Activité et application : Moyenne de moyennes

Activité et application : Moyenne de moyennes
Prolongement avec résolutions d’une équation et d’un système de deux équations à deux inconnues.
L’objectif de l’activité est de calculer des moyennes d’une série de nombres et de découvrir comment
calculer la moyenne des moyennes.
Enoncé de l’exercice :
Dans la classe de 4ème A, les notes à l’interrogation commune sont :
12 ; 15 ; 7 ; 8,5 ; 12 ; 10 ; 10 ; 10 ; 17 ; 19 ; 7 ; 9 ; 13 ; 9 ; 12 ; 18 ; 19
1) Faire un tableau des effectifs de chaque note.
2) Calculer la moyenne des notes de la classe de 4ème A à cette interrogation et arrondir le résultat au
dixième près. On note ce résultat mA.
Dans la classe de 4ème B, les notes à l’interrogation communes sont :
15,5 ; 14 ; 12 ; 5 ; 7 ; 5 ; 16 ; 14 ; 12 ; 7 ; 10 ; 15,5 ; 10 ; 14 ; 7 ; 7 ; 9 ; 9 ; 16 ; 5 ; 9 ; 10 ; 10.
3) Faire, de même, un tableau des effectifs et calculer la moyenne des notes de la classe de 4ème B à
cette interrogation et arrondir le résultat au dixième près. On note ce résultat mB.
On souhaite à présent connaître la moyenne de l’ensemble des notes des deux classes.
4) Regrouper les notes des deux classes, refaire un tableau des effectifs puis calculer la moyenne de la
série des notes des deux classes.
5) Calculer m’ la moyenne arithmétique de mA et mB. Obtient-on le même résultat que précédemment ?
6) Calculer m la moyenne de mA et de mB pondérée par les effectifs de chaque classe. Que remarque-ton ?
Application 1: voici les moyennes de Farez à chaque trimestre, avec leurs coefficients respectifs.
Matière
Français
Mathématiques Anglais
SVT
Histoire
EPS
géo
Coefficient
3
3
2
1
2
1
11
12
13
8
11 ,5
18
1er
trimestre
11
14
10
9,5
12
15,5
2ème
trimestre
16
13
13
8
12
17
3ème
trimestre
7) Au troisième trimestre, se rajoute une note de vie de classe, coefficient 1, Farez a eu 16. Calculer ses
moyennes m1, m2 et m3 à chaque trimestre puis calculer la moyenne générale annuelle m de Farez,
en arrondissant au dixième près si nécessaire.
1
Prolongement : Résolution d’équation et de système d’équations.
Voici les moyennes d’Arnaud à chaque trimestre, avec leurs coefficients respectifs :
SVT
Histoire
Matière
Français
Mathématiques Anglais
géo
Coefficient
3
3
2
1
2
er
8
x
9
12
12
1
trimestre
12
11
10
10
12
2ème
trimestre
10
11
8
10
14
3ème
trimestre
EPS
1
18
15
15
8) Calculer la moyenne d’Arnaud au premier trimestre sachant que la moyenne annuelle d’Arnaud est
de 11,5. En déduire sa moyenne en mathématiques au premier trimestre.
Voici les moyennes de Lisa à chaque trimestre, avec leurs coefficients respectifs :
Matière
Français
Mathématiques Anglais
SVT
Histoire
géo
Coefficient
3
3
2
1
2
er
16
y
z
13
14
1
trimestre
14
13
8,5
12
12
2ème
trimestre
15
12
9
11
11
3ème
trimestre
EPS
1
11
16
15
9) On sait que la moyenne générale annuelle de Lisa est 12,5 et que sa moyenne de mathématiques du
premier trimestre est supérieure d’un point à sa moyenne d’anglais du premier trimestre. Calculer sa
moyenne en mathématiques et en anglais au premier trimestre.
