Les théorèmes limites - Université de Bretagne-Sud

Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche
Markovienne conditionnée à rester
positive
Ronan LAUVERGNAT
Université de Bretagne Sud
1/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
1
Introduction
Positionnement du problème
Les modèles résolus
La récursion stochastique
2
Existence d’une fonction harmonique
Motivation
Idées de la preuve
Positivité de la fonction harmonique
3
Les théorèmes limites
L’exemple brownien
Couplage
Les théorèmes limites
2/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche Markovienne
conditionnée à rester positive
On se propose d’étudier l’évolution d’une population.
Soit y > 0 la population initiale.
Soit Xn la variable aléatoire réelle représentant l’accroissement de la
population l’année n.
La population l’année n est alors notée
y + Sn := y + X1 + · · · + Xn−1 + Xn
= y + Sn−1 + Xn .
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche Markovienne
conditionnée à rester positive
Puisque l’on souhaite décrire une population qui ne s’éteint pas, on
considère le temps d’arrêt
τy := min {k ∈ N∗ , y + Sk 6 0} .
Le fait que la population ait survécu jusqu’à l’instant n s’écrit
{y + S1 > 0, y + S2 > 0, . . . , y + Sn > 0} = {τy > n} .
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche Markovienne
conditionnée à rester positive
On souhaite déterminer
d’une part la probabilité que la population survive :
P (τy > n) −→ ???,
n→+∞
et d’autre part la loi du nombre de grenouilles sachant que la
population a survécue :
y + Sn √ τy > n
L
−→ ???.
n→+∞
σ n
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche Markovienne
conditionnée à rester positive, cas indépendant
On suppose les accroissements (Xn )n>1 i.i.d. avec un moment d’ordre 2 :
0 < σ 2 = E X12 < +∞.
On suppose également la marche sans dérive :
E(X1 ) = 0.
6/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Théorèmes limites pour une marche Markovienne
conditionnée à rester positive, cas indépendant
On suppose les accroissements (Xn )n>1 i.i.d. avec un moment d’ordre 2 :
0 < σ 2 = E X12 < +∞.
On suppose également la marche sans dérive :
E(X1 ) = 0.
Théorème (temps de sortie) [Spitzer, 1960]
Pour tout y > 0, il existe une constante V (y ) > 0 telle que
2V (y )
√
P(τy > n) ∼
n+∞ σ 2πn
Théorème (loi limite de la marche conditionnée) [Iglehart, 1974]
Pour tout y > 0 et t > 0,
t2
y + Sn
√ 6 t τy > n = 1 − e − 2
lim P
n+∞
σ n
(loi de Rayleigh).
6/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Les autres modèles indépendants
La sortie d’un cône de Rd ,
Denisov, D. and Wachtel, V. (2015).
Random walks in cones. The Annals of Probability.
La sortie de la chambre de Weyl,
W = {x = (x (1) , . . . , x (d) ) ∈ Rd , x (1) < · · · < x (d) },
Eichelsbacher, P. and König, W. (2008).
Ordered random walks. Electronic Journal of Probability.
7/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Les modèles Markoviens
Les sommes itérées, pour tout n > 1,
Xn = x + ξ1 + · · · + ξn = Xn−1 + ξn ,
où x ∈ R et les (ξn )n>1 sont i.i.d. Alors,
y + Sn = y + nx + nξ1 + · · · + ξn .
Denisov, D. and Wachtel, V. (2015).
Exit times for integrated random walks. Annales de l’IHP.
Le cas des matrices aléatoires, où (Xn )n>1 est une chaîne de Markov
pour laquelle on peut borner les moments de Xn indépendamment
de l’état initial,
Grama, I., Le Page, É. and Peigné, M. (à paraître).
Conditional limit theorems for products of random matrices.
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
La récursion stochastique
On se munit d’une suite de couples de réels (ai , bi )i>1 . Alors
l’accroissement de l’année n + 1 est obtenu par transformation affine de
celui de l’année n :
Xn+1 = an+1 Xn + bn+1 ,
∀n > 0.
La suite (Xn )n∈N est une chaîne de Markov
y + Sn = y + X1 + · · · + Xn est alors une marche Markovienne.
On notera x ∈ R le point de départ de cette chaîne de Markov et Px
(resp. Ex ) la probabilité (resp. l’espérance) sachant
X0 = x
p.s.
