Geoplan - Mathématiques journées d`animation pédagogique 2011

14/06/17
Des activités utilisant le logiciel Geoplanw
F. MOLLET PETIT Académie de Strasbourg
Les quatre premières séquences qui suivent utilisent l’ordinateur comme tableau interactif en salle de classe, la
dernière est à réaliser en salle informatique.
Elles correspondent à des activités que la plupart des enseignants proposent habituellement à leurs élèves sans
ordinateur, mais nous verrons à travers les différents exemples, ce qu’apporte le logiciel Geoplanw.
Un autre logiciel de dessin aurait pu être utilisé (CabriII, par exemple), mais la réalisation des fichiers aurait été
plus complexe (appel à des macros logiques).
Périmètre et aire d’un rectangle
Niveau : Cinquième.
Type d’utilisation : ordinateur « Tableau interactif » en salle de classe.
Matériel : un ordinateur muni d’un dispositif de visualisation collective
le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw.
Organisation et déroulement de la séance
Fichier utilisé : RECTPA.
Notions étudiées : équations et tests, exemples de fonction, problèmes de formats.
Durée : 2 heures.
A
1. Travail collectif
Le professeur montre sur écran, un rectangle ABCD dont la longueur
et la largeur sont affichées (appui sur la touche V).
Il modifie au clavier le rectangle et demande aux élèves de conjecturer
le lien entre longueur et largeur de tous ces rectangles : la longueur
mesure 2 cm de plus que la largeur. Tous les rectangles étudiés dans
cette activité auront cette propriété.
D
B
C
2. Travail individuel
Le professeur répartit le travail dans la classe, par binôme. Il fait construire, par chaque binôme, sur une feuille
A4, un rectangle dont la longueur mesure 2 cm de plus que la largeur (il donne des largeurs allant de 1 cm à 7
cm, avec un pas de 0,5) et demande de calculer la longueur, le périmètre et l’aire du rectangle obtenu.
3. Travail collectif
Les élèves affichent leurs productions sur un mur de la classe (par ordre croissant des largeurs), et complètent un
tableau préparé par l’enseignant donnant les longueurs, largeurs, périmètres et aires de leurs rectangles.
La correction se fait à l’écran (appui sur les touches I, P, A, T, T, …).
4. Travail collectif
 Le professeur demande aux élèves de trouver un rectangle de périmètre 27 cm. Les élèves ont recours aux
productions affichées pour conjecturer que sa largeur est comprise entre 5,5 cm et 6 cm.
 Le professeur montre à l’écran le rectangle de 5.5 cm de largeur (appui sur les touches A et 1), puis le
modifie au clavier. Cela permet de réduire l’intervalle pour la largeur : entre 5.7 cm et 5.8 cm .
 On recommence en partant du rectangle de largeur 5.7 cm (appui sur la touche 2), en diminuant le pas
(0.0125).
Surprises : pour des mêmes valeurs affichées de AD (5.7) le périmètre affiché du rectangle peut être différent,
pour deux valeurs différentes affichées (5.7 et 5.8) le périmètre affiché est le même (27) ! Les résultats obtenus
sont manifestement incohérents. On peut d’ailleurs le vérifier en pratiquant des tests (utilisation d’une des
formules donnant le périmètre d'un rectangle en fonction de sa longueur et de sa largeur ).
L’explication est rapidement trouvée : les affichages ont un chiffre après la virgule, alors qu’il en faudrait
davantage. Le professeur modifie l’affichage en mettant deux chiffres après la virgule (modifications de Af1,
Af3, Af4). La valeur 5.75 de la largeur semble donner un rectangle de périmètre de 27 cm. La vérification par
écrit le confirme.
Remarque : certains élèves peuvent trouver la largeur cherchée par soustraction et division : (27  4) : 4. La
méthode est à envisager, de toutes façons, pour conclure : la justification se fait en marquant les points E et F de
[AB] et [DC] tels que EB = FC = 2 cm (appui sur la touche D).
1
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5. Travail individuel
Le professeur demande aux élèves de trouver un rectangle dont l’aire est égale à 131,25 cm 2.
Ici, les élèves ne peuvent exhiber de formule pour trouver la réponse. Ils cherchent la solution au problème
(10.5) comme précédemment.
Apports du logiciel
 Il a aidé l’élève, dès le début de l’activité, à comprendre et à s’approprier la situation qui lui était
proposée.
 Il a permis un traitement dynamique du problème, en étant un outil d’exploration.
 Rapidement , les élèves ont pu conjecturer que 5,75 cm était la largeur du rectangle de périmètre 27 cm. (Si
le travail avait été demandé sans ordinateur, beaucoup d’élèves auraient abandonné, même avec la
calculatrice.) L’objectif était d’aborder la notion d’équation par la pratique de tests sur des égalités
comportant deux nombres indéterminés.
 La notion de fonction a aussi été approchée (visuellement et par la réalisation d’un tableau de valeurs).
 S’est imposé, de plus, le fait de vérifier des calculs affichés, donc de se méfier aussi des affichages sur
calculatrice (problèmes de formats).
Suite de ce travail
Le professeur peut proposer de trouver des formules pour la longueur, le périmètre et l’aire des rectangles en
fonction de leur largeur.
 Différentes formules seront obtenues dans la classe ; il faudra les comparer . Ce sera l’occasion de faire un
travail d’approche de la notion d’identité (utilisation d’un tableur, justifications géométriques, utilisation de
la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, nombre d’opérations à effectuer pour chaque
formule, rapidité du calcul …).
 De nouveaux problèmes pourront alors être proposés conduisant cette fois à des équations ne comportant
qu’un nombre indéterminé. Des solutions seront trouvées par tests.
Construction d’un octogone
Niveau : Troisième.
Type d’utilisation : ordinateur « Tableau interactif » en salle de classe.
Matériel : un ordinateur muni d’un dispositif de visualisation collective
le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw.
Organisation et déroulement de la séance
Fichiers utilisés : OCTOG, OCTOGONE
Notion étudiée : la rotation.
Durée : 1 heure.
A
H
B
G
C
F
E
D
1. Travail collectif puis individuel
Le professeur montre sur écran, un octogone régulier ABCDEFGH (fichier OCTOG) et demande aux élèves
d’en construire un, sur feuille, de 4 cm de côté.
Différentes méthodes sont proposées , O étant son centre :