2
Rédaction du corrigé
1)
Notes
7
Effectif 2
2) mA =
8,5
9
10
12
13
15
17
18
19
1
2
3
3
1
1
1
1
2
,
= 12,2 à 0,1 près
3)
Notes
5
7
9
10
12
14
15 ,5
16
Effectif
3
4
3
4
2
3
2
2
mB =
,
4)
Notes
Effectif
Notes
Effectif
5
3
15
1
mAetB=
5) m 7
6
15,5
2
= 10,4 à 0,1 près
8,5
1
16
2
9
5
17
1
10
7
18
1
12
5
19
2
13
1
14
3
,
,
==
,
,
mA23mB
= 11,1625 à 0,1 près
= 11,3
= 11,165
6) m =
m n’est pas égal à m’; m est égal(aux erreurs d’arrondis près) à mAetB. La moyenne de la série des notes des
deux classes est égale à la moyenne des moyennes pondérée par les effectifs.
7)
,
m1 =
= 12
m2 =
,,
m3 =
= 12
= 13,7 à 0,1 près
3
La moyenne m correspond à la moyenne pondérée des moyennes m1, m2 et m3 :
m=
= 12,6 à 0,1 près
8) La moyenne m2 et m3 d’Arnaud :
m2 =
m3 =
=11,5
= 11
or sa moyenne annuelle est de 11,5 ; d’où : 11,5 =
d’où 414 = 12m1 + 138 + 132
donc m1 = 12
Arnaud à eu une moyenne de 12 au premier trimestre.
Or m1 =
; d’où : x = 16
9) La moyenne annuelle de Lisa est de 12,5; on obtient donc l’équation à deux inconnues suivantes :
12,5 =
,
D’autres part sa moyenne de mathématiques du premier trimestre est supérieure d’un point à sa moyenne d’anglais
du premier trimestre ; d’où :
y=z+1
Il nous faut maintenant résoudre le système des deux équations à deux inconnues suivant afin de déterminer les valeurs
de y et de z :
12,5 16 3 3" 2 # 1 13 2 14 1 11 3 14 3 13 2 8,5 1 12 2 12 1 16 3 15 3 12 2 9 1 11 2 11 1 15
'
12 12 12
" # 1
Ce qui revient à résoudre le système suivant :
3" 2# 53'
(
)" # )1
D’où y = 11 et z = 10 ; la moyenne de mathématiques de Lisa au premier trimestre est de 11 et sa moyenne d’anglais
est de 10. On a bien une moyenne en mathématiques supérieure d’un point à celle d’anglais. Et y = 11 et z = 10
donnent bien une moyenne annuelle de 12,5.
4
Résolution avec la CASIO fx-92 Collège 2D+
2) On utilise le mode STAT; mode 2.
Nous utiliserons ici le mode STAT avec l’option effectif ON :
(`wR31)
Saisir les données :
(`wR31w21fV8_5V9V10V12V13V
15V1fV18V19VEEEEEEEEEE$2V1V
2V3V3V1V1V1V1V2VC)
La série de données :
On obtient la moyenne pondérée par les effectifs de la série de données de la classe 4èmeA :
(`142V)
3) On fait de même avec la série de données de la classe 4èmeB et l’on obtient :
4) On fait de même avec la série de données regroupant les notes des deux classes 4èmeA et 4èmeB, on obtient :
mAetB= 11,1625
,
,
5) m =
= 11,3
6) m =
mA23mB
=
,
,
= 11,165. On remarque que m et m’ sont différentes !
5
7) On pourra de même trouver m1, m2 et m3 à l’aide du mode STAT.
On trouve m1= 12, m2 = 12, m3= 13,7 à 0,1 près.
9) Pour résoudre le système de deux équations à deux inconnue on utilise le mode SYST ; mode 3.
(w31)
Saisir les données :
(3V2V53V`~1V1V`~1VV)
On obtient ainsi les solutions du système suivant :
3" 2# 53'
(
)" # )1
Soit y = 11 et z = 10.
6