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Existence d’une unique probabilité invariante
Condition 1 (contraction de la dépendance et centrage)
α
α
Il existe α > 2 tel que E (|a1 | ) < 1 et E (|b1 | ) < +∞.
De plus E(b1 ) = 0 et P(b1 = 0) 6= 1.
Sous la condition 1, la chaîne de Markov (Xn )n>1 admet une unique
mesure invariante ν centrée avec des moments d’ordre α,
p
Eν (X1 ) = 0
et
Eν |X1 | < +∞, ∀p ∈ [0, α].
De plus,
σ 2 := Varν (X1 ) + 2
+∞
X
k=2
Covν (X1 , Xk ) =
E(b 2 ) 1 + E(a)
> 0.
1 − E(a2 ) 1 − E(a)
10/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
La marche Markovienne non conditionnée
Condition 1 (contraction de la dépendance et centrage)
α
α
Il existe α > 2 tel que E (|a1 | ) < 1 et E (|b1 | ) < +∞.
De plus E(b1 ) = 0 et P(b1 = 0) 6= 1.
Théorème (loi limite de la marche) [Guivarc’h, Le Page, 2008]
La marche Markovienne issue de la récursion stochastique renormalisée
converge en loi vers la loi normale centrée réduite :
il existe σ > 0 telle que pour tout x ∈ R, y ∈ R et t ∈ R,
Z t
2
y + Sn
1
√ 6t = √
lim Px
e −s /2 ds.
n→+∞
σ n
2π −∞
Guivarc’h, Y. and Le Page, E. (2008).
On spectral properties of a family of transfer operators and convergence
to stable laws for affine random walks.
Ergodic Theory and Dynamical Systems.
11/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Décroissance exponentielle de la dépendance des moments
Condition 1 (contraction de la dépendance et centrage)
α
α
Il existe α > 2 tel que E (|a1 | ) < 1 et E (|b1 | ) < +∞.
De plus E(b1 ) = 0 et P(b1 = 0) 6= 1.
Lemme 1 (moments de Xn )
Pour tout p ∈ [2, α], il existe cp > 0 telle que pour tout x ∈ R et n > 1,
p
|Xn |
E1/p
x
6 cp + e−cp n |x | .
Preuve. Par récurrence,
Xn+1 =
n
Y
i=1
ai x +
n
X
k=1
bk
n
Y
ai .
i=k+1
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
1
Introduction
Positionnement du problème
Les modèles résolus
La récursion stochastique
2
Existence d’une fonction harmonique
Motivation
Idées de la preuve
Positivité de la fonction harmonique
3
Les théorèmes limites
L’exemple brownien
Couplage
Les théorèmes limites
13/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Le noyau Markovien tronqué aux trajectoires positives

la marche (y + Sn )n>1 n’est pas une chaîne de Markov.
La suite (Xn , y + Sn )n>0 est une chaîne de Markov.
Notons Q(x , y , .) son noyau : ∀(x , y ) ∈ R × R et ∀A ∈ B(R2 ),
Q(x , y , A) = Px ((X1 , y + S1 ) ∈ A) .
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Le noyau Markovien tronqué aux trajectoires positives

la marche (y + Sn )n>1 n’est pas une chaîne de Markov.
La suite (Xn , y + Sn )n>0 est une chaîne de Markov.
Notons Q(x , y , .) son noyau : ∀(x , y ) ∈ R × R et ∀A ∈ B(R2 ),
Q(x , y , A) = Px ((X1 , y + S1 ) ∈ A) .
Afin de ne considérer que les trajectoires positives, on définit la
restriction de Q(x , y , .) aux ensembles mesurables de R × R∗+
Q+ (x , y , .) := Q(x , y , .)
.
R×R∗
+
Cette mesure n’étant plus une probabilité, Q+ (x , y , R × R∗+ ) < 1, on
souhaite renormaliser Q+ .
14/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Les fonctions harmoniques
Pour une fonction f : R × R∗+ → R, on définit Q+ f par, pour tout x ∈ R
et tout y > 0,
Z
Q+ f (x , y ) =
f (x 0 , y 0 )Q+ (x , y , dx 0 × dy 0 )
R×R∗
+
Z
=
f (x 0 , y 0 )Px (X1 ∈ dx 0 , y + S1 ∈ dy 0 , y + S1 > 0)
R×R∗
+
= Ex (f (X1 , y + S1 ) ; τy > 1) .
