Systèmes d`Equations : Résolution de Problèmes

Aide-Mémoire n° 36
Aide- Mémoire n° 36
SAVOIR ETABLIR UN SYSTEME D’EQUATIONS
SAVOIR ETABLIR UN SYSTEME D’EQUATIONS
ENONCE
ENONCE
Un rectangle a un périmètre de 24 cm. Si l’on augmente sa longueur de
2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire augmente de 37 cm 2.
Un rectangle a un périmètre de 24 cm. Si l’on augmente sa longueur de
2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire augmente de 37 cm 2.
Calculer les dimensions du rectangle.
Calculer les dimensions du rectangle.
SOLUTION
SOLUTION
1. Choix des inconnues
1. Choix des inconnues
Soit x la longueur du rectangle et y la largeur (exprimées en cm).
Soit x la longueur du rectangle et y la largeur (exprimées en cm).
2. Mise en équations du problème
2. Mise en équations du problème
2 ( x + y ) = 24
« Un rectangle a un périmètre de 24 cm »
2 ( x + y ) = 24
« Un rectangle a un périmètre de 24 cm »
« Si on augmente sa longueur de 2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire
augmente de 37 cm 2 »
( x + 2 )( y + 3 ) = x y + 37
« Si on augmente sa longueur de 2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire
augmente de 37 cm 2 »
( x + 2 )( y + 3 ) = x y + 37
On développe, puis on simplifie les équations :
On développe, puis on simplifie les équations :
2 (x + y ) = 24
x + y = 12
x y + 2 y + 3 x + 6 = x y + 37
3 x + 2 y = 31
3. Résolution du système
D’où le système à 2 inconnues :
y = 31
{ x + y = 12;3 x + 2 (–2)
{ – 2 x – 2 y = – 24; 3 x
2 (x + y ) = 24
x + y = 12
x y + 2 y + 3 x + 6 = x y + 37
3 x + 2 y = 31
3. Résolution du système
{x+
y = 12; 3 x + 2 y = 31
soit
+ 2 y = 31
D’où le système à 2 inconnues :
y = 31
{ x + y = 12;3 x + 2 (–2)
{ – 2 x – 2 y = – 24; 3 x
{x+
y = 12; 3 x + 2 y = 31
soit
+ 2 y = 31
On additionne membre à membre…………….– 2 x + 3 x = – 24 + 31
On additionne membre à membre…………….– 2 x + 3 x = – 24 + 31
On détermine x …………………………………………..… x = 7
On détermine x …………………………………………..… x = 7
On calcule ensuite facilement y …………………………. y = 5.
On calcule ensuite facilement y …………………………. y = 5.
Le système admet une solution : le couple ( 7 ; 5 ).
Le système admet une solution : le couple ( 7 ; 5 ).
4. Conclusion
4. Conclusion
Le rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur 5 cm.
Le rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur 5 cm.
Une vérification du périmètre par un calcul rapide donne effectivement 24 cm.
Une vérification du périmètre par un calcul rapide donne effectivement 24 cm.