Proposition 2

Thème : Probabilité, échantillonnage
1. Introduction
2. Description du sujet
3. Analyse des réponses des l'élèves
4. Correction de la questions 2
5. Proposition d'exercice
2. Description du sujet
Énoncé du sujet
Un laboratoire souhaite déterminer si un objet est radioactif. Pour cela, il utilise un
compteur Geiger. Cet appareil compte les coups provoqués par la désintégration de
particules. Ces coups peuvent être dus à la radioactivités de l'objet, ou être provoqués par
un bruit de fond parasite. Chaque centième de seconde, la probabilité que l'appareil capte
un coup dû au bruit de fond est égale a 0,03.
L'objet a été placé pendant dix secondes dans une pièce isolée et, durant ces dix
secondes, le compteur a dénombré 37 coups. On cherche a savoir si ce résultat permet
d'affirmer que l'objet est radioactif.
1. a) Simuler a l'aide d'un tableur le nombre de coups provoqués par le bruit de fond
pendant une plage de 10 secondes.
b) Organiser 200 simulations analogues. Un comptage de 37 coups en dix secondes
semble-t-il exceptionnel ? Que peut-on conjecturer sur la radioactivité de l'objet ?
2. On fait l'hypothèse, notée (H0) que l'objet n'est pas radioactif. Soit X la variable aléatoire
qui décompte le nombre de coups provoqués par le bruit de fond pendant une plage de 10
secondes.
a) Préciser la loi de la variable X et donner ses paramètres.
b) Déterminer le plus petit entier N tel que P(X ≤ N) ≥ 0,95.
c) On décide de rejeter l'hypothèse (H0) si le nombre de coups mesurés par le compteur
sur cet objet, placé pendant 10 secondes dans une pièce isolée, est supérieur ou égal a N
+ 1.
Que peut-on en conclure quant à l'objet pour lequel on a mesuré 37 coups ?
Connaissances requises :
•
•
Définitions des variables aléatoire de Bernoulli et Binomiale, hypothèse de
probabilité.
Maîtrise du tableur : Calcul de somme, moyenne. Utilisation de ALEA() et SI().
Niveaux concernés :
• lycée Classe de Première S, ES, L.
3. Analyse des réponses des élèves
Élève 1 :
Compétences :
•
La simulation semble pouvoir être correct
Erreurs :
•
•
Établis un mauvais raisonnement à partir des résultats
Répond de manière fausse à la question posé
Élève 2 :
Compétences :
•
•
•
La simulation semble pouvoir être correct
Établit une analyse cohérente de ses résultats
S'intéresse aux simulation dont le résultats est supérieur ou égal à 37
Erreurs :
•
•
Établit des approximations grossière
Faiblesse dans la formulation de la réponse
Élève 3 :
Compétences :
•
•
•
Notion probable d’espérance de loi de probabilité.
La simulation semble pouvoir être correct
Perception de notion de dispersion
Erreurs :
•
•
Faiblesse dans la formulation de la réponse
Analyse très peu ses résultats.
4. Correction de la questions 2
2-a) :
Chaque centième de seconde : épreuve de Bernouilli de paramètre p = 0,03.
Chaque prise de 10 secondes : Somme de n=1000 itération de ces variable aléatoire
indépendante de loi de Bernouilli.
La loi de la variable X est donc une loi Binomial B(1000 ; 0,03)
2-b) :
N
()
P ( X ⩽N )=∑ n . p k . qn−k
k=0 k
Méthode A : Calculs avec tableur : Voir echantillonnage2b.calc
Méthode B : Élaboration d 'un algorithme : Voir echantillonnage2b.xws
5. Proposition d'exercice
Exercice 1ere ES,L
1) En utilisant une feuille de tableur, donner la loi binomiale B(50;0,516).
2) Jusifier que l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est l'intervalle [0,38;0,66].
3) Comparer avec l'intervalle
[ p−
1
1
; p+ ]
√n
√n
Exercice 1ere ES,L,S
Une société fabrique des boîtes en plastique de deux couleurs : des vertes et des bleues.
La fabrication est automatisée et la machine est réglée à un niveau de 42% de boîtes
vertes et 58% de boîtes bleues, correspondant à la demande du marché.
Un test est fait sur un échantillon de 180 boîtes prélevées au hasard.
1) L'échantillon comporte autant de boîtes bleues que de boîtes vertes. La machine
est-elle déréglée ?
2) A partir de combien de boîtes bleues et de boîtes vertes obtenues sur un
échantillon de 180 boîtes doit-on penser que la machine est déréglée ?
Exercice Ter S
1) Créer un algorithme permettant de déterminer l'intervalle de fluctuation à X% pour
une loi binomiale de paramètre p et n.
2) Vérifier votre programmes en vous servant des réponses trouvées au premier
exercice.