triangle AOB, puis cercle de centre O passant par A et reports de longueur : il faut connaître l’angle BAO ;

triangles AOB, BOC, … : il faut aussi connaître l’angle BAO ;

points C, D, … : il faut connaître l’angle ABC …
Les angles BAO, ABC sont affichés (appui sur les touches T ou R), les valeurs sont justifiées, et les élèves font
leur construction.
2. Travail collectif
Les productions des élèves ne sont pas précises : les octogones obtenus ne sont pas réguliers.
Le professeur propose aux élèves de faire la construction à l’ordinateur. Il a marqué les points A et B (fichier
OCTOGONE), et leur montre le menu CREER Point où figure le sous-menu Point image … par une rotation
(angle mesuré).
Il construit devant eux, en écoutant leurs propositions les points C et D. Puis, en appuyant sur la touche P de
dessin par étapes, il fait apparaître successivement les points D, E, F, G, H en leur demandant pour chaque point,
comment il les a construit.
Apports du logiciel
 Il a permis une construction exacte.
 La rotation est apparu comme un outil pour la construction. Sur papier, il n’était pas nécessaire d’en parler.
2
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Milieux et cordes
A
Niveau : Quatrième.
Type d’utilisation : ordinateur « Tableau interactif » en salle de classe.
Matériel : un ordinateur muni d’un dispositif de visualisation collective
le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw.
Organisation et déroulement de la séance
Fichiers utilisés : MILCORD1, MILCORD2, MILCORD3, MILCORD4, MILCORD5.
Notions étudiées : la droite des milieux d’un triangle - triangle rectangle et cercle.
Durée : 2 heures.
P
M
1. Travail collectif
Le professeur montre sur écran, un cercle de centre O et de rayon 6 cm, deux
points A et M du cercle et le milieu P de [AM] (fichier MILCORD1).
Il se met en mode Trace. Il laisse le point A fixe et pilote le point M avec la
souris. Il demande de conjecturer sur quelle ligne se trouve le point P.
Les élèves parlent immédiatement de cercle. Des précisions leur sont
demandées : comment caractériser ce cercle ?
A
I
P
 Par son centre et son rayon : les élèves donnent pour centre le milieu de
[AO] et pour rayon 3 cm. Se pose la question : comment le vérifier ?
Le professeur trace [AO], marque le milieu I de [AO] (appui 2 fois sur la touche
1), puis trace [IP] et affiche IP, en cm (appui 2 fois sur la touche 1). En pilotant
le point M avec la souris, IP semble toujours égal à 3.
De plus une figure clé pour la démonstration est apparue (appui 3 fois sur la
touche 1).

