Exercice

Exercice
1°) a- Donner la liste de tous les diviseurs de 54, puis de 45.
b- Donner le liste de tous les diviseurs communs à 54 et 45.
c- Donner le pgcd de 54 et 45.
2°) a- En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le pgcd de 3740 et 3570.
3740
b- Simplifier la fraction
3570
3°) Trouver deux nombres, inférieurs à 100, qui soient premiers avec 12 et avec 55 et qui soient divisible par 13
Correction
1.a.
54 = 1  54
54 = 2  27
54 = 3  18
54 = 6  9
45 = 1  45
45 = 3  15
45 = 5  9
54 = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54}
45 = {1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45}
1.b.
54  45 = {1 ; 3 ; 9}
1.c.
pgcd(54;45) = 9
2.a.
3740 = 3570 x
3570 = 170 x
1 +
21 +
170
0
2.b.
pgcd(3740 ; 3570) = 170
3740 170  22 22


3570 170  21 21
3.
Les multiples de 13 inférieurs à 100 sont :
= 13  IN<100 = {0 ; 13 ; 26 ; 39 ; 52 ; 65 ; 78 ; 91}
Soit  l'ensemble des nombres de  qui sont premiers avec 12 = 2²  3
(C'est-à-dire ceux qui ne sont divisibles ni par 2, ni par 3)
 = {13 ; 65 ; 91}
Soit  l'ensemble des nombres de  qui sont premiers avec 55 = 5  11
(C'est-à-dire ceux qui ne sont divisibles ni par 5, ni par 11)
 = {13 ; 26 ; 39 ; 52 ; 78 ; 91}
L'ensemble solution  est l'intersection de ces deux derniers ensembles.
 =    = {13 ; 91}