors | x | = x ;
Si x < 0 alors
|x|=–x
Remarque : | b - a | représente la distance entre deux points A et B d'abscisse a et b sur un
axe.
AB = | b - a |
Intervalles
[ a , b ] signifie a  x  b et se lit « intervalle fermé ab » ;
] a , b [ signifie a < x < b et se lit « intervalle ouvert ab » ;
b – a est l'amplitude de l'intervalle
+  se lit « plus l'infini » ; –  se lit « moins l'infini ».
[ a , +  [ signifie x  a ;
] –  , a [ signifie x < a
Encadrement
On effectue un encadrement du réel x, si on détermine le couple de réels ( a , b ) tel que:
a  x  b
Encadrement d'une somme
On encadre chaque terme de la somme à l'aide d'inégalités de même sens.
On additionne "membre à membre" les inégalités obtenues en conservant leur sens.
a < x < a' et b < y < b'
alors a + b < x + y < a' + b'
et
a - b < x - y < a' - b'
Encadrement d'un produit
On s'assure que les termes du produit sont positifs.
On multiplie "membre à membre" les inégalités de même sens obtenues.
0 < a < x < a' et 0 < b < y < b'
alors ab < xy < a'b'
Approximation
L'approximation peut être :
- la valeur approchée par défaut (la troncature) ;
- la valeur approchée par excès ;
- la valeur arrondie (la valeur la plus proche).
On choisira la valeur arrondie si rien n'est précisé.
Dans la plupart des calculs, 3 chiffres significatifs suffisent.
Méthode : on effectue un encadrement de x à la précision 10 n désirée :
a  10 n  x  (a + 1)  10 n
n
a  10 est la valeur approchée par défaut ou troncature ;
(a + 1)  10 n est la valeur approchée par excès
La valeur arrondie dépend du chiffre qui suit :
- pour les cinq premiers chiffres 0, 1, 2, 3, 4, c'est la valeur par défaut ;
- pour les cinq derniers 5, 6, 7, 8, 9, c'est la valeur par excès.
Exemple : Le nombre affiché par la calculatrice est 3,141 529 654.
3,141    3,142
soit
3141  10 – 3    3142  10 – 3
–3
 .3,142 à 10 prés par excès.
  3,141 à 10 – 3 prés par défaut.
La valeur arrondie de  à 10 – 3 prés est 3,142.
V- Utilisation de formules
Les formules que l'on utilise en sciences et dans le domaine technologique sont des expressions
littérales.
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L'application numérique d'une formule consiste à :
- remplacer chaque lettre par la valeur numérique correspondante ;
- effectuer le calcul en respectant les priorités des opérations.
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FRACTIONS
a c a+c
+ =
b b
b
a c ac
 =
b d bd
avec b  0
a c ad + bc
+ =
b d
bd
avec b  0 et d  0
a
b a d
= 
c b c
d
avec b  0 et d  0
avec b  0 , c  0 et d  0
PUISSANCES
a n = a a ...  a.
an  ap = an+p
a0 = 1
a1 = a
a –n =
( a n)p = a n×p
a
an
( )n = n
b
b
ab ) n = a n × b n
avec b  0
1
an
an
= an–p
ap
ÉCRITURE SCIENTIFIQUE D'UN NOMBRE
a  10n avec
1  a < 10
et
n entier relatif
RACINE CARRÉE
y= x
équivaut à
y2 = x
avec x et y des réels positifs
Soient a et b deux nombres réels positifs
a2 =
2
a =a
a

b
ab  a  b
ENCADREMENT ET INTERVALLE
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a
b
avec a  0
avec a  0
(