O
O
M
A
Par un diamètre : les élèves donnent le diamètre AO. Ils savent que si
l’angle APO est droit, le cercle de diamètre AO passe par P. Le professeur trace
P
l’angle APO , affiche sa mesure en ° (appui 3 fois sur la touche 2) et pilote le
O
point M avec la souris. La mesure de APO semble toujours être égale à 90.
M
2. Travail individuel
Le professeur pose le problème suivant, au brouillon.
Soient un cercle de centre O et de rayon 6 cm, deux points A et M du cercle,
P le milieu de [AM], I celui de [AO]. Démontrer que IP = 3 cm. (Trouver
deux démonstrations.)
3. Travail collectif
La correction est faite à l’écran. Les figures clés des deux démonstrations sont sorties (fichiers MILCORD2 et
MILCORD3 mis en mosaïque pour l’utilisation du théorème de la droite des milieux, fichiers MILCORD4 et
MILCORD5 mis en mosaïque pour l’utilisation du théorème sur triangle rectangle et cercle circonscrit). Au fur
et à mesure, on écrit au tableau, hypothèses et théorème utilisés, ainsi que la conclusion.
Les élèves recopient sur leur cahier.
Apports du logiciel
 Il a aidé l’élève, dès le début de l’activité, à comprendre et à s’approprier la situation qui lui était
proposée.
 Il permet de mieux comprendre les caractérisations d’un cercle (ce n’est pas uniquement un « rond »).
 Il est générateur de pensée : les questions posées à propos des caractérisations du cercle, amènent tout
naturellement les figures clés pour les démonstrations.
 Les élèves comprennent mieux les règles du jeu de la démonstration en voyant les figures clés
successivement.
3
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Lien entre deux angles
D’après un exemple proposé dans la brochure du Ministère de l’Education Nationale : Geoplan version 2 avec
des exemples pour le collège et le lycée.
Niveau : Troisième.
Type d’utilisation : ordinateur « Tableau interactif » en salle de classe.
Matériel : un ordinateur muni d’un dispositif de visualisation collective
le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw.
Organisation et déroulement de la séance
Fichier utilisé : ANGS.
Notions étudiées : angle inscrit, fonction affine, lecture graphique.
Durée : 2 heures.
A
M
I
1. Travail collectif
Le professeur montre sur écran, un cercle
de centre I, un triangle AIB équilatéral et
un point M sur le cercle différent de A et
de B.
Modifiant au clavier le point M,
l’enseignant demande, pour chaque
position, d’estimer les mesures des angles
B
MAB et MBA (prendre des points M sur
chacun des arcs AB). La vérification se
fait par appui sur la touche V.
2. Travail individuel


Sur papier, les élèves reproduisent le triangle équilatéral dans un cercle de 5 cm de rayon.
L’enseignant cache, sur l’écran, le point M et le triangle MAB (appui sur les touches T, M et I) et affiche les
valeurs de MAB et MBA ; il demande aux élèves de dessiner le triangle MAB correspondant. La vérification se
fait à l’écran, par appui sur la touche M.
 Une feuille est distribuée (voir annexe 1) (les vérifications se font par appui sur les touches 1, 2, 3, 4).
3. Travail individuel

Les constructions précédentes faisant apparaître les points M sur le petit arc ou le grand arc AB,
l’enseignant demande de trouver, en regardant uniquement les valeurs de MAB et MBA, un moyen de savoir sur
quel arc se trouve le point M ; une exploration est faite sur ordinateur. Une conjecture est faite rapidement
(somme des deux angles égale à 150° ou 30°). La justification est demandée .