Définition (Harmonique)
On dit qu’une fonction V : R × R∗+ → R est harmonique si,
Q+ V (x , y ) = V (x , y ),
∀(x , y ) ∈ R × R∗+ .
15/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Le noyau de la marche conditionnée
Définition (Harmonique)
On dit qu’une fonction V : R × R∗+ → R est harmonique si,
Q+ V (x , y ) = V (x , y ),
∀(x , y ) ∈ R × R∗+ .
On suppose de plus que
V (x , y ) > 0,
∀(x , y ) ∈ R × R∗+ ,
alors, pour tout (x , y ) ∈ R × R∗+ , on définit Q+ (x , y , .) par, pour tout B
Borélien de R × R∗+ ,
1
(Q+ V )(x , y , B)
Q+ (x , y , B) :=
V (x , y )
Z
1
V (x 0 , y 0 )Q+ (x , y , dx 0 × dy 0 )
=
V (x , y ) B
1
=
Ex V (X1 , y + S1 ) 1{(X1 ,y +S1 )∈B} .
V (x , y )
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Le noyau de la marche conditionnée
Définition (Harmonique)
On dit qu’une fonction V : R × R∗+ → R est harmonique si,
Q+ V (x , y ) = V (x , y ),
∀(x , y ) ∈ R × R∗+ .
On suppose de plus que
V (x , y ) > 0,
∀(x , y ) ∈ R × R∗+ .
L’opérateur Q+ est alors bien un noyau Markovien,
Q+ (x , y , R × R∗+ ) =
1
(Q+ V )(x , y ) = 1.
V (x , y )
17/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Construction d’une fonction harmonique
Considérons
Vn (x , y ) := Ex (y + Sn ; τy > n) .
Par la propriété de Markov, on a
Vn+1 (x , y ) = Ex (Ex (y + Sn+1 ; τy > n + 1 | F 1 ))
= Ex (Vn (X1 , y + S1 ) ; τy > 1) .
18/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Construction d’une fonction harmonique
Considérons
Vn (x , y ) := Ex (y + Sn ; τy > n) .
Par la propriété de Markov, on a
Vn+1 (x , y ) = Ex (Ex (y + Sn+1 ; τy > n + 1 | F 1 ))
= Ex (Vn (X1 , y + S1 ) ; τy > 1) .
Théorème (Existence d’une fonction harmonique)
1
Pour tout x ∈ R et tout y > 0, la limite suivante existe et est finie,
V (x , y ) := lim Ex (y + Sn ; τy > n) .
n→+∞
2
La fonction V est Q+ -harmonique.
18/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 1 : approximation par une martingale
On pose, pour tout n > 1,
ξn =
Alors
Mn :=
Xn − E(a)Xn−1
,
1 − E(a)
n
X
ξk = Sn +
k=1
(Xn = an Xn−1 + bn−1 ) .
E(a)
(Xn − x )
1 − E(a)
est une martingale centrée.
En notant z := y +
E(a)
1−E(a) x ,
on obtient
z + Mn = y + Sn +
E(a)
Xn .
1 − E(a)
19/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 1 : approximation par une martingale
1/2
2
Notons que, puisque τy < +∞ p.s. et que Ex
|Xn | 6 c (1 + |x |),
2
Ex (|Xn | ; τy > n) 6 E1/2
|Xn | P1/2
x
x (τy > n) −→ 0.
n→+∞
Ainsi, sous réserve que l’une de deux limites existe,

lim Ex (y + Sn ; τy > n) = lim Ex (z + Mn ; τy > n)
n→+∞
n→+∞
Problème : τy est le temps de sortie de la marche et non celui de la
martingale.
Tz := inf{k > 1, z + Mk 6 0}.
E(a) > 0
E(a) < 0
Tz 6 τy
Tz > τy
20/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 1 : approximation par une martingale
Xn+1 = an+1 Xn + bn+1 ,
y + Sn = y + X1 + · · · + Xn ,
z + Mn = y + Sn +
E(a)
Xn .
1 − E(a)
21/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 2 : un premier majorant
Condition 2
On supposera dans toute la suite que E(a) > 0.
Lemme 2 (majorant d’ordre n1/2−2 )
Il existe 0 > 0 tel que pour tout ∈]0; 0 [, x ∈ R, y > 0 et n ∈ N,
Ex (z + Mn ; τy > n) 6 z + c |x | + cn1/2−2 .
