Trigonométrie dans le triangle rectangle

Trigonométrie dans le triangle rectangle.
I)
Vocabulaire et définitions
A
E
F
B
G
C
Le triangle ABC est
Pour l’angle ACB :
- le côté [BC] est le côté adjacent
- le côté [BA] est le côté opposé
- le côté [AC] est l’hypoténuse.
Le triangle EFG est
Pour l’angle GFE :
- le côté [GE] est le côté
- le côté [FG] est le côté
- le côté [FE] est
.
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu :
Les formules :
Exemples, pour les triangles ci-dessus :
longueur du côté adjacent de l ' angle
cosinus =
longueur de l ' hypoténuse
longueur du côté opposé de l ' angle
sinus =
longueur de l ' hypoténuse
longueur du côté opposé de l ' angle
tangente =
longueur du côté adjacent de l ' angle
II)
La trigonométrie à la calculatrice
On connaît l’angle en degré.
On connaît le cosinus ou le
sinus ou la tangente d’un
angle.
On peut calculer le cosinus, le Avec ma calculatrice :
sinus et la tangente de cet
angle.
Avec ma calculatrice :
On peut calculer la valeur de
cet angle en degré.
III)
Applications
Les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle permettent de :
- de calculer un angle aigu lorsque les longueurs de deux des côtés sont connues
- de calculer la longueur d’un côté lorsqu’un des angles aigus et la longueur d’un côté sont connus.
Evidemment cela demande de bien connaître les noms des côtés par rapport à l’angle considéré et les trois
formules.
Exemple 1.
MNP est un triangle rectangle en N tel que MN= 5cm et MP= 7cm.
Calculer MPN à un degré près.
Exemple 2.
RST est un triangle rectangle en T tel que RT= 4cm et ST= 5cm.
Calculer SRT.
Exemple 3.
IJK est un triangle rectangle en I tel que IJK= 40° et IJ= 3,5cm.
Calculer JK.
Exemple 4.
DEF est un triangle rectangle en F tel que FDE= 65° et FD= 4,4cm.
Calculer FE.
IV)
Relations entre sinus, cosinus et tangente
Relation entre sinus et cosinus :
Soit ABC un triangle rectangle en A.
A
B
C
E
G
Relation entre sinus, cosinus et tangente :
Soit EFG un triangle rectangle en G.
F
V) Valeurs possibles du cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu.
Nous savons que dans un triangle rectangle le côté le plus long est l’hypoténuse donc :
longueur du côté opposé de l ' angle
longueur du côté adjacent de l ' angle
et sinus =
sont
longueur de l ' hypoténuse
longueur de l ' hypoténuse
inférieurs à 1 et supérieurs à 0.
cosinus =
Par contre la longueur du côté adjacent et la longueur du côté opposé peuvent être l’une ou l’autre la plus
grande donc :
longueur du côté opposé de l ' angle
est supérieure à 0 mais n’a pas de limite maximale (une
longueur du côté adjacent de l ' angle
tangente peut être supérieure à 1).
tangente =