Les élèves ont à représenter, dans un repère orthonormé (unité : 2 cm pour 10°), la mesure de l’angle MBA
en fonction de la mesure de l’angle MAB dans les deux cas si ils existent (point M sur le petit arc ou le grand arc
AB). La vérification est faite sur ordinateur, en appuyant sur la touche R, le point N ayant pour coordonnées
(MAB, MBA).
150
4. Travail collectif
M
100
I
A
50
N
B
O
4
100
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Sur l’écran, apparaît le cercle avec un triangle MAB, ainsi que le graphique et le point N correspondant. Les
mesures des angles sont cachées ; l’enseignant en demande une valeur approchée à 5° près (les élèves ont
recours soit au triangle MAB, soit au graphique : pour faciliter la lecture graphique, des segments ont été tracés
sur les axes). Suit la vérification (appui sur la touche V). D’autres cas sont envisagés.
5. Travail individuel
Une feuille est distribuée aux élèves, reproduisant plusieurs écrans comme précédemment (voir annexe 2).
Aucun ne comporte les mesures des angles, mais il est précisé que les mesures choisies sont toutes multiples de
10. Le point M et le triangle ABM ont été effacés ; dans chaque cas, il est demandé aux élèves de construire
précisément le triangle ABM (lecture graphique) (les vérifications se font par appui sur les touches 5, 6, 7).
Apports du logiciel
 Il a aidé l’élève, dès le début de l’activité, à comprendre et à s’approprier la situation qui lui était
proposée.
 Il a permis un traitement dynamique du problème, en étant un outil d’exploration.
 Il a permis de travailler dans plusieurs cadres (géométrique, numérique, graphique).
 Des lectures graphiques étant demandées, pour une meilleure compréhension, le principe de la
représentation graphique a été illustré par des segments dessinés sur les axes.
 L’enseignant a pu réaliser rapidement un document dans lequel il a inséré des copies d’écran.
Carrés ?
D’après un exemple proposé dans la brochure du Ministère de l’Education Nationale : Geoplan version 2 avec
des exemples pour le collège et le lycée.
Niveau : Sixième.
Type d’utilisation : en salle informatique.
Matériel : un ordinateur par groupe de deux élèves
le logiciel de géométrie dynamique Geoplanw, avec un menu simplifié.
Organisation et déroulement de la séance
Fichier utilisé : CARRE.
Notions étudiées : constructions de parallèles et de perpendiculaires, distinction entre figure et dessins associés.
Durée : 2 heures.
Dans cette séquence, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, le quadrilatère EFGH est un trapèze de
bases EH et GF, rectangle en G. L’appui sur la touche I permet de retrouver l’écran initial.
Le professeur distribue la fiche élève suivante.
1. Ouvrir le fichier CARRE.
L’écran présente deux dessins de quadrilatères ABCD et EFGH. Vous avez ci-dessous, une copie d’écran. Ces
deux dessins sont-ils superposables ? Vous pouvez déplacer, à la souris, les points C et G, ils sont mobiles (Les
points A, B, E et F sont fixés. ).
D
C
H
G
A
B
E
F
2. En fait, les points D et H ont été obtenus comme points d’intersection de droites particulières : des parallèles
ou des perpendiculaires définies à l’aide des points A, B, C, E, F, G.
a) Construire un point D’ tel que si on déplace le point C, D’ coïncide toujours avec D. Recopier, sur feuille,
le programme de construction de D’.
b) Construire un point H’ tel que si on déplace le point G, H’ coïncide toujours avec H. Recopier, sur feuille,
le programme de construction de H’.
3. Tracer sur papier un segment AB de 6 cm. Choisir un point C.


Construire le point D’ en suivant le même programme de construction que sur l’ordinateur. Tracer le
quadrilatère ABCD’.
Qu’aurait- il fallu écrire de plus dans le programme de construction pour que le quadrilatère soit un
carré ?
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4. Tracer sur papier un segment EF de 6 cm. Choisir un point G.
 Construire le point H’ en suivant le même programme de construction que sur l’ordinateur. Tracer le
quadrilatère EFGH’.
 Qu’aurait- il fallu écrire de plus dans le programme de construction pour que le quadrilatère soit un
carré ?
Apports du logiciel
 Il permet d’établir le rapport entre l’objet géométrique mathématique et les dessins qui le représentent.
 Il permet de faire une exploration pour mettre en évidence des relations entre les éléments d’une figure.
Conclusion
Pour toutes ces activités, le logiciel de dessin est un outil au même titre que la calculatrice, le rétroprojecteur …
Il permet de donner du sens aux situations proposées, de mieux comprendre ou faire apparaître l’utilité de
certaines notions mathématiques, de faire des explorations dynamiques, de vérifier des résultats …
L’utilisation d’un tel outil ne supprime nullement la nécessité d’un travail écrit de la part des élèves ; au
contraire, elle permet à l’enseignant d’être exigeant sur la qualité des rédactions demandées.
6
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Annexe 1
Activité « Lien entre deux angles »
Dans chacun des cas ci-dessous, placer le point M sur le cercle avec l’indication donnée pour MAB et
MBA.
Cas n° 1 : MAB = 130 ° et MBA = 20 °
Cas n° 2 : MAB =30 ° et MBA = 120 °
I
I
A
A
B
B
Cas n° 3 : MAB = 15 ° et MBA = 15 °
Cas n° 4 : MAB =10 ° et MBA = 20 °
I
I
A
A
B
B
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Annexe 2
Dans chacun des cas ci-dessous, placer le point M sur le cercle sachant que le point N a pour
coordonnées (MAB ; MBA). Les coordonnées à lire sont des multiples de 10.
150
100
I
N
A
50
O
B
50
100
150
50
100
150
50
100
150
150
N
100
I
A
50
O
B
150
100
I
A
50
N
O
B
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