Idée de la preuve :
Par un petit calcul, en utilisant la propriété de martingale, on se ramène
au temps de sortie τy :
Ex (z + Mn ; τy > n) = Ex (z + Mn ) − Ex (z + Mn ; τy 6 n)
= z − Ex E z + Mn ; τy 6 n Fτy
= z − Ex z + Mτy ; τy 6 n .
22/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 2 : un premier majorant
Au temps τy , nous avons,
E(a)
Xτ < 0
1 − E(a) y
1
1
= y + Sτy −1 +
Xτ >
Xτ .
1 − E(a) y
1 − E(a) y
z + Mτy = y + Sτy +
23/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 2 : un premier majorant
Condition 2
On supposera dans toute la suite que E(a) > 0.
Lemme 2 (majorant d’ordre n1/2−2 )
Il existe 0 > 0 tel que pour tout ∈]0; 0 [, x ∈ R, y > 0 et n ∈ N,
Ex (z + Mn ; τy > n) 6 z + c |x | + cn1/2−2 .
Idée de la preuve :
Par un petit calcul, en utilisant la propriété de martingale, on se ramène
au temps de sortie τy :
Ex (z + Mn ; τy > n) = Ex (z + Mn ) − Ex (z + Mn ; τy 6 n)
= z − Ex E z + Mn ; τy 6 n Fτy
= z − Ex z + Mτy ; τy 6 n
6 z + cEx Xτy ; τy 6 n .
24/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
Lemme 2 (majorant d’ordre n1/2−2 )
Il existe 0 > 0 tel que pour tout ∈]0; 0 [, x ∈ R, y > 0 et n ∈ N,
Ex (z + Mn ; τy > n) 6 z + c |x | + cn1/2−2 .
Si z = y +
E(a)
1−E(a) x
> n1/2− , alors immédiatement,
Ex (z + Mn ; τy > n) 6 2z + c |x | .
Si z 6 n1/2− on attend que z + Mn devienne plus grand que n1/2− .
Définition (temps d’atteinte des grandes valeurs)
Pour tout x ∈ R, y > 0, > 0 et n > 1,
n
o
νn := inf k > 1, |y + Sk | > n1/2− .
25/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
Définition (temps d’atteinte des grandes valeurs)
Pour tout x ∈ R, y > 0, > 0 et n > 1,
n
o
νn := inf k > 1, |y + Sk | > n1/2− .
Lemme 3 (Concentration de νn )
Pour tout p ∈ (2, α), il existe 0 > 0 tel que pour tout ∈ (0, 0 ), δ > 0,
x ∈ R, y > 0 et n > 1,
1−2
cp,,δ
p
Px νn > δ n1− 6 p/2−p + e−cp,,δ n
|x | .
n
26/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
Lemme 3 (majorant uniforme)
Pour tout p ∈]2; α[, x ∈ R, y > 0 et n ∈ N, on a
p−1
Ex (z + Mn ; τy > n) 6 cp (1 + y + |x |) (1 + |x |)
Idée de preuve :
(concentration de νn )
.
Ex (z + Mn ; τy > n)
Cp, (x , y )
Ex z + Mn ; τy > n , νn 6 n1− +
n
1/2− (majorant d’ordre n
)
cp
6
1 + Ex z + Mνn + c |Xνn | ; τy > νn , νn 6 n1−
n
Cp, (x , y )
+
n
(sous-martingale) cp
6
1 + Ex z + Mbn1− c ; τy > n1− , νn 6 n1−
n
Cp, (x , y )
.
+ cEx |Xνn | ; τy > νn , νn 6 n1− +
n
27/45
6
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
28/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
29/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
30/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
31/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
32/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Étape 3 : un majorant uniforme
33/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Existence d’une fonction harmonique
Lemme 3 (majorant uniforme)
Pour tout p ∈]2; α[, x ∈ R, y > 0 et n ∈ N, on a
p−1
Ex (z + Mn ; τy > n) 6 cp (1 + y + |x |) (1 + |x |)
.
Théorème (Existence d’une fonction harmonique)
1
Pour tout x ∈ R et tout y > 0, la limite suivante existe et est finie,
V (x , y ) := lim Ex (z + Mn ; τy > n) = −Ex Mτy
n→+∞
= lim Ex (y + Sn ; τy > n) .
n→+∞
2
La fonction V est Q+ -harmonique.
Rappel : en notant Vn (x , y ) := Ex (y + Sn ; τy > n), on a
Vn+1 (x , y ) = Ex (Vn (X1 , y + S1 ) ; τy > 1) .
34/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Positivité de la fonction harmonique V
Propriétés de la fonction harmonique
Pour tout x ∈ R et tout y > 0,
V (x , y ) > 0.
Pour tout x ∈ R,
lim
y →+∞
V (x , y )
= 1.
y
35/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Positivité de la fonction harmonique V
Propriétés de la fonction harmonique
Pour tout x ∈ R et tout y > 0,
V (x , y ) > 0.
Pour tout x ∈ R,
lim
y →+∞
V (x , y )
= 1.
y
Condition 3
On suppose que pour tout x ∈ R et tout y > 0,
Px (τy > 1) = Px (y + X1 > 0) = P (ax + b > 0) > 0.
Positivité de V
Pour tout x ∈ R et tout y > 0,
V (x , y ) > 0.
35/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Positivité de la fonction harmonique V
Condition 3
On suppose que pour tout x ∈ R et tout y > 0,
Px (τy > 1) = Px (y + X1 > 0) = P (a1 x + b1 > −y ) > 0.
Condition 3bis
La loi du couple (a1 , b1 ) est telle que pour tout C > 0,
P (b1 > C |a1 |) > 0.
b1
0
a1
36/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Tracé de la fonction harmonique
a ∼ N (0.5, 0.8)
et
b ∼ N (0, 1)
37/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Tracé de la fonction harmonique
a ∼ U ([0, 1])
et
b ∼ L (0, 1/2)
38/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
1
Introduction
Positionnement du problème
Les modèles résolus
La récursion stochastique
2
Existence d’une fonction harmonique
Motivation
Idées de la preuve
Positivité de la fonction harmonique
3
Les théorèmes limites
L’exemple brownien
Couplage
Les théorèmes limites
39/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
L’exemple brownien
Définition (temps de sortie du mouvement Brownien
τybm := min{t > 0, y + σBt 6 0},
Proposition [Lévy, 1954]
Pour tout y > 0 et n > 1,
Z y
t2
2
bm
P τy > n = √
e − 2nσ2 dt
2πnσ 0
∼
n→+∞
√
2y
.
2πnσ
Pour tout y > 0, n > 1 et t > 0,
Z t √n
(s+y )2
(s−y )2
y + σBn
1
bm
√
P
6 t ; τy > n = √
e − 2nσ2 − e − 2nσ2 ds.
n
2πnσ 0
Notamment,
P
t2
y + σBn
√
6 t τybm > n
−→ 1 − e− 2σ2 .
n→+∞
n
40/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Approximation de la marche par le mouvement Brownien
Théorème [Grama, Le Page, Peigné, 2014]
Pour tout p ∈]2; α[, il existe 0 > 0 tel que pour tout ∈]0, 0 [, x ∈ R et
n > 1,
!
p
cp, 1 + |x |
1/2−
Px
sup S[nt] − σBnt > n
.
6
n
t∈[0,1]
Grama, I. and Le Page, É. and Peigné, M. (2014).
On the rate of convergence in the weak invariance principle for dependent
random variables with application to Markov chains.
Colloquium Mathematicum.
A nouveau lorsque le point de départ y > n1/2− , on est capable
d’approcher la marche par le Brownien.
Lorsque y est quelconque, on se place au temps νn .
41/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Les théorèmes limites
Théorème (temps de sortie)
Il existe σ > 0 tel que pour tout x ∈ R et tout y > 0,
2V (x , y )
√
Px (τy > n) ∼
.
n+∞ σ 2πn
Théorème (loi limite de la marche conditionnée)
Pour tout x ∈ R, tout y > 0 et tout t > 0,
t2
y + Sn
√ 6 t τy > n = 1 − e − 2
lim Px
n+∞
σ n
(loi de Rayleigh).
42/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
La densité de Rayleigh
43/45
Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Perspectives
Généraliser à toute chaîne de Markov ayant un trou spectral
Les chaînes de Markov à espace d’états finis.
Les matrices aléatoires
Xn+1 = An+1 Xn + Bn+1 .
Théorème fonctionnel, type Donsker : l’interpolation de la marche,
conditionnée à rester
positive, ramenée à l’intervalle [0, 1],
y +S[nt] √
Sn (t) = σ n τy > n , converge en loi vers le méandre brownien.
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Introduction
Existence d’une fonction harmonique
Les théorèmes limites
Merci !
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