Chapitre 1.2 – Identités trigonométriques Le théorème de Pythagore Le théorème de Pythagore démontre que dans un triangle rectangle ABC quelconque, le carré de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit, C) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (A et B) : A2 + B 2 = C 2 où A : Longueur du côté « A » du triangle rectangle. B : Longueur du côté « B » du triangle rectangle. C : Longueur du côté « C » (hypoténuse) du triangle rectangle. C A Triangle ABC B 1 Preuve : À l’aide de 4 triangles rectangles ABC identiques quelconque, construisons un carré dont chaque côté possède une largeur de A+B : B A A C B C Carré côté A+B C B C A A L’aire du triangle ABC est égale à : Airetriangle ABC = AB 2 B L’aire du carré de côté A+B est égale à : Airecarré A + B = ( A + B ) L’aire du carré de côté C est égale à : Airecarré C = C 2 2 = A 2 + 2 AB + B 2 L’aire du carré de côté C peut être également calculée de la façon suivante : Airecarré C = Airecarré 1 A+B − 4 Airetriangle ABC ⇒ AB Airecarré C = A 2 + 2 AB + B 2 − 4 2 ⇒ Airecarré C = A 2 + B 2 ⇒ C 2 = A2 + B 2 ■ ( ) Cette preuve est une référence du site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1 Le théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique Puisque le cercle trigonométrique possède un rayon de « 1 » unité, tous les points situés sur le cercle peuvent former un triangle rectangle dont l’hypoténuse vaut « 1 » unité. Avec la fonction cosinus qui mesure la base du triangle (axe x) et la fonction sinus qui mesure la hauteur du triangle (axe y), nous pouvons affirmer avec le théorème de Pythagore que : y cos 2 (θ ) + sin 2 (θ ) = 1 P (θ ) = (cos(θ ), sin (θ )) θ 1 sin (θ ) où θ P (0 ) = (0,0 ) : Arc de cercle trigonométrique. cos(θ ) : Base du triangle (axe x). cos(θ ) x θ θ sin (θ ) : Hauteur du triangle (axe y). 0 Autres fonctions trigonométriques Voici d’autres fonctions trigonométriques associées à des opérations entre les fonctions sinus et cosinus : Fonction Tangente : tan (θ ) = sin (θ ) cos(θ ) et tan (θ ) = 1 / tan (θ ) = cot (θ ) Cotangente : cot (θ ) = cos(θ ) sin (θ ) et cot (θ ) = 1 / cot (θ ) = tan (θ ) Sécante : sec(θ ) = 1 cos(θ ) et sec(θ ) = 1 / sec(θ ) = cos(θ ) Cosécante : csc(θ ) = 1 sin (θ ) et csc(θ ) = 1 / csc(θ ) = sin (θ ) Note de cours rédigée par : Simon Vézina −1 −1 −1 −1 Page 2 Identités trigonométriques Il est parfois agréable de transformer une fonction trigonométrique sous une autre forme afin de mieux l’analyser. Voici quelques identités trigonométriques très pratiques : Inversion de l’arc : Pythagore : sin 2 (θ ) + cos 2 (θ ) = 1 cos(− θ ) = cos(θ ) tan 2 (θ ) + 1 = sec 2 (θ ) sin (− θ ) = − sin (θ ) 1 + cot 2 (θ ) = csc 2 (θ ) tan (− θ ) = − tan (θ ) Ajout d’une phase π / 2: cos(θ + π / 2) = − sin (θ ) sin (θ + π / 2) = cos(θ ) tan (θ + π / 2) = − cot (θ ) Ajout d’une phase π : sin (π − θ ) = sin (θ ) sin (π + θ ) = − sin (θ ) cos(π − θ ) = − cos(θ ) cos(π + θ ) = − cos(θ ) Multiplication d’arc par 2 : cos(2θ ) = cos 2 (θ ) − sin 2 (θ ) sin (2θ ) = 2 sin (θ ) ⋅ cos(θ ) Expression au carré : 1 − cos(2θ ) 2 1 + cos(2θ ) cos 2 (θ ) = 2 sin 2 (θ ) = Addition de deux arcs : cos(θ ± φ ) = cos(θ ) ⋅ cos(φ ) m sin (θ ) ⋅ sin (φ ) sin (θ ± φ ) = sin (θ ) ⋅ cos(φ ) ± cos(θ ) ⋅ sin (φ ) tan (θ ± φ ) = tan (θ ) ± tan (φ ) 1 m tan (θ ) tan (φ ) Produit de sinus et cosinus : 1 [sin (θ − φ ) + sin (θ + φ )] 2 1 sin (θ ) ⋅ sin (φ ) = [cos(θ − φ ) − cos(θ + φ )] 2 1 cos(θ ) ⋅ cos(φ ) = [cos(θ − φ ) + cos(θ + φ )] 2 sin (θ ) ⋅ cos(φ ) = Factorisation de sinus et cosinus : Formule de l’arc moitié : A+ B A− B cos( A) + cos(B ) = 2 cos cos 2 2 Soit : t = tan ( A / 2 ) A+ B A− B cos( A) − cos(B ) = −2 sin sin 2 2 A+ B A− B sin ( A) + sin (B ) = 2 sin cos 2 2 2t 1+ t2 2t tan ( A) = 1− t2 sin ( A) = cos( A) = 1− t2 1+ t2 A+ B A− B sin ( A) − sin (B ) = 2 cos sin 2 2 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3 Loi des sinus Équation : Preuve : A sin (θ A ) = B C = sin (θ B ) sin (θ C ) En construction … Théorème d’Al-Kashi ou Loi des cosinus Équation : A 2 = B 2 + C 2 − 2 BC cos(θ ) Preuve : En construction